전기 변위장의 경계조건 (Boundary condition in the Electric displacement)

 

전기장의 경계조건을 고려했듯이, 전기 변위장에서도 경계조건을 떠올려 볼 수 있습니다. [그림 1]과 같이 두 경계면 1,2가 있고 그에 걸쳐 있는 물질을 생각합시다.

 

[그림 1] 전기 변위장의 경계조건

 

1) 연직 성분의 경계조건

 

전기장의 연직 성분 경계조건은

 

$$\mathbf{E}_u\cdot \hat{n}+\mathbf{E}_d\cdot \hat{n}
=E_u^\perp -E_d^{\perp}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

 

입니다. 여기서 첨자 $u$는 윗면, 즉 경계면 2를 가리키는 것이고 첨자 $d$는 아랫면인 경계면 1을 말합니다.

 

물질이 존재할 때는, 표면 전하 밀도를 $\sigma=\sigma_f+\sigma_b$ 로 나누어 써야 하고 $\sigma_b$ 는 두 매질에 의한 효과로

 

$$\sigma_b=\sigma_{P_1}+\sigma_{P_2}=\mathbf{P}_1\cdot \hat{n}+\mathbf{P}_2\cdot \left ( -\hat{n} \right )$$

 

가 됩니다. (막항의 음의 부호는 매질 2에서 1을 향하는 법선벡터이기 때문에 그렇습니다.) 그리하여

 

$$\sigma=\sigma_f+\sigma_b=\sigma_f+\left ( \mathbf{P}_1-\mathbf{P}_2 \right )\cdot \hat{n}$$

 

가 성립하고, 이를 대입하면

 

$$\mathbf{E}_2\cdot \hat{n}-\mathbf{E}_1\cdot \hat{n}=\varepsilon_0 \left \{ \sigma_f+ \left ( \mathbf{P}_1-\mathbf{P}_2 \right )\cdot \hat{n} \right \}\;\;, \\\\
\left \{ \left ( \varepsilon_0\mathbf{E}_2+\mathbf{P}_2 \right )-\left ( \varepsilon_0\mathbf{E}_1+\mathbf{P}_1 \right ) \right \}\cdot \hat{n}=\sigma_f$$

 

전기 변위장에 관한 식으로 쓰면, 다음을 얻습니다.

 

정리($E.M$) 3.2
전기 변위장의 연직 성분 경계조건은 다음과 같다.
$$D_u^{\perp}-D_d^{\perp}=\mathbf{D}_u\cdot \hat{n}-\mathbf{D}_d \cdot \hat{n}=\sigma_f$$ 만약 $\sigma_f=0$ 이면 $\mathbf{D}_u^{\perp}=\mathbf{D}_d^{\perp}$ 이다.

 

 

2) 평행 성분의 경계조건

 

전기장의 평행 성분에 대한 경계조건은

 

$$E_u^{\parallel }-E_d^{\parallel}=\mathbf{E}_u\cdot \hat{t}-\mathbf{E}_d\cdot \hat{t}=0$$

 

이고, $\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$ 의 관계가 있기 때문에,

 

정리 ($E.M$) 3.3
전기 변위장의 평행 성분 경계조건은
$$D_u^{\parallel }-D_d^{\parallel}=P_u^{\parallel }-P_d^{\parallel}$$

 

 

[참고문헌]

David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e