해석학(Analysis)/적분
정적분의 정의와 적분가능성(Integral, intergrablity)
Gosamy
2023. 5. 20. 22:22
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리만합을 학습하면 이제 정적분을 정의하는 것이 가능합니다.
1. 적분가능성
정의($A.N$) 5-3) 리만 적분가능(Riemann intergrable)
$a<b$ 이고 $a,b\in \mathbb{R}$ 이라 하자. 함수 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 가 구간 $[a,b]$ 에서 '리만 적분가능(Riemann intergrable)'하다는 것은 $f$ 가 $[a,b]$ 에서 유계이고, 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대해
$$U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon$$ 를 만족하는 $[a,b]$ 의 분할 $P$ 가 존재하는 것이다.
이 정의는 정의($A.N$) 5-2) 에서 설명한 것과 같이 $f$ 의 부호에 무관하게 성립하는 식입니다. 언제나 $L(f,P)\leq U(f,P)$ 이기 때문에, 위 정의에서 $L(f,P)\leq U(f,P)=\left| U(f,P)-L(f,P)\right|$ 으로 취급해도 상관이 없습니다. 다만 이 정의를 언제나 적분가능성의 확인 용도로 사용하기에는 불편한 점이 있겠지요. 그래서 다음 정리를 사용합니다.
정리($A.N$) 5.2) 적분가능성의 정의적 version : 연속이면 적분가능하다
$a<b$ 이고 $a,b\in\mathbb{R}$ 이라고 하자. 만일 $f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이면, $f$ 는 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 적분가능(intergrable)하다. 다만 역은 성립하지 않는다. (적분가능하다고 하여 언제나 연속인 것은 아니다.)
증명) $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속이므로,
$$\left| x-c \right|<\delta \;\;\Rightarrow \;\; \left| f(x)-f(c) \right|< \displaystyle \frac{\varepsilon}{b-a}$$ 을 만족하는 $\delta >0$ 을 고를 수 있다.
이제 닫힌구간 $[a,b]$ 의 한 분할 $P=\left\{ x_0,x_1,\cdots ,x_n \right\}$ 을 고르고, 이 분할의 놈이 $\left\| P \right\|=\displaystyle\max_{1\leq j\leq n}\left| x_j-x_{j-1} \right| <\delta$ 를 만족한다고 하자. 이것은 만일 $\displaystyle\frac{b-a}{n}<\delta$ 를 만족하도록 $n$ 을 충분히 크게 잡으면 가능하다. 그러면 분할 속 임의의 구간 $\Delta x_j$ 에서, $j$ 를 하나 택해 고정시키면, 최대·최소의 정리(EVT)에 의하여 $f(x_m)=m_j(f)\;,\;f(x_M)=M_j(f)$ 를 만족하는 $x_m, x_M \in [x_{j-1}, x_j ]$ 가 존재한다. 놈에 대한 위의 부등호 관계에 의하여 $\left| x_m-x_M \right|<\delta$ 가 성립하므로, $M_j(f)-m_j(f)<\displaystyle \frac{\varepsilon}{b-a}$ 가 성립한다. 따라서,
$$U(f,P)-L(f,P)=\sum_{j=1}^{n}\left\{ M_j(f)-m_j(f) \right\}\,\Delta x_j< \frac{\varepsilon}{b-a} \sum_{j=1}^{n}\Delta x_j = \varepsilon$$ 이것은 $f$ 가 주어진 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 적분가능의 정의에 해당한다. $_\blacksquare$
따라서 함수를 부분집합 관계로 표현하면, 미분가능한 함수 $\subseteq$ 연속함수 $\subseteq$ 적분가능한 함수 가 됩니다. 적분가능성에 대해서는 위의 정의나 정리를 보아도 되고, 또다시 적분가능성은 주어진 함수가 구간에서 무한개의 불연속점을 가지더라도 가능함을 알 수 있습니다.1
2. 정적분의 정의
정적분을 정의하려고 합니다. 여러분들에게 익숙한 미적분학의 기본정리 버전을 아직 모르는 상태이니 그것을 잊어버리시기 바랍니다. 순수 구분구적법의 마인드로, 즉 리만합을 가지고서만 정적분을 정의합니다. 즉 그냥 $\displaystyle\int_{a}^{b}$ 라는 기호가 적분 기호라는 것 자체를 망각하고, 사각형들의 넓이 합만을 떠올려야 합니다.
정의($A.N$) 5-4) 정적분의 정의(Integral)
$a,b\in \mathbb{R}$ 에 대해 $a<b$ 이고 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 이 유계라고 하자.
① $f$ 의 $[a,b]$ 에서의 '상적분(upper integral)'은 다음의 값이다.
$$\overline{\int_a^b} f(x) \, dx :=\inf \left\{ U(f,P) \right\}$$
② $f$ 의 $[a,b]$ 에서의 '하적분(lower integral)'은 다음의 값이다.
$$\underline{\int_a^b} f(x) \, dx :=\sup \left\{ L(f,P) \right\}$$
③ 만일 $f$ 의 $[a,b]$ 에서의 상적분과 하적분의 값이 동일한 경우, $f$ 의 $[a,b]$ 의 정적분을
$$\int_{a}^{b}f(x)dx:=\overline{\int_a^b} f(x) \, dx :=\inf \left\{ U(f,P) \right\}
=\underline{\int_a^b} f(x) \, dx :=\sup \left\{ L(f,P) \right\}$$ 으로 정의한다.
정의($A.N$) 5-5) 반전구간과 퇴화구간에서의 정적분
$a,b\in \mathbb{R}$ 에 대해 $a<b$ 이고 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 이 유계라고 하자.
① 정적분의 위끝과 아래끝을 바꾼 적분은 다음과 같이 정의한다. $$\int_{b}^{a}f(x)\,dx :=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$
② 퇴화구간(degenerate)2 $[a,a]$ 에서의 정적분은 $\displaystyle\int_{a}^{a}f(x)dx:=0$ 으로 정의한다.
따라서 정적분은 상적분의 값과 하적분의 값이 같을 때만 정의 가능하다고 할 수 있습니다. 그러면 정적분이 존재하면 적분가능한 것일까요?3 결과적으로 말하면 그렇습니다. 그것을 증명할텐데, 그 증명에 필요한 다음 정리를 먼저 보고 갑니다.
정리($A.N$) 5.3) 상적분과 하적분의 대소관계
함수 $f : [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 가 유계이면 상적분과 하적분은 존재하고 유한(finite)하며,
$$\underline{\int_a^b} f(x) \, dx \leq \overline{\int_a^b} f(x) \, dx $$ 을 만족시킨다.
증명) 정리($A.N$) 5.1)-④ 에 의해, 구간 $[a,b]$ 의 임의의 두 분할 $P,Q$ 에 대하여 $L(f,P)\leq U(f,Q)$ 이다. 양변에 $\sup$ 을 취하면 $\displaystyle\underline{\int_a^b} f(x) \, dx \leq U(f,Q)$ 을 얻는다.4 그러므로 좌변인 하적분은 값이 존재하고 유한하다. 이 식의 양변에 $\leq$ 를 취하면 $\displaystyle \underline{\int_a^b} f(x) \, dx \leq \displaystyle \overline{\int_a^b} f(x) \, dx \leq U(f,P)$ 을 얻으므로 상적분 역시 하적분과 값이 같거나 크고 유한하게 존재함을 알 수 있다. $_\blacksquare$
이제 상적분=하적분인 것과 적분가능성이 필요충분조건임을 보입니다.
정리($A.N$) 5.4) 적분가능성의 정적분 version
$a,b\in \mathbb{R}$ 에 대해 $a<b$ 이고 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 이 유계라고 하자. 그러면 $f$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 적분가능하다는 것은
$$\overline{\int_a^b} f(x) \, dx = \underline{\int_a^b} f(x) \, dx$$ 인 것과 필요충분조건이다.
증명) $\Rightarrow $ : $f$ 가 적분가능하다고 하자. 그러면 임의의 $\varepsilon >0$ 이 주어졌을 때, $[a,b]$ 의 분할 $P$ 에 대하여
$$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$$ 가 성립한다. 상적분과 상합의 정의에 의하면 $\displaystyle\overline{\int_a^b} f(x) \, dx \leq U(f,P)$ 이 되고 하적분과 하합의 정의에 의하면 마찬가지로 $\displaystyle\underline{\int_a^b} f(x) \, dx \geq L(f,P)$ 이다. 정리($A.N$) 5.3 으로부터
$$\begin{align*} \left| \overline{\int_a^b} f(x)\, dx- \underline{\int_a^b} f(x) \, dx\right|&= \overline{\int_a^b} f(x)\, dx- \underline{\int_a^b} f(x) \, dx \\\\& \leq U(f,P)-L(f,P)< \varepsilon \end{align*}$$
$\Leftarrow$ : 임의의 $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하면, 하한의 근사성질에 의하여 집합 $E=\left\{ U(f,P)\mid P\;\text{is a partition of}\;[a,b] \right\}$ 라 잡으면 분할 $P$ 중 하나인 $P_1$ 이 존재하여
$$U(f,P_1)<\overline{\int_{a}^{b}}f(x)\,dx+\frac{\varepsilon}{2}$$ 라 둘 수 있다. 마찬가지로 상한의 근사성질에 의하면 분할 $P$ 중 하나인 $P_2$ 가 존재하여
$$L(f,P_2)<\underline{\int_{a}^{b}}f(x)\,dx-\frac{\varepsilon}{2}$$ 가 성립한다.
$Q:=P_1\cup P_2$ 라 하자. $Q$ 는 $P_1$, $P_2$ 의 세분이기 때문에 정리($A.N$) 5.1)-③ 에 의하여 $$\displaystyle \overline{\int_a^b} f(x) \, dx = \displaystyle \underline{\int_a^b} f(x) \, dx$$ 인 것은
$$\begin{align*} U(f,Q)-L(f,Q)&\leq U(f,P_1)-L(f,P_2) \\\\& \leq \left( \overline{\int_a^b} f(x) \, dx + \frac{\varepsilon}{2} \right) -\left( \displaystyle \underline{\int_a^b} f(x) \, dx + \frac{\varepsilon}{2}\right)= \varepsilon \end{align*}$$ 을 뜻한다. 따라서 $f$ 는 적분가능하다. $_\blacksquare$
정리($A.N$) 5.5) 상수함수의 정적분
닫힌구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)=\alpha$ 로 상수함수이면, $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha(b-a)$ 이다.
증명) 정리($A.N$) 5.2) 에 의하여 $f$ 는 연속이므로 적분가능하다. 따라서 정리($A.N$) 5.1)-① 과 정리($A.N$) 5.4) 에 의하여
$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\overline{\int_{a}^{b}}f(x)\,dx=\inf_{P} U(f,P)=\alpha (b-a)$$ 이다. $_\blacksquare$
[참고문헌]
William R. Wade - Introduction to Analysis, 4E
- 다만 이것을 증명하려면 추가적인 개념을 더 학습해야 합니다. 그래서 지금 정도 수준에서 어렵기 때문에 지금 당장 증명하지 않을 것입니다. [본문으로]
- 구간이 퇴화(degenerate)라는 것은 구간의 양 끝이 같다는 것을 뜻합니다. 사실상 한 점이죠. [본문으로]
- 이건 동어반복을 하는 것이 아닙니다. 정적분의 정의는 아직 상적분=하적분 일 때 상적분=하적분=정적분 이라고 정의하고 있고, 적분가능성은 정적분의 존재성이 아니고(아직 정리를 증명하지 않음) 상합과 하합의 차이가 임의의 양수 $\varepsilon$ 보다 작은 것을 말합니다. [본문으로]
- 우변의 경우 $U(f,Q)$ 는 이 자체로 이미 $\sup$ 이니 변함이 없는 것. [본문으로]