반응형 대수학(Abstract Algebra)/군론9 대수학에서 잉여류와 라그랑주 정리(Cosets and Lagrange's Theorem in the Algebra) 유한군의 성질을 분석할 때 가장 애용되는 것이 라그랑주 정리입니다. 라그랑주는 수학과 물리학에 지대한 영향을 미친 사람입니다. 그의 이름이 붙은 것들을 살펴보면 수학에서는 방금 언급한 대수학에서의 라그랑주 정리나, 라그랑주 승수법, 그리고 물리학에서는 고전역학에서 매우 매우 거대한 업적인 최소 작용의 원리와 라그랑주 역학, 천문학에서 라그랑주점 등이 있습니다. 1. 잉여류 정의(A.A) 2-20) 잉여류군 G 와 H⩽ 를 생각하자. 어떤 a\in G 에 대하여,① Ha:=\{ ha\mid h\in H\} 를 a 에 의해 생성되는 H 의 '우잉여류(right coset)'이라 한다.② aH:=\{ ah \mid h\in H\} 를 a 에 의해 생성되는 $H.. 2024. 8. 21. 동형사상, 자기동형사상, 내부자기동형사상(Isomorphism, Automorphism, Inner automorphism) 준동형사상 글에서 언급했듯이 준동형은 연산의 구조를 보존하는 사상입니다. 그 예시를 외계인과의 조우를 통해 아주 실감나게 설명했던 바 있습니다. 그럴일은 없겠지만 만일 제가 살아생전에 외계인을 만난다면 수학과 물리로 대화를 할 수 밖에 없을 것입니다. 그럴 순간이 온다면, 그들의 세상과 언어, 소통의 구조가 우리 인류와 동형일지가 가장 머릿속에 떠오를 것 같습니다. 1. 동형사상 1) 정의 정의(A.A) 2-17) 군론에서 동형사상군 G,H 와 사상 \sigma : G\longrightarrow H 생각하자. 만일 \alpha 가 준동형이면서 전단사(일대일대응)인 경우, 이를 '동형사상(isomorphism)'이라고 한다. 그리고 G 는 H 와 '동형(isomorphic)'이라 .. 2024. 8. 8. 군의 준동형 사상(group homomorphism) 이제 군론에서 굉장히 중요한 개념인 준동형사상을 다룰 예정입니다. 준동형사상의 개념과 정의는 매우 쉽지만, 그것이 함의하고 있는 뜻을 정확히 분석하는 일이 중요합니다. 참고로 보통 준동형은 사상이라고 말합니다. 함수와 사상의 차이는 설명했던 적이 있기는 한데, 아무래도 사상이라는 표현은 딱 정의역과 공역이 우리가 자주 다루는 수의 집합을 넘어서 추상적인 집합이 등장하면 자주 사용하는 편이기 때문에, 대수학에서는 사상이라는 표현을 좀 더 즐겨 쓴다는 정도로 받아들이면 충분할 것 같습니다. 따라서 제가 본문에서 사상이라고 적든, 함수라고 적든 이는 맥락에서 크게 중요한 사실은 아니기 때문에 걱정하지 않으셔도 됩니다.1. 준동형사상 1) 정의 정의(A.A) 2-16) 군의 준동형사상G 와 H 를.. 2024. 7. 31. 순환군과 위수(Cyclic group and order of group) 군에 여러 종류가 있지만 제가 생각하기에 가장 많이 등장하면서 중요도가 높아 으뜸으로 칠 수 있는 것 바로 순환군입니다. 순환군은 말그대로 무언가가 계속 돌아가면서 반복된다는 뉘앙스를 가지고 있는데 실제 그 특성이 순환군에서 잘 드러나게 됩니다. 그러나 주의점이 있습니다. 순환군은 정수론의 기본 개념들을 알지 못하면 제대로 분석하는 것이 불가능에 가깝습니다. 구체적으로는 정수론에서 합동의 의미, 선형합동식을 푸는 방법, 정수론에서 잉여류(동치류)의 개념, 그들의 연산법을 전부 알아야 합니다. 정수론을 잘 모르더라도 이러한 개념은 각잡고 1주일 정도만 공부하면 해결하는 것이 어렵지 않습니다. 반드시 이 모든 글에 적혀있는 개념을 정독하고 오시는 것을 권합니다. 이제 순환군을 한 번 살펴보겠습니다. ht.. 2024. 7. 2. 여러가지 군(Various named group) 이번 글에서는 군과 부분군의 개념을 숙지하면 이해가 가능한 여러가지 주요 군을 소개하겠습니다. 1. 여러가지 군 1) 일반선형군 정의(A.A) 2-10) 일반선형군(General linear group)집합 M_n(F) 을 체 F 위에서 행렬 곱을 연산으로 하는 n\times n 행렬들로 구성된 모노이드라 하자. 이것이 역원을 가지는 경우, 즉 M_n(F)^* 인 경우 그러한 행렬들의 원소로 구성된 집합을 '일반선형군(General linear group)'이라 부르며, 차수 n 인 체 F 위에서의 가역행렬들로 구성된 군을 말하고 GL_n(F) 로 표기한다. 이때 F=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} 일 때, 일반선형군을 조건제시법으로 나타내면$.. 2024. 6. 21. 부분군(Subgroup) 집합에는 부분집합이 있고 벡터공간도 부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다.1. 부분군1) 정의 정의(A.A) 2-9) 부분군(Subgroups)군 G 의 부분집합 H 가 G 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, H 를 G 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 H\leqslant G 라 표기한다.H\neq G 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, \left\{ 1 \right\} 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다. 여기서 부등호 기호로 사용된 \leqslant 는 \leq 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 \leqslant 로 쓰고, 숫자 간의 단순 대.. 2024. 2. 23. 대수학에서 군의 정의(Group in Algebra) 이제 본격적으로 추상대수학에서 군론을 시작하려 합니다. 군론은 대수학에서도 매우 중요하지만, 환론과 체론이라는 여정을 떠나기 위해 반드시 알아야만 하는 선행개념입니다. 물리학에서는 대학원 수준의 양자역학에서 군론을 다루게 됩니다. 물리학에선 대칭성의 어마무시한 중요성을 피력하는 뇌터 정리 등 군을 통해 대칭성에 대한 풍부한 연구가 필요하기에, 고급 물리학을 공부한다면 양자역학에서 군론이 필요합니다. 이는 순수 대수학의 군론보다는 군론의 응용에 가깝기는 하나, 군의 기본 개념이 필요한 순간에도 봉착할테니 필수적으로 학습해야 합니다. 군, 환, 체에 대한 기초 개념은 이미 설명한 바가 있지만 선형대수학 정도의 수준에서 간단히 설명한 것이고, 본격적으로 군론을 추상대수학(현대대수학) 수준에서 시작하기 위해 정.. 2024. 2. 23. 대수학에서 모노이드(Monoid in Algebra) 이항연산과 마그마에서 결합법칙과 항등원 조건을 추가한 것이 모노이드의 개념입니다. 본격적인 군을 다루기 전에 모노이드 정도로 성립하는 성질을 배우고, 이를 군으로 확장시켜 특성들을 들고 갈 수 있습니다. 1. 모노이드(Monoid) 1) 정의 정의(A.A) 2-2) 모노이드(Monoid) 주어진 연산에 대하여, 마그마 M 에서 결합법칙이 성립하고 항등원이 존재하면 (M,*) 를 '모노이드(monoid)'라 부른다. 만일 모노이드 M 에서 교환법칙이 성립하면, M 을 '교환가능한 모노이드(commutative monoid)'라 부른다. 정의를 보면 마그마 다음으로 결합법칙의 성립과 항등원의 존재라는 조건이 추가되면 모노이드라는 이름을 붙여줍니다. 바로 아래에서 항등원은 유일하다는 것을 증.. 2024. 2. 23. 이항연산과 마그마(Binary operations and Magma) 수학을 크게 해석학, 대수학, 기하학으로 나눈다고 하였을 때 대수학은 가장 역사가 깊은 분야입니다. 중학교와 고등학교에 입학하였을 때 1학년 1학기에 등장하는 내용도 모두 대수학에 관련된 내용으로 시작합니다. 보통 자연계는 학부 과정에서 선형대수학 정도를 다루지만, 대수에 대한 심도 있는 분석은 추상대수학(Abstract Algebra)에서 군,환,체를 다루는 것으로 시작합니다. 대수학은 다른 분야에 비해 복잡한 계산이나 산수가 비교적 적은 편입니다. 대부분 정의를 바탕으로 연역적 논리를 통해 정리를 만들어 내는 과정을 취하고 있습니다. 1. 이항연산과 마그마(Binary operation and Magma) 1) 정의 정의(A.A) 2-1) 이항연산과 닫혀있음(Binary operation and .. 2023. 4. 15. 이전 1 다음 반응형
