포인팅 정리와 포인팅 벡터(Poynting vector, Poynting Theorem)

전자기파에 대한 논의를 시작하기 위해서 포인팅 벡터의 개념을 이해할 필요가 있습니다. 과학자 포인팅(Poynting)에 의해 정의된 것이기 때문에 포인팅 벡터라고 합니다. 가리키다라는 뜻이 아님을 기억합시다.

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1. 국소적 전하 보존과 연속방정식

 

연속방정식을 한번 짚고 넘어가봅시다. 국소적 전하 보존이라는 것은 어떤 임의의 부피가 $\mathcal{V}$ 인 공간에 든 전하량이 변화하면, 그 변화량만큼의 전하가 그 공간을 둘러싸는 면 $\mathcal{S}$ 를 통해 바깥으로 나갔거나 안으로 들어왔어야 한다는 뜻입니다.

 

$$\frac{d Q}{dt}=-\oint_{\mathcal{S}}^{}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

여기서 $Q(t)$는 

 

$$Q(t)=\int_{\mathcal{V}}^{}\rho \left( \mathbf{r},t \right)\,d\tau\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$

 

에 해당합니다. 식 $(2)$를 미분하고 $(1)$과 연결하여 발산정리를 사용하면

 

$$\int_{\mathcal{V}}^{}\frac{\partial \rho}{\partial t}\,d\tau = -\oint_{\mathcal{S}}^{}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}=-\int_{\mathcal{V}}\nabla \cdot \mathbf{J}\,d\tau$$

 

이것은 어떠한 부피에 대해서도 성립하므로, 이 결과를 정리하면 연속방정식입니다. 사실 이것은 정자기학에서도 이미 다룬 바가 있습니다.

 

정리($E.M$) 6.1
전자기학에서의 연속방정식은 다음과 같다.
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot \mathbf{J}$$

 

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2. 포인팅 벡터

 

1) 단위 부피당 전자기장 속에 저장된 에너지

 

일정한 정적 전하 분포들의 배열 상태를 만들기 위하여 그들 사이의 정전기력을 극복해 전하들에 해주어야 하는 일은 정전기학에서도 다루었듯이, 

 

$$W_e=\frac{1}{2}\epsilon_0\int_{}^{}\,E^2 \,d\tau$$

이고, 비슷하게 역기전력에 거슬러 전류가 흐르기 위해 해주어야 하는 일은

 

$$W_m=\frac{1}{2\mu_0}\int_{}^{}\,B^2 \,d\tau$$

 

여기서 $E$와 $B$는 각각 전하분포가 만든 전기장과 전류분포가 만드는 자기장에 해당합니다. 이를 바탕으로 단위 부피의 전자기장에 저장된 전체 에너지는 

 

$$u= \frac{1}{2}\left( \epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2 \right)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(3)$$

 

으로 주어짐을 알 수 있습니다.

 

 

2) 포인팅 벡터

 

1)에서 계산한 전하와 전류분포에 의해 일정 값을 갖는 전자기장에 저장된 에너지가 시간 $t$ 라는 시점에 있다고 해봅시다. 시간을 $dt$ 만큼 바꾸었을 때 전자기력이 이 전하들에 해준 일이 얼마인지를 계산해보려고 합니다. 이 일의 크기는 $dW$라 적을 수 있을 것이고, 일의 정의식과 로렌츠 힘 공식에 의하면

 

$$dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=q\left( \mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B} \right)\cdot \mathbf{v}dt
=q\left( \mathbf{E}\cdot \mathbf{v} \right)dt\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(4)$$

 

입니다. $q=\rho\,d\tau$ 와 $\rho \mathbf{v}=\mathbf{J}$ 를 이용하면, 

 

$$\frac{dW}{dt}=\int_{\mathcal{V}}^{} \left( \mathbf{E}\cdot \mathbf{J} \right)\,d\tau\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(5)$$

 

여기서 integrand $\mathbf{E}\cdot \mathbf{J}$ 는 단위 시간동안 단위 부피에 해준 일이 되며, 시간 당 일을 일률(power)이라고 하니 단위 부피당 일률을 의미하는 값입니다. 이 때 전류밀도는 맥스웰 방정식을 이용하면

 

$$\mathbf{E}\cdot \mathbf{J}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\cdot \left( \nabla\times \mathbf{B} \right)
-\epsilon_0\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(6)$$

 

여기서 아래의 곱셈규칙을 이용합니다.

 

$$\mathrm{Product\;rule}\;:\; \nabla\cdot\left( \mathbf{A}\times \mathbf{B} \right)=\left( \nabla \times \mathbf{A} \right)\cdot \mathbf{B}
-\mathbf{A}\cdot \left( \nabla \times \mathbf{B} \right)$$

 

그러면

 

$$\nabla\cdot\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)=\left( \nabla\times \mathbf{E} \right)\cdot \mathbf{B}
-\left( \nabla\times \mathbf{B} \right)\cdot \mathbf{E}$$
$$\mathbf{E}\cdot \left( \nabla\times \mathbf{B} \right)=-\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}
-\nabla \cdot\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)$$

 

이 식의 우변에서 첫째 항과, $(6)$ 에서 우변의 둘째 항은

 

$$\mathbf{B}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left( B^2 \right)\;\;\;,\;\;\;\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left( E^2 \right)$$

 

따라서, $(6)$ 을 다시 정리하면

 

$$\begin{align*}
\mathbf{E}\cdot \mathbf{J}&=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\cdot \left( \nabla\times \mathbf{B} \right)
-\epsilon_0\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \\\\&=
-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left( \epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2 \right)-\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot \left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\frac{dW}{dt}&=\int_{\mathcal{V}}^{} \left( \mathbf{E}\cdot \mathbf{J} \right)\,d\tau \\\\&
=-\frac{d }{dt}\int_{\mathcal{V}}^{}\frac{1}{2}\left( \epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2 \right)\,d\tau-
\frac{1}{\mu_0}\int_{\mathcal{V}}\nabla\cdot \left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)\,d\tau \\\\&=
-\frac{d }{dt}\int_{\mathcal{V}}^{}\frac{1}{2}\left( \epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2 \right)\,d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)\cdot d\mathbf{a}
\end{align*}$$

 

이제 포인팅 벡터를 정의하고, 위 내용을 정리해 봅시다.

 

 

포인팅 벡터(Poynting vector)란 단위 시간동안 단위 면적을 통해 장에 의해 전달되는 에너지를 뜻하며,
$$\mathbf{S}:=\frac{1}{\mu_0}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)$$ 로 정의한다. 여기서 $\mathbf{S}\cdot d\mathbf{a}$ 는 미소 면적 $d\mathbf{a}$ 를 통해 단위 시간당 지나가는 에너지 유량(flux)을 뜻하기에, 포인팅 벡터 $\mathbf{S}$ 는 '에너지 흐름 밀도(Enerdy flux density)'를 뜻한다.

 

[그림 1] 포인팅 벡터의 시각화.

 

포인팅 벡터 표기법을 익혀서 다음의 정리를 얻습니다.

 

정리($E.M$) 6.2
포인팅 정리(Poyntign Theorem) : 전자기학에서의 일-에너지 정리에 해당하는 포인팅 정리는

$$\begin{align*}
\frac{dW}{dt}&=\int_{\mathcal{V}}^{} \left( \mathbf{E}\cdot \mathbf{J} \right)\,d\tau
=-\frac{d }{dt}\int_{\mathcal{V}}^{}\frac{1}{2}\left( \epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2 \right)\,d\tau - \oint_{\mathcal{S}}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)\cdot d\mathbf{a}
\end{align*}$$
을 뜻한다. 우변의 첫째 항은 장에 저장된 전체 에너지가 시간에 따라 변하는 비율이고, 우변의 둘째 항은 부피 안의 에너지가 전자기장에 실려 경계면 밖으로 새어나가는 비율을 뜻한다. 

또한 포인팅 정리는 미분형으로도 쓸 수 있다.
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{S}=-\mathbf{E}\cdot \mathbf{J}$$

 

박스 안에서 파란색으로 표시해 둔 항의 물리적 의미의 이해가 중요합니다. 그런데 좌변은 일의 변화량인데 우변의 두 항엔 마이너스 부호가 있어서 해석하기 까다로운 점이 있다고 느낄 수 있습니다. 그래서 포인팅 정리를 다음과 같이 변형해서 해석하는 것이 조금 더 수월합니다. 

 

포인팅 정리의 식을 아래와 같이 정리해보자.

$$-\frac{du}{dt}=\frac{dW}{dt}+\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{S}\cdot d\mathbf{a}$$
즉, 어떤 부피 안에서 단위 시간당 전자기장에 저장된 에너지의 변화는 장에 단위 시간 당 전자기력이 해준 일과 부피 속의 에너지가 전자기장에 실려 경계면 바깥으로 새어나가는 비율을 더한 값과 같다. (이 진술은 부호의 의미를 정확히 포함하고 있지는 않다)

 

부호의 의미를 살려봅시다. 어떤 전자기장에서 어떤 전하에게 일을 하게 되면, 전자기장은 당연히 자신이 가진 에너지를 그만큼 잃게 될 것입니다. 이것이 좌변의 음의 부호와 우변의 첫 항 사이의 관계에 대한 의미입니다. 뿐만 아니라 어떤 전자기장 속에서 에너지가 경계면을 따라 외부로 유출되게 되면, 전자기장이 가진 에너지는 감소합니다. 이것이 좌변의 음의 부호와 우변의 둘째 항 사이의 관계에 대한 의미입니다. 면적분 자체는 바깥으로 유출되는 유량을 뜻하므로 면적분 항이 양수이면 그 자체로 유출을 뜻하니, 에너지는 감소한다는 것입니다.

 

총 정리하면, 전자기장은 내재된 에너지를 통해 입자에 일을 해주거나, 경계면을 통해 바깥으로 유출될 수 있다는 것입니다.

 

 

3) 일이 가해지지 않는 경우

 

일이 가해지지 않는 경우에는 일에 관한 항을 제거해주면 됩니다. 그러면 간단히 포인팅 정리식의 미분형으로부터 다음 식을 얻습니다.

 

정리($E.M$) 6.3
포인팅 벡터를 이용한 에너지에 관한 연속방정식은 다음과 같다.
$$\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{S}=0$$

 

이는 일반적인 전자기학에서의 연속방정식과 형태가 비슷하고 들어간 값만 달라집니다. 전하밀도 대신 전자기장에 저장된 에너지가, 전류밀도 대신 포인팅 벡터가 들어갔습니다. 따라서 이 방정식은 국소적 영역에서 에너지의 보존을 뜻합니다.

 

 

[참고문헌]

Introduction to Electrodynamics, Griffiths, 4e