전기 변위장과 물질 속에서의 가우스 법칙 (The Electric Displacement and the Gauss's Law in the Presence of Dielectrics)

진공이 아닌 유전체 안에서는 편극이 발생하여 전위를 계산해보면 단순히 전하를 셈해야 하는 것이 아니라 속박전하밀도를 고려해야 한다는 사실을 배웠습니다. 이는 진공에서의 전기장을 구할 때와 물질 속에서의 전기장을 구할 때 계산법이 같아서는 안된다는 것이며, 물질 속에서의 전기장을 새로 도입해야 함을 뜻합니다. 나아가 이것은 가우스 법칙에도 영향을 미쳐 이를 수정하는 작업이 필요함을 암시합니다.

 

---

1. 전기 변위장(Electric displacement)

 

1) 전기 변위장과 가우스 법칙

 

기존의 가우스 법칙의 미분꼴은

 

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

 

으로 나타났고, $\rho$ 는 3차원에서의 부피전하밀도입니다. 앞으로 이 전하밀도는 자유전하밀도라 하고 $\rho_f$ 로 표기합니다.

 

왜 갑자기 그냥 부피전하밀도라 하면 되는데 '자유'라는 말을 붙이느냐? 그 까닭은 이제부터 할 물질(유전체) 내에서의 상황 때문입니다. 여태까지 공부한 바에 따르면 물질 내에서는 편극이 일어나 외부 전기장의 반대 방향으로 내부 전기장이 생깁니다. 이러한 효과는 이제 그림으로 그리지 않더라도 속박전하에 의한 효과임을 기억하실 것입니다. 따라서, 기존 가우스 법칙에 우변에는 총 전하를 속박전하와 자유전하로 분할해야 합니다. 그러니 자유전하란 속박전하를 제외한 전하를 가리키는 말이 되는 것이구요.

 

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho_{\mathrm{total}}}{\varepsilon_0}=\frac{\rho_f+\rho_b}{\varepsilon_0}$$

 

부피전하밀도의 정의에 따라, 식을 바꿉니다.

 

$$\varepsilon_0 \left ( \nabla \cdot \mathbf{E} \right )=\rho_f+\rho_b=\rho_f-\nabla \cdot \mathbf{P}\;\;\Rightarrow\;\;
\nabla\cdot\left ( \varepsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P} \right )=\rho_f$$

 

여기서 괄호 안에 묶인 물리량을 아래와 같이 정의합니다.

 

전기 변위장(Electric displacement)은 $\mathbf{D}$ 로 표기하고, 아래와 같이 정의한다.

$$\mathbf{D}=\varepsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P}$$

 

정리($E.M$) 3.1

물질에서의 가우스 법칙은 다음과 같이 진공에서의 것을 수정한다.

미분꼴 가우스 법칙 : $\nabla\cdot \mathbf{D}=\rho_f$

적분형 가우스 법칙 : $\displaystyle\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a}'=\displaystyle\int_{\mathcal{V}}\rho_f\,d\tau' =q_{\mathrm{enc,f}}$

 

 

2) 유전체가 있을 때의 가우스 법칙의 변형

 

전자기학 과목에서는 무조건 전기 변위장이란 용어를 설명하지만, 일반물리학의 전자기 파트를 보면 물질 속의 전자기장은 유전체를 삽입한 축전기를 다루다 확장하는 정도에서 약간의 가우스 법칙의 수정꼴 정도만 소개하고 넘어가는 편입니다. (실제로 이 글을 찾는 분들 중 일반물리학을 공부하다 오시는 분들이 더 많은 것이라 생각합니다)

 

일반물리학 수준에서 유전체 안에서의 가우스 법칙 수정을 고민해 봅시다. [그림 1]과 같이 축전기의 극판 사이에 유전체를 삽입한 상황에서 출발해 보겠습니다. 축전기의 극판인 도체로 유전체를 둘러쌌을 때 경계면에서 유도전하가 발생하지요. 도체에 있는 전하량은 $q$라 하고 유도전하는 $q'$라 하겠습니다. 

 

[그림 1] 평행판 축전기 내부에 유전체를 삽입한 상황

 

그림에서 보이는 것과 같이 Gauss 면을 잡고 가우스 법칙을 사용하면,

 

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=EA=\frac{q-q'}{\varepsilon_0}\;\;\Rightarrow \;\; E=\frac{q-q'}{\varepsilon_0A}\;\;\;\cdots \;\;(1)$$

 

한편, 유전체를 넣게 되면 극판 사이의 전기장은 유전상수 $\kappa$ 배 만큼 약화되므로

 

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{E_0}}{\kappa}=\frac{q}{\kappa\varepsilon_0A}\;\;\;\cdots \;\;(2)$$

 

두 식을 비교하면, $q-q'=\displaystyle\frac{q}{\kappa}$ 임을 알 수 있습니다. 유의해야 할 것은, 여기서 $q$ 가 위에서 언급한 '자유전하(free charge)'에 해당하는 것으로 모든 총 전하를 일컫는 것이 아닙니다. 반면 $q'$ 은 속박전하에 해당하는 것이구요. 어쨌든 (1)에 이것을 대입하면 마무리할 수 있습니다.

 

정리 ($E.M$) 3.2

유전체 내부에서의 가우스 법칙은 다음과 같다.
$$\displaystyle\oint_{\mathcal{S}} \kappa \,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{q_f}{\varepsilon_0}$$

 

이 식은 당연하겠지만 위의 정리 ($E.M$) 3.1 에서의 적분형 가우스 법칙과 동일한 식입니다. 바로 다음에 다룰 유전상수에 대한 식 표현이 더 있다는 사실을 숙지해야 합니다.

 

증명) $\kappa=\varepsilon_r=\displaystyle\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$ 이므로

$$q_f=\varepsilon_0\oint_{\mathcal{S}} \kappa \,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\varepsilon_0\oint_{\mathcal{S}} \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}
=\oint_{\mathcal{S}} \varepsilon\,\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}$$

여기서 선형 유전체이면 $\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}$ 이기에 바로 증명이 끝난다.

 

선형 유전체가 아니라면 마지막 부분을 처리할 때 골치아파집니다.^[각주:1] 이는 일반물리학에서 유도한 가우스 법칙 식이 평행판 축전기(그러므로 선형 유전체)에서 비롯된 것이기 때문입니다. 그리하여 전기 변위장을 도입해 적은 정리 3.1이 정확한 가우스 법칙이라 할 수 있습니다.

 

 

3) 전기 변위장의 특징

 

전기 변위장은 전기장과 미묘한 차이가 존재합니다.

 

 

① 전기 변위장 $\mathbf{D}$ 는 전기장과 달리 쿨롱 법칙이 성립하지 않습니다.

 

$$\mathbf{D}(\mathbf{r})\neq \frac{1}{4\pi}\int_{\mathcal{V}}\frac{\hat{\eta}}{\eta^2}\,\rho_f(\mathbf{r}')\,d\tau'$$

② 전기장과 달리, 전기 변위장은 언제나 회전이 0이라 할 수 없습니다. 왜냐하면 편극밀도의 회전은 0일 수도, 0이 아닐 수도 있기 때문입니다. 그래서 $\mathbf{D}$ 에 대한 스칼라 함수의 존재성에 대해서도 항상 존재한다 답하기 못하기에, 일반적으로 전기 변위장에 대한 스칼라 함수는 고려하지 않습니다.

 

$$\nabla \times \mathbf{D}=\varepsilon_0\left ( \nabla \times \mathbf{E} \right )+\nabla \times \mathbf{P}=\nabla \times \mathbf{P}$$

 

---

 

예제 1) 선전하 $\lambda$ 가 고르게 깔린 길고 곧은 도선이 반지름 $a$인 절연고무에 싸여 있을 때, 전기 변위장과 외부에서의 전기장을 구하고 비교하여라.

 

sol) 물체로 둘러싸게 되면 물체 내부에서는 분명 유전효과를 고려해야 하니 전기 변위장을 떠올려야 합니다. 하지만 물체 외부에서의 전기장은 물체의 영향을 받지 않아서 전기 변위장이 곧 전기장일 것입니다. 도선을 물체보다 작은 크기의 원통 모양으로 둘러싸서 가우스 법칙을 적용해 봅시다. 가우스 원통의 높이는 $L$, 반지름은 $s$ 입니다.

 

$$\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{a}=D(2\pi sL)=\lambda L \;\;\Rightarrow \;\; \mathbf{D}=\frac{\lambda}{2\pi s}\hat{s}$$

 

만약 외부에서의 전기장을 구하라고 하면, $\mathbf{P}=0$ 이란 사실만 고려하면 되므로

 

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{D}}{\varepsilon_0}=\frac{\lambda}{2\varepsilon_0\pi s}\hat{s} \;\;\;(s>a)$$

 

내부에서의 전기장을 구하라고 문제에서 언급하지 않은 이유는 $\mathbf{P}$ 의 값이 주어지지 않았기 때문입니다. 그래서 위와 같이 $\mathbf{D}$ 만 구하면 됩니다.

 

 

예제 2) 추후 추가

 

 

[참고문헌]
David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e

Halliday, David, Resnick, Robert, Walker, Jearl - Fundamental of Physics, 10th, WILEY

1. 선형 유전체가 무엇인지는 바로 다음 글에서 나옵니다. [본문으로]