맥스웰 변형력 텐서(Maxwell stress tensor)

이제 전자기력으로부터 맥스웰 변형력 텐서를 유도하고 힘과 운동량을 계산해 보려고 합니다.

 

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1. 맥스웰 변형력 텐서

 

1) 소개

 

부피 $\mathcal{V}$ 에 있는 전하에 가해지는 전체 전자기력을 계산해 봅시다.

 

$$\mathbf{F}=q\left( \mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B} \right)=\int_{\mathcal{V}}^{}\rho\left( 
\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B} \right)d\,\tau = \int_{\mathcal{V}}\left( \rho\mathbf{E}
+\mathbf{J}\times \mathbf{B} \right)\,d\tau \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

여기서 단위 부피당 작용하는 힘은 부피 적분 기호만 제외하면 되니까,

 

$$\begin{align*}
\mathbf{f}&=\rho \mathbf{E}+\mathbf{J}\times \mathbf{B}
\\\\&=\epsilon_0\left( \nabla\cdot \mathbf{E} \right)
\mathbf{E}+\left( \frac{1}{\mu_0}\nabla\times \mathbf{B}-\epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)\times \mathbf{B}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)
\end{align*}$$

 

우변의 셋째 항을 다루기 위해서 다음 계산을 합니다.

 

$$\begin{align*}
\frac{\partial }{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)&=\left( \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B} \right)+\left( \mathbf{E}\times \frac{\partial \mathbf{B} }{\partial t} \right)
\\\\&= \left( \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B} \right)+\left\{ \mathbf{E}\times \left( -\nabla \times \mathbf{E} \right) \right\}
\end{align*}$$

 

 그러므로

 

$$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\times\mathbf{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \mathbf{E}
\times \mathbf{B} \right)+\mathbf{E}\times \left( \nabla\times\mathbf{E} \right)$$

 

이를 다시 단위 부피당 힘 식에 대입해 봅니다.

 

$$\mathbf{f}=\epsilon_0\left\{ \left( \nabla\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E}
-\mathbf{E}\times \left( \nabla\times \mathbf{E} \right) \right\}-\frac{1}{\mu_0}
\left\{ \mathbf{B}\times \left( \nabla\times \mathbf{B} \right) \right\}-\epsilon_0
\frac{\partial }{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B} \right)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(3)$$

 

그리고 다음의 곱셈규칙을 사용합니다.

 

$$\mathrm{product\;rule\;\;:\;\;} \nabla\left( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} \right)=\mathbf{A}\times\left( \nabla\times \mathbf{B} \right)+\mathbf{B}\times \left( \nabla\times \mathbf{A} \right)+
\left( \mathbf{A}\cdot \nabla \right)\mathbf{B}+\left( \mathbf{B\cdot \nabla} \right)\mathbf{A}$$

 

곱셈규칙의 $A,B$ 자리에 $\mathbf{E}$ 를 대입합니다.

 

$$\nabla\left( E^2 \right)=2\left( \mathbf{E}\cdot\nabla \right)\mathbf{E}+2\mathbf{E}\times \left( \nabla \times
\mathbf{E} \right)\;\;\;\Rightarrow \;\;\; \mathbf{E}\times \left( \nabla\times\mathbf{E} \right)
=\frac{1}{2}\nabla\left( E^2 \right)-\left( \mathbf{E}\cdot \nabla \right)\mathbf{E}$$

 

자기장 $\mathbf{B}$ 에 대해서도 같은 짓을 반복합니다. 식 $(3)$ 을 수정하면 되는데, $(3)$에서 셋째 항에 $\left( \nabla\cdot \mathbf{B}\right)\mathbf{B}$ 를 추가할 것입니다. 그래서 첫째 항과 둘째 항의 전기장에 관한 식과 대칭적으로 식을 맞출 것입니다. 

 

$$\begin{align*}
\mathbf{f}&=\epsilon_0\left\{ \left( \nabla\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E}+\left( \mathbf{E}\cdot \nabla \right)\mathbf{E} \right\}+\frac{1}{\mu_0}\left\{ \left( \nabla\cdot \mathbf{B} \right)\mathbf{B}
+\left( \mathbf{B}\cdot \nabla \right)\mathbf{B} \right\}
\\\\&=-\frac{1}{2}\nabla\left( \epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2 \right)-\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}
\left( \mathbf{E}\times\mathbf{B} \right)
\\\\&=-\frac{1}{2}\nabla\left( \epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2 \right)-\epsilon_0
\mu_0\,\frac{\partial \mathbf{S} }{\partial t}
\end{align*}$$

 

이 식은 형태가 굉장히 복잡하기 때문에, 새로운 물리량을 도입해서 식을 간단히 할 것입니다.

 

 

2) 맥스웰 변형력 텐서의 정의

 

다음과 같이 정의하는 물리량을 '맥스웰 변형력 텐서(Maxwell stress tensor)' 이라 한다.

$$T_{ij}=\epsilon_0\left( E_iE_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}E^2 \right)+\frac{1}{\mu_0}\left( B_iB_j
-\frac{1}{2}\delta_{ij}B^2 \right)=T_{ji}$$
여기서 첨자 $i,j$ 에 좌표 $x,y,z$ 가 들어간다. 그러므로 이 맥스웰 변형력 텐서는 총 9개의 성분으로 이루어져 있습니다.

 

벡터의 성분은 첨자가 1개지만, 여기서 텐서는 성분이 첨자가 2개입니다. 수학적으로 말하면 스칼라는 랭크가 0인 텐서, 벡터는 랭크가 1인 텐서이며, 여기서 맥스웰 변형력 텐서는 랭크가 2인 텐서에 해당합니다. 그래서 총 성분의 개수는 $3^2$ 가 됩니다. 벡터와의 차이점을 부각시키기 위해 텐서는 문자 위에 한 방향 화살표가 아닌 두 방향 화살표를 통해, $\overleftrightarrow{T}$ 로 표기합니다.

 

[그림 1] 레비치비타 기호를 행렬로 나타낸 것. 이는 유사텐서이다.

 

텐서의 물리적 의미를 살펴보면 이는 단위 면적이 받는 힘, 곧 압력 또는 변형력(Stress)이라고 할 수 있습니다. $T_{xx}$ 라는 것은, $x$축을 법선벡터로 하는 평면 곧 $yz$ 평면에 대하여 수직인 평면이 $x$ 방향으로 받는 힘에 해당합니다. 그러니 첨자가 같으면 압력을 뜻하는 것이고, 첨자의 문자가 다른 경우, 예컨대 $T_{xy}$ 란 $x$축을 법선벡터로 하는 평면, 즉 $yz$ 평면에서 $y$ 방향으로 받는 힘을 뜻합니다. 그러니 이것은 '층밀리기 변형력(Shear stress)'에 해당합니다.

 

 

3) 텐서와 벡터의 내적

 

이제 텐서와 벡터의 내적을 살펴봅시다.

 

벡터와 텐서의 내적은 다음과 같이 순서에 따라 두 방법이 있다.

$$\left( \mathbf{a}\cdot \overleftrightarrow{T} \right)_j=\sum_{i=1,2,3}^{}a_iT_{ij}\;\;\;\;\;\mathrm{or}\;\;\;\;\;
\left( \overleftrightarrow{T}\cdot \mathbf{a} \right)_j=\sum_{i=1,2,3}^{}T_{ji}a_i$$
전자의 식에서 $\mathbf{a}$ 는 행벡터이고, 후자의 식에서는 열벡터로 계산한다.

 

텐서와 벡터의 내적은 순서에 따라 두 가지 방법으로 나눌 수 있습니다. 순서대로 행벡터와 열벡터에 해당합니다. 그냥 넘어가면 직관적인 이해가 어려울 수 있으니, 한번만 계산을 해봅시다. 예를 들어 행벡터와 텐서의 내적을 할 때, $j=2$ 에 해당하는 식을 계산해보면 먼저 행벡터와의 계산은,

 

$$\begin{pmatrix}
a_1 &a_2& a_3 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
T_{11} &T_{12}  &T_{13}  \\
T_{21} &T_{22}  &T_{23}  \\
T_{31} &T_{32}  &T_{33} 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
T_{11}a_1+T_{12}a_2+T_{13}a_3 &T_{21}a_1+T_{22}a_2+T_{23}a_2  & T_{31}a_1+T_{32}a_2+T_{33}a_3
\end{pmatrix}$$

 

우선 행벡터와의 계산은, $1\times 3$ 벡터와 $3\times 3$ 행렬(=텐서)의 계산이기 때문에 $1\times 3$ 행렬 곧 벡터가 나옵니다. 반면 열벡터와의 계산은,

 

$$\begin{pmatrix}
T_{11} &T_{12}  &T_{13}  \\
T_{21} &T_{22}  &T_{23}  \\
T_{31} &T_{32}  &T_{33} 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
T_{11}a_1+T_{12}a_2+T_{13}a_3 \\
T_{21}a_1+T_{22}a_2+T_{23}a_2 \\
T_{31}a_1+T_{32}a_2+T_{33}a_3
\end{pmatrix}$$

 

으로 $3\times 3$ 행렬(=텐서)와 $3\times 1$ 의 $3\times 1$ 행렬의 결과가 나옵니다. 결과는 마찬가지로 벡터가 되지요.

 

그러므로 $j$의 값을 $1,2,3$ 중 하나로 고정하는 경우 위 박스 안의 공식이 만족됨을 알 수 있습니다. 조금 더 구체적으로, $\overleftrightarrow{T}$ 발산의 $j$번째 성분은,

 

$$\left( \nabla \cdot \overleftrightarrow{T} \right)_j=\epsilon_0\left\{ 
\left( \nabla\cdot\mathbf{E} \right)E_j+\left( \mathbf{E}\cdot \nabla \right)E_j-\frac{1}{2}
\nabla_j E^2 \right\}+\frac{1}{\mu_0}
\left\{ 
\left( \nabla\cdot\mathbf{B} \right)B_j+\left( \mathbf{B}\cdot \nabla \right)B_j-\frac{1}{2}
\nabla_j B^2 \right\}$$

 

으로 계산할 수 있지요. 그렇다면 단위 부피당 힘인 $\mathbf{f}$ 식 $(3)$으로부터 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

단위 부피에 작용하는 힘은,

$$\mathbf{f}=\nabla\cdot \overleftrightarrow{T}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}\;\;\;\;\;\ \cdots \;\;\;(\mathrm{The\;force\;per\;unit\;volume})$$
이 되고, 그러면 전체 부피의 전하에 작용하는 총 전자기력은

$$\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{S}}\overleftrightarrow{T}\cdot d\mathbf{a}-\epsilon_0\mu_0 \frac{d }{dt}
\int_{\mathcal{V}}\mathbf{S}\,d\tau \;\;\;\;\;\ \cdots \;\;\;(\mathrm{Total\;em\;force})$$
이 된다. 만일 정적(static)인 경우에는

$$\mathbf{F}=\oint_{\mathcal{S}}\overleftrightarrow{T}\cdot d\mathbf{a} \;\;\;\;\;\ \cdots \;\;\;(\mathrm{Static})$$

 

 

이 힘은 운동량에 대한 개념과 연결됩니다. 다음 시간에 그를 파헤쳐 보겠습니다.

 

[참고 서적 및 문헌]

Introduction to Electrodynamics, Griffiths, 4e