반응형 미분방정식(Differential equation)/편미분방정식2 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 변수분리법으로 풀기(The Laplace Equation in the Spherical coordinates by using separation of variables method) 오늘은 편미분방정식에서 굉장히 중요한 것을 풀어보려 합니다. 물리 문제에 종종 등장하는 대표적인 편미분방정식인 라플라스 방정식이 그 대상인데, 이를 구면 좌표계에서 풀 것이고 변수분리법을 이용할 것입니다. 3차원 구면좌표계에서 변수분리법을 써서 라플라스 방정식을 풀게되면 구면조화함수(Sperical harmonics)와 연관 르장드르 다항식(Associated Legendre polynomial)을 얻습니다. 르장드르 다항식 같은 경우는 르장드르 함수 및 르장드르 방정식이 있고, 고유의 수많은 특징을 가지기 때문에 물리학에서 폭넓게 애용됩니다. 르장드르 다항식의 경우 모함수(generating funtion)이나 프로베니우스 방법을 이용하는 것이 정통적인 방법이라면, 오늘 등장하는 방법을 통해 얻게 되는.. 2022. 4. 23. 편미분방정식에 변수분리법을 쓸 때 방위각 주기성, 방위각 대칭성의 뜻(What does azimuthal periodic, and azimuthal symmetric stand for?) 구면좌표계나 원통좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 다 보면 방위각 부분에서 주기성이나 대칭성을 갖는다는 말이 등장합니다. 전자의 경우 주기성을 이유로 방위각 부분의 변수분리 해를 정수조건을 달아 지수함수로 만들고, 후자의 경우 방위각을 해에 아예 적지를 않습니다. 그 까닭이 무엇이고, 그 둘은 어떻게 다른지 구분을 잘하지 않으면 상당히 피곤합니다. 전공책들에 그러한 설명이 의외로 자세하지 않아 간단히 정리를 해보려고 합니다. 구면좌표계에서(원통좌표계도 방위각이 존재하니 마찬가지입니다.) 라플라스 방정식을 변수분리법으로 풀면 다음과 같은 상황이 등장합니다. $$\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d }{dr}\left( r^2 \frac{d R}{dr} \right)+\frac{\sin\the.. 2022. 4. 23. 이전 1 다음 반응형
