유계와 상한, 하한(Bounded, supremum, infimum)

대학교 1학년의 미적분학에서 수열의 극한을 다룰때 즈음 유계에 관한 설명이 등장하는 경우가 있습니다. 교과서마다 설명 여부가 다를 수 있지만 배운다고 할지라도 아주 자세하게 다루지는 않습니다. 집합에 대해 유계의 개념과, 상한 및 하한은 이후 고급 수학 분야에서 아주 흔하게 등장하는 개념이며 어렵지 않기 때문에 정확히 잘 정리하고 넘어가는 것이 중요합니다. 뜻 자체도 번역이 잘 되어 있는 편이기 때문에 직관적으로 받아들이는 것도 쉽습니다.

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1. 유계, 상한과 하한

 

1) 정의

 

정의($A.N$) 1-1
집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 공집합이 아니라고 가정하자.^[각주:1]

① 집합 $E$ 가 '위로 유계(bounded above)'라는 것은 모든 $a\in E$ 에 대하여 $a\leq M$ 을 만족하는 $M\in\mathbb{R}$ 이 존재하는 것과 필요충분조건이다. 여기서 $M$ 을 집합 $E$ 의 '상계(upper bound)'라고 한다. 이때 $E$ 의 모든 상계 $M$ 에 대하여 $s\leq M$ 을 만족하는 $s$ 를 '최소상계(supremum, least upper bound)'라 정의하며 기호로 $s=\sup E$ 로 표기한다.

② 집합 $E$ 가 '아래로 유계(bounded below)'라는 것은 모든 $a\in E$ 에 대하여 $a\geq m$ 을 만족하는 $m\in\mathbb{R}$ 이 존재하는 것과 필요충분조건이다. 여기서 $m$ 을 집합 $E$ 의 '하계(lower bound)'라고 한다. $E$ 의 모든 하계 $m$ 에 대하여 $t\geq m$ 을 만족하는 $t$ 를 '최대하계(infimum, greatest lower bound)'라 정의하며 기호로 $t=\inf E$ 라 표기한다.

 

이해는 어렵지 않을 것이라 생각합니다. 주의할 점이 있다면 정의상 상계나 하계는 실수이기만 하면 충분하고 집합 $E$ 의 원소가 될 수도 있고 되지 않을 수도 있습니다. 상계 중 $E$ 의 원소가 될 가능성이 존재하는 유일한 원소는 최소상계가 되고, 최소상계 역시 $E$ 에 포함되는 원소일 수도 있으며^[각주:2] 포함되지 않을 수도 있습니다. 하계와 최소하계에 대해서도 마찬가지입니다.

 

 

2) 상한과 하한에 관한 성질들

 

상한(=최소상계)은 여러 성질들을 갖습니다. ^[각주:3]  하한에 대해서도 마찬가지인데, 방법은 거의 같기에 상한에 대해서만 증명을 합니다. 

 

 

정리($A.N$) 1.1
집합 $E$ 에 대해 하나의 상한이 존재하기만 하면(하나가 존재한다는 것만 보이더라도) $E$ 는 곧 무수히 많은 상한을 갖는다.

 

증명이 너무 간단해서 말로 적겠습니다. 증명할 것도 없이 상한에 대한 개념을 이해했는지에 가까운 것이라 정리라고 부르기도 민망합니다. $E$의 상한이 존재하면 그 상계보다 큰 무수히 많은 실수가 존재하기 때문에 곧 상한이 무수히 많다고 말할 수 있는 것입니다.

 

 

정리($A.N$) 1.2
집합 $E$ 가 상한을 가지면, 오직 하나의 상한만 존재한다.

증명) $s_1,s_2$ 가 모두 집합 $E$ 의 최소상계라고 하자. 그러면 둘은 모두 $E$ 의 상계이다. 정의($A.N$) 1.1 의 ①에 의하여, $s_1\leq s_2$ 이고 $s_1\geq s_2$ 이므로 결국 순서 공리의 Trichonomy 성질에 의하여 $s_1=s_2$ 이다. $_\blacksquare$ 

 

 

정리($A.N$) 1.3) 상한의 근사 성질(Approximation property)
집합 $E$ 가 유한한 상한^[각주:4]을 가지고 $\varepsilon >0$ 를 임의의 양수라고 하자. 그러면 다음을 만족시키는 $E$ 에 포함된 내부점 $a$ 가 존재한다.
$$\sup E-\varepsilon < a \leq \sup E$$

따름정리($A.N$) 1.3.1) 하한의 근사 성질(Approximation property)
집합 $E$ 가 유한한 하한을 가지고 $\varepsilon >0$ 을 임의의 양수라고 하자. 그러면 다음을 만족시키는 $E$ 에 포함된 내부점 $a$ 가 존재한다.
$$\inf E \leq a < \inf E +\varepsilon$$

증명) 귀류법을 사용한다. 이 정리가 거짓이라고 가정하면 $s_0:=\sup E-\varepsilon_0$ 와 $\sup E$ 사이에 $E$ 의 원소가 놓이지 않게 하는 양수 $\varepsilon_0$ 이 존재한다. $\sup E$ 가 $E$ 의 최소상계이므로 $\forall a\in E$ 에 대하여 $a\leq s_0$ 여야 한다. ($s_0$ 와 $\sup E$ 사이에는 $E$ 의 원소가 없다고 가정하였으므로) 이는 $s_0$ 가 $\sup E$ 임을 뜻하게 되므로, 정의($A.N$) 1.1 의 ①에 의하여 $\sup E \leq s_0=\sup E-\varepsilon_0$ 이 성립한다. 따라서 $\varepsilon_0\leq 0$ 이 되고 이는 가정에 모순이다. 따라서 주어진 정리는 참이다. $_\blacksquare$

 

 

다음 정리는 해석학에서 반복적으로 사용하는 정수 집합의 상계에 관한 특징을 담은 정리입니다. 

 

정리($A.N$) 1.4
[정수 집합의 상한]
집합 $E\subset \mathbb{Z}$ 가 상한을 가지면 $\sup E \in E$ 이다. 특히, 정수로만 이루어진 집합의 상한이 존재하면, 상한 또한 반드시 정수이다.

증명) $s:=\sup E$ 라 하고 정리($A.N$) 1.3 을 만족하는 원소를 $a_0\in E$ 라 하자. 그러면 $s-1<a_0\leq s$ 가 성립한다.^[각주:5] 만일 $s=a_0$ 이면 $a_0=s\sup E \in E$ 가 되어 증명이 끝난다. 만일 그렇지 않다면 $s-1 < a_0 < s$ 이고, $a_0<a_1<s$ 인 정리($A.N$) 1.3 을 만족시키는 $a_1\in E$ 를 뽑을 수 있다.^{[각주:6][각주:7]} 이 부등식의 모든 변에서 $a_0$ 를 빼면 $0<a_1-a_0<s-a_0$ 를 얻는다. 첫 부등식으로부터

$$s-1<a_0 \;\;\Rightarrow \;\; -a_0 <1-s \;\;\Rightarrow \;\; s-a_0<1-s+s = 1$$
가 성립하므로,

$$0<a_1-a_0<1$$
을 얻는다. 따라서 $a_1-a_0\notin \mathbb{Z}$ 가 되므로 $a_0\in E \subset \mathbb{Z}$ 라는 가정에 모순이다. 고로 $a_0=s=\sup E \in E$ , 즉 상한은 반드시 주어진 정수의 부분집합의 원소임이 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

 

[참고문헌]

William R. Wade - Introduction to Analysis, 4E

 

 

 

1. 어떤 집합을 나타내는 기호는 보통 $A,B$ 를 많이 쓰기는 하지만, 프랑스어로 집합은 'ensemble' 이라 표현합니다. 통계역학에서 등장하는 그 앙상블이 맞습니다. 이때문에 제가 참고하는 교과서에서는 흔히 집합을 기호 $E$ 로 표기합니다. [본문으로]
2. 최소상계가 $E$에 포함된다면, $E$의 가장 오른쪽 구간 끝에 위치한 원소가 될 것입니다. [본문으로]
3.  제가 무의식적으로 상한과 최소상계를 번갈아 가면서 사용할 수 있는데 완전히 같은 말임에 유의하시기 바랍니다. [본문으로]
4. 뒤에서 확장 실수 체계를 다루게 되는데, 그에 의하면 어떤 집합의 상한이나 하한이 양 또는 음의 무한대가 될 수가 있게 됩니다. 이러한 경우에 상한이나 하한이 유한하다고 하지 않습니다. [본문으로]
5. 부등호의 가장 좌변이 $s-1$ 인 것은 주어진 집합이 정수 집합이기 때문입니다. $s$ 보다 바로 작은 원소가 $s-1$ 이라는 것이죠. [본문으로]
6. 왜냐하면 $a_0$ 가 $s$ 보다 확실히 작기 때문에 정리($A.N$) 1.3 에서 $a_0$ 가 $\sup E-\varepsilon$ 의 역할을 한다고 할 수 있으므로, 다시 $E$ 의 원소 중 $a_0$ 보다 큰 $a_1$ 을 뽑을 수 있다는 것입니다. [본문으로]
7. 근데 직관적으로 생각하면 이미 모순입니다. $E$ 의 원소가 정수들 뿐이기 때문이지요. 잘 생각해 보시기 바랍니다. 그렇지만 해석학을 공부하고 있으니 수학적으로 엄밀하게 증명을 계속 하는 것입니다. [본문으로]