반응형 대수학(Abstract Algebra)/군론4 부분군(Subgroup) 집합에는 부분집합이 있고 벡터공간도 부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다. 1. 부분군 1) 정의 정의($A.A$) 2-9) 부분군(Subgroups) 군 $G$ 의 부분집합 $H$ 가 $G$ 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, $H$ 를 $G$ 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 $H\leqslant G$ 라 표기한다. $H\neq G$ 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, $\left\{ 1 \right\}$ 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다. 여기서 부등호 기호로 사용된 $\leqslant$ 는 $\leq$ 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 $\leqslant$ 로 쓰고, 숫자 간의 .. 2024. 2. 23. 대수학에서 군의 정의(Group in Algebra) 이제 본격적으로 추상대수학에서 군론을 시작하려 합니다. 군론은 대수학에서도 매우 중요하지만, 환론과 체론이라는 여정을 떠나기 위해 반드시 알아야만 하는 선행개념입니다. 물리학에서는 대학원 수준의 양자역학에서 군론을 다루게 됩니다. 물리학에선 대칭성의 어마무시한 중요성을 피력하는 뇌터 정리 등 군을 통해 대칭성에 대한 풍부한 연구가 필요하기에, 고급 물리학을 공부한다면 양자역학에서 군론이 필요합니다. 이는 순수 대수학의 군론보다는 군론의 응용에 가깝기는 하나, 군의 기본 개념이 필요한 순간에도 봉착할테니 필수적으로 학습해야 합니다. 군, 환, 체에 대한 기초 개념은 이미 설명한 바가 있지만 선형대수학 정도의 수준에서 간단히 설명한 것이고, 본격적으로 군론을 추상대수학(현대대수학) 수준에서 시작하기 위해 정.. 2024. 2. 23. 대수학에서 모노이드(Monoid in Algebra) 이항연산과 마그마에서 결합법칙과 항등원 조건을 추가한 것이 모노이드의 개념입니다. 본격적인 군을 다루기 전에 모노이드 정도로 성립하는 성질을 배우고, 이를 군으로 확장시켜 특성들을 들고 갈 수 있습니다. 1. 모노이드(Monoid) 1) 정의 정의($A.A$) 2-2) 모노이드(Monoid) 주어진 연산에 대하여, 마그마 $M$ 에서 결합법칙이 성립하고 항등원이 존재하면 $(M,*)$ 를 '모노이드(monoid)'라 부른다. 만일 모노이드 $M$ 에서 교환법칙이 성립하면, $M$ 을 '교환가능한 모노이드(commutative monoid)'라 부른다. 정의를 보면 마그마 다음으로 결합법칙의 성립과 항등원의 존재라는 조건이 추가되면 모노이드라는 이름을 붙여줍니다. 바로 아래에서 항등원은 유일하다는 것을 증.. 2024. 2. 23. 이항연산과 마그마(Binary operations and Magma) 수학을 크게 해석학, 대수학, 기하학으로 나눈다고 하였을 때 대수학은 가장 역사가 깊은 분야입니다. 중학교와 고등학교에 입학하였을 때 1학년 1학기에 등장하는 내용도 모두 대수학에 관련된 내용으로 시작합니다. 보통 자연계는 학부 과정에서 선형대수학 정도를 다루지만, 대수에 대한 심도 있는 분석은 추상대수학(Abstract Algebra)에서 군,환,체를 다루는 것으로 시작합니다. 대수학은 다른 분야에 비해 복잡한 계산이나 산수가 비교적 적은 편입니다. 대부분 정의를 바탕으로 연역적 논리를 통해 정리를 만들어 내는 과정을 취하고 있습니다. 1. 이항연산과 마그마(Binary operation and Magma) 1) 정의 정의($A.A$) 2-1) 이항연산과 닫혀있음(Binary operation and .. 2023. 4. 15. 이전 1 다음 반응형
