반응형 선형대수학(Linear Algebra)/내적공간6 그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process) 기저의 선택은 정규직교기저를 선택하는 것이 가장 깔끔하고 간편합니다. 그런데 주어진 공간의 정규직교기저를 처음부터 항상 알고 있는 것은 아니겠지요. 그렇지만 내적공간에서 공간의 차원에 해당하는 갯수만큼의 원소를 가진 벡터로 구성된 일차독립인 집합이 주어졌을 때, 반드시 정규직교기저를 구할 수 있고 그 방법이 소개되어 있습니다. 1. 그람-슈미트 직교화 과정 정리($L.A$) 6.6 [그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process)] 내적공간 $V$ 에서 일차독립인(또는 임의의 basis) 집합 $S=\left\{ w_1,w_2,\cdots,w_n \right\}$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 과정으로 내적을 수행하여 정규직교기저를 얻는 방법을 그람-슈미트.. 2022. 12. 18. 벡터의 직교와 정규화(Orthogonality and normalization) 벡터에서 내적이란 개념을 장착하면 벡터의 직교를 정의하고, 정규화를 하는 작업은 내적에서 가히 으뜸으로 해야할 작업이라고 볼 수 있습니다. 결국 벡터 중에서 내가 원하는 벡터를 표현하기 위해서 정규직교집합을 건설하는 것은 아주 중요하고 아름다운 작업입니다. 우리가 중학생때부터 줄곧 사용해왔던 직교좌표계의 $x,y,z$ 축은 모두 정규직교기저로 이루어져 있기 때문에 각 축이 정확히 수직 관계를 유지하고 있는 셈이며, 고유값 문제에서는 선형변환이 대각화가능하다는 것의 필요충분조건이 선형변환의 고유벡터로 이루어진 순서기저의 존재성에 해당합니다. 그런데, 차후 알게 되겠지만 행렬 또는 선형변환이 자기수반(self-adjoint)이거나 유니타리(unitary), 그리고 이를 포함하는 정규(normal)에 해당하는.. 2022. 7. 17. 삼각 부등식의 증명(Triangle inequality) 삼각부등식을 이해할 때는 피타고라스 정리를 떠올리면 됩니다. 각각의 벡터의 크기 합이 두 벡터의 합의 크기보다 같거나 크다는 뜻입니다. 정리($L.A$) 6.4 [삼각 부등식(Triangle inequality)] $F$ 내적공간 $V$ 와 그에 속하는 임의의 벡터 $x,y\in V$ 에 대하여 다음이 항상 성립한다> $$\left\| x+y \right\|\le \left\| x \right\|+\left\| y \right\|$$ 증명) $$\left\| x+y \right\| \le \left\| x \right\|+\left\| y \right\|$$ $$\begin{align*} \left\| x+y \right\|^2&=\left\langle x+y,x+y \right\rangle =\left.. 2022. 7. 12. 코시-슈바르츠 부등식 증명(Cauchy-Schwarz inequality) 이번 글에서는 코시-슈바르츠 부등식을 증명해 보려고 합니다. 이 부등식은 고등학교 1학년 수학에서부터 등장합니다. 고등학교 버전의 부등식을 간단히 설명하고, 선형대수학에서의 버전으로 넘어가 보겠습니다. 1. (高) 코시-슈바르츠 부등식 고등학교 수학에서 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같다. $$\left( a^2+b^2 \right)\left( x^2+y^2 \right)\ge \left( ax+by \right)^2$$ 참고로 아래 증명에서 $(LHS)$ 란 'Left hand side', 즉 좌변을 뜻하고 $(RHS)$ 는 'Right hand side' 로 우변을 뜻합니다. 증명) 좌변과 우변을 각각 전개해보자. $$(LHS)=a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2$$ $$\begin{a.. 2022. 7. 12. 놈과 놈공간 (Norm, and Normed vector spaces) 벡터의 크기와 길이에 대한 정보를 다루기 위해서는 흔히 절댓값 벡터로 알고 있는 노름(norm)에 대한 지식이 필요합니다. 노름은 번역을 하기가 힘들어 번역서에서도 그냥 노름이라 말하지만, 읽을 때는 '놈'에 가깝습니다. 그러나 놈은 한국어로 좋은 뜻은 아닐 뿐더러 R 발음을 살려주기 위해서 노름이라고 적어둔 책이 좀 더 많습니다. 저는 아무 표현이나 다 사용할 것입니다. 노름은 고등학교 수학에서 사용했던 절댓값의 일반화되고 추상화된 개념입니다. 길이나 거리를 측정하기 위한 수단으로서 사용되는 경우가 대부분입니다. 지금은 선형대수학 포스팅을 하고 있기 때문에 선형대수학의 노름을 위주로 설명하겠지만, 공간이라는 키워드에 초점을 맞춘다면 노름을 특정 정의를 만족하는 노름 공간의 원소로서 관찰하는 것도 가능합.. 2022. 2. 20. 내적공간 (Inner product space) 내적공간은 대부분의 선형대수학 책의 마지막에 위치해 있습니다. 보통 마지막에 위치하면 학습률이 떨어지기 마련이죠. 그런데 물리학을 공부하며 필요한 선형대수학의 절반은 내적공간이라 해도 과언이 아닙니다. 고전역학에서 대각화나 고유치 문제를 단독적으로 쓰거나 가벼운 행렬 연산을 하는 경우를 제외하면 수리물리학만으로도 충분하지만, 양자역학은 그것을 용납하지 않습니다. 양자역학은 선형대수학과 미적분학, 특수함수의 삼위일체고 하나라도 빼놓고는 제대로 소화하기 어렵습니다. 그리고 양자역학에서의 벡터공간은 대부분 내적공간(중 특이한 성질을 가진 것)입니다. 사실 공부를 조금 더 깊게 해주면 공간의 종류는 굉장히 많습니다. 그리고 많은 공간들은 내적을 이해하고 나서야 정의가 가능합니다. 그래서 내적공간을 공부할 때는 .. 2022. 2. 13. 이전 1 다음 반응형
