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해석학(Analysis)11

함수의 극한과 엡실론 델타 논법 완전정복(Epsilon-Delta Definition of Limits) 미적분학에서 가장 중요한 세 파트를 뽑으라고 한다면 1) 테일러 급수, 2) 스토크스 정리 그리고 3) 발산 정리입니다. 테일러 급수는 모든 수학에서(그리고 수학과에서도) 중요하고, 스토크스 정리와 발산 정리는 수학적으로도 중요하긴 하지만 무엇보다도 공학과 물리학에서 자연현상을 기술할 때 밥 먹듯이 사용하는 근사한 도구입니다. 당장 맥스웰 방정식만 보아도 발산과 회전으로 점철되어 있고, 유체역학은 말할 것도 없습니다. 그런데, 미적분학에서 가장 이해하기 난해한 단원을 뽑으라고 하면 저는 엡실론-델타 논법을 뽑을 것 같습니다. 일단, 엡실론-델타 논법을 처음 마주했을 때 풀이나 개념이 거의 외계어처럼 보이게 됩니다. 결국 앵무새처럼 해설지와 풀이방식을 외워버리고 얼마 지나지 않아서 여름 방학이 지나면 두뇌.. 2024. 3. 10.
유리수의 조밀성(Density of Rationals) 유리수의 조밀성은 여러 수학 과목의 수많은 정리나 성질을 밝히는 과정에서 상당히 빈번하게 등장합니다. 물론 증명을 매순간 하지는 않고, 성질을 가져다 쓰는 경우가 많습니다. 1. 유리수의 조밀성 정리($R.A$) 1.6) 유리수의 조밀성(Density of rationals) 임의의 $a0$ 라 하자. 아르키메데스 성질 ③에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{n} 0$ 에 대해서도 $\displaystyle \frac{1}{n} \max \left\{ \displaystyle \frac{1}{a},\disp.. 2024. 3. 9.
정적분의 정의와 적분가능성(Integral, intergrablity) 리만합을 학습하면 이제 정적분을 정의하는 것이 가능합니다. 1. 적분가능성 정의($A.N$) 5-3) 리만 적분가능(Riemann intergrable) $a0$ 에 대해 $$U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon$$ 를 만족하는 $[a,b]$ 의 분할 $P$ 가 존재하는 것이다. 이 정의는 정의($A.N$) 5-2) 에서 설명한 것과 같이 $f$ 의 부호에 무관하게 성립하는 식입니다. 언제나 $L(f,P)\leq U(f,P)$ 이기 때문에, 위 정의에서 $L(f,P)\leq U(f,P)=\left| U(f,P)-L(f,P)\right|$ 으로 취급해도 상관이 없습니다. 다만 이 정의를 언제나 적분가능성의 확인 용도로 사용하기에는 불편한 점이 있겠지요. 그래서 다음 정리를 사용합니다. 정리($.. 2023. 5. 20.
리만합(Riemann sum) 적분의 세계는 미분보다 복잡하고 이해하기도, 계산하기도 어렵습니다. 적분의 종류는 크게 르베그 적분, 리만 적분 두개로 나누어 볼 수 있는데, 후자의 것이 우리가 고등학교때부터 배우던 개념입니다. 제가 생각했을 때 처음 적분을 배울 때는 두 가지 관점이 중요합니다. 첫번째는 부정적분과 정적분을 구분할 수 있어야 한다는 것입니다. 부정적분은 단순히 역도함수를 구하는 과정이라고 받아들이면 편합니다. 그런데 진정한 적분은 정적분이라고 할 수 있지요. 정적분의 개념을 받아들일 때는 또 두가지 개념이 중요합니다. 첫번째는 그것이 구분구적법에서 출발하여 정의된 것이라는 점이고, 나머지 하나는 비로소 미적분학의 기본정리를 통해 더이상 구분구적법 없이 넓이를 구할 수 있다는 관점입니다. 이 모든 것은 고등학교 수학에서.. 2023. 5. 20.
아르키메데스 성질(Archimedean principle) 아르키메데스 성질은 정수론, 대수학, 해석학에서 자주 사용되며 실수의 완비성 공리의 따름정리의 한 예입니다. 아르키메데스 성질은 아래의 박스에서 ①이 가장 일반화된 식에 해당하는데, ①을 조금 쉽게 다듬하면 더 직관적으로 받아들일 수 있는 ②와 ③이 나온다고 할 수 있습니다. 증명은 여러 방법이 있겠으나 보다 쉬운 방법으로 ②를 해서 일반화된 ①을 뽑고 그로부터 ③을 도출할 것입니다. 가장 일반적인 아르키메데스 성질을 말하면 보통 ①을 통해 표현합니다. 정리($A.N$) 1.5 [아르키메데스 성질(Archimedean principle)] ① 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 어떤 임의의 $M\in\mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 $N\varepsilon >M$ 을 만족하는 .. 2023. 4. 16.
실수의 완비성 공리(Completeness axiom) 실수를 건설하는 세 가지 공리 중 마지막으로 소개할 것이 완비성 공리입니다. 완비성 공리를 사용하면 정확히 유리수와 실수의 구분이 가능해집니다. 그 까닭은 유리수는 완비적이지 않기 때문입니다. 개념을 소개하고, 왜 그러한지 설명해 보겠습니다. 공리($A.N$) 1.3 [실수의 완비성 공리(Completeness axiom)] 공집합이 아닌 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 위로 유계이면, $E$ 는 반드시 유한한 최소상계를 갖는다. 우리가 알고 있는 수들의 집합은 항상 공리를 통해 건설됩니다. 예를 들면 보통 자연수는 페이노 공리계를 사용하고, 실수의 경우는 여태까지 소개한 체 공리, 순서 공리, 완비성 공리를 만족하는 집합으로 정의됩니다. 그렇다면 이 세 공리를 만족하는 수 집합은 오.. 2023. 3. 11.
유계와 상한, 하한(Bounded, supremum, infimum) 대학교 1학년의 미적분학에서 수열의 극한을 다룰때 즈음 유계에 관한 설명이 등장하는 경우가 있습니다. 교과서마다 설명 여부가 다를 수 있지만 배운다고 할지라도 아주 자세하게 다루지는 않습니다. 집합에 대해 유계의 개념과, 상한 및 하한은 이후 고급 수학 분야에서 아주 흔하게 등장하는 개념이며 어렵지 않기 때문에 정확히 잘 정리하고 넘어가는 것이 중요합니다. 뜻 자체도 번역이 잘 되어 있는 편이기 때문에 직관적으로 받아들이는 것도 쉽습니다. 1. 유계, 상한과 하한 1) 정의 정의($A.N$) 1-1 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 공집합이 아니라고 가정하자. ① 집합 $E$ 가 '위로 유계(bounded above)'라는 것은 모든 $a\in E$ 에 대하여 $a\leq M$ 을 만족.. 2023. 3. 11.
실수의 체 공리, 순서 공리(Field axiom, order axiom in Real number system) 해석학(Analysis)은 잘게 쪼갠 것(쪼갤 석,析)을 푼다(풀 해,解)는 뜻입니다. 잘게, 작게 쪼갠다는 표현을 수학에서 사용하면 보통 무엇이 먼저 떠오르시나요? 고등학교 수학 정도를 공부해보신 분이라면 미분이 먼저 떠오르지 않을까 싶습니다. '미분'은 한자를 보면 '작게 나눈다'라는 뜻이고 '적분'은 '나누어 쌓는다(더한다)'라는 뜻입니다. 실제로 해석학은 미적분학의 심화 버전이라고 할 수 있습니다. 물리학으로 따져보자면 일반물리학에서 현대물리 파트를 양자역학 과목에서 심화하여 배우는 것이나 뉴턴역학 파트를 고전역학 과목에서 심화하여 배우는 것, 그리고 전자기 파트도 역시 전자기학 과목에 가서 심화하여 배우는 것과 비슷합니다. 심화하여 배운다는 것은 학부 과정의 언어로 표현하면 '엄밀하게' 공부한다.. 2023. 3. 10.
푸리에 변환에 대한 정확한 분석(Fourier Transform) 푸리에 급수 다음 등장하는 푸리에 변환은 적분변환(Integral Transform) 의 알파이자 오메가입니다. 대학에서 수학을 사용하는 학과에서 배우지 않을 수 없는 개념이고, 활용도는 무궁무진합니다. 변환이라는 특성상 단순 수학적 기법에서의 변환 의미를 넘어, 일상 생활에서 파동에 관한 장치들에 빠지지 않고 응용되기에 푸리에 변환은 오히려 수학과보다 공대생들에게 자주 쓰이는 도구일지도 모릅니다. 그러나 대부분의 학생은 여기까지의 말을 '들어만' 봤지 '이해하지는' 못하고 웹서핑과 유튜브의 무한 반복에 지쳐 쓰러집니다. 실제로 푸리에 변환의 수학적 의미가 아니라 활용적 의미, 과학적 의미는 수많은 유튜브 영상에서 그림과 함께 보여주고 있습니다. 실험이나 그래프 시뮬레이션 프로그램을 통해서 푸리에 변환을.. 2022. 3. 16.
푸리에 해석에서 디리클레 조건(Dirichlet conditions) 푸리에 해석에서는 중요한 두 가지 명제가 있는데 하나는 디리클레 조건(Dirichlet conditions)에 관한 것이고 나머지 하나는 파시발의 정리(Parseval's Theorem)입니다. 이들은 일종의 푸리에 해석의 정당성과 확장성을 보태주는 역할을 한다고 볼 수가 있는데, 아마 푸리에 해석을 다루는 대부분의 교과서에서 짧게라도 등장하기는 하지만 처음 공부할 때는 푸리에 급수 활용에 초점을 맞추기 때문에 굳이 눈여겨 보지는 않을 것입니다. 다만 한번 쯤 읽어볼 필요는 있기에 소개하려고 합니다. 그러나 이 정리들은 정확히 증명하려면 꽤나 수준높은 해석학 지식을 필요로 하기 때문에 저 역시 여기서 엄밀한 증명이 아닌, 뜻을 파악하기 위해 간단한 설명을 하도록 하겠습니다. 또한 제목을 단순히 디리클레 .. 2022. 3. 15.
푸리에 급수의 수학적 의미 쉽게 알아보기(Fourier series) 대학 수학에서 푸리에 해석과 푸리에 계수는 절대 빼먹을 수 없는 요소로 등장합니다. 그런데 대부분의 학생들은 K-수학식으로 주구장창 푸리에 계수를 열심히 구하는 방식으로만 공부를 하지 않았을까 싶은 개인적인 생각을 합니다. 저도 처음 배울 땐 그런 식으로 배우기는 했습니다. 푸리에 해석에 대해서는 궁극적으로 수학적 성질의 의미를 이해해야 합니다. 그리고 푸리에 해석은 대학에서 수학을 공부하는 거의 모든 이과생들이 반드시 사용하게 되는 도구이기에 이미 많은 컨텐츠들이 존재합니다. 그러한 컨텐츠들을 여러개 참고하다보면 공통적으로 하는 말이 있습니다. 바로 '아무리 복잡한 파형이라도 기본 파형들의 조합으로 쪼갤 수 있다'라는 말입니다. 대충 공부하신 분들도 어디서 주워 들었을 겁니다. 저 문장이 가진 의미를 .. 2022. 2. 13.
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