반응형 대수학(Abstract Algebra)11 부분군(Subgroup) 집합에는 부분집합이 있고 벡터공간도 부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다. 1. 부분군 1) 정의 정의($A.A$) 2-9) 부분군(Subgroups) 군 $G$ 의 부분집합 $H$ 가 $G$ 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, $H$ 를 $G$ 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 $H\leqslant G$ 라 표기한다. $H\neq G$ 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, $\left\{ 1 \right\}$ 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다. 여기서 부등호 기호로 사용된 $\leqslant$ 는 $\leq$ 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 $\leqslant$ 로 쓰고, 숫자 간의 .. 2024. 2. 23. 대수학에서 군의 정의(Group in Algebra) 이제 본격적으로 추상대수학에서 군론을 시작하려 합니다. 군론은 대수학에서도 매우 중요하지만, 환론과 체론이라는 여정을 떠나기 위해 반드시 알아야만 하는 선행개념입니다. 물리학에서는 대학원 수준의 양자역학에서 군론을 다루게 됩니다. 물리학에선 대칭성의 어마무시한 중요성을 피력하는 뇌터 정리 등 군을 통해 대칭성에 대한 풍부한 연구가 필요하기에, 고급 물리학을 공부한다면 양자역학에서 군론이 필요합니다. 이는 순수 대수학의 군론보다는 군론의 응용에 가깝기는 하나, 군의 기본 개념이 필요한 순간에도 봉착할테니 필수적으로 학습해야 합니다. 군, 환, 체에 대한 기초 개념은 이미 설명한 바가 있지만 선형대수학 정도의 수준에서 간단히 설명한 것이고, 본격적으로 군론을 추상대수학(현대대수학) 수준에서 시작하기 위해 정.. 2024. 2. 23. 대수학에서 모노이드(Monoid in Algebra) 이항연산과 마그마에서 결합법칙과 항등원 조건을 추가한 것이 모노이드의 개념입니다. 본격적인 군을 다루기 전에 모노이드 정도로 성립하는 성질을 배우고, 이를 군으로 확장시켜 특성들을 들고 갈 수 있습니다. 1. 모노이드(Monoid) 1) 정의 정의($A.A$) 2-2) 모노이드(Monoid) 주어진 연산에 대하여, 마그마 $M$ 에서 결합법칙이 성립하고 항등원이 존재하면 $(M,*)$ 를 '모노이드(monoid)'라 부른다. 만일 모노이드 $M$ 에서 교환법칙이 성립하면, $M$ 을 '교환가능한 모노이드(commutative monoid)'라 부른다. 정의를 보면 마그마 다음으로 결합법칙의 성립과 항등원의 존재라는 조건이 추가되면 모노이드라는 이름을 붙여줍니다. 바로 아래에서 항등원은 유일하다는 것을 증.. 2024. 2. 23. 교대군(Alternating group) 순열과 치환은 대수학을 시작하기 위한 몸풀기 운동 수준인데, 군의 정의 이전에 순열과 치환만으로 개념을 잡을 수 있는 군의 종류가 바로 대칭군과 교대군 두가지입니다. 대칭군과 교대군은 군론을 하다 중간 부분쯤에 갑자기 또 나와서 집착적으로 과도하게 우리를 괴롭힐 때가 있기 때문에 처음에 한 번 제대로 발라 두겠디는 느낌으로 정리해 보는 것이 큰 의미가 있습니다. 1. 교대군 1) 정의 정의($A.A$) 1-9) 교대군(alternating group) 대칭군 $S_n$ 의 모든 짝치환들의 집합을 '차수가 $n$ 인 교대군(alternating group of degree $n$)'이라 하고 $A_n$ 으로 표기한다. 조건제시법으로 다음과 같이 쓸 수 있다. $$A_n=\left\{ \sigma\in S_.. 2024. 2. 21. 이항연산과 마그마(Binary operations and Magma) 수학을 크게 해석학, 대수학, 기하학으로 나눈다고 하였을 때 대수학은 가장 역사가 깊은 분야입니다. 중학교와 고등학교에 입학하였을 때 1학년 1학기에 등장하는 내용도 모두 대수학에 관련된 내용으로 시작합니다. 보통 자연계는 학부 과정에서 선형대수학 정도를 다루지만, 대수에 대한 심도 있는 분석은 추상대수학(Abstract Algebra)에서 군,환,체를 다루는 것으로 시작합니다. 대수학은 다른 분야에 비해 복잡한 계산이나 산수가 비교적 적은 편입니다. 대부분 정의를 바탕으로 연역적 논리를 통해 정리를 만들어 내는 과정을 취하고 있습니다. 1. 이항연산과 마그마(Binary operation and Magma) 1) 정의 정의($A.A$) 2-1) 이항연산과 닫혀있음(Binary operation and .. 2023. 4. 15. 부호함수와 치환(Signum function with Permutation) 부호함수란 말그대로 부호를 판별하는 함수입니다. 물론 부호는 어떤 함수로 표현하기에는 너무 간단하고 수가 가진 기본적 성질이기에 판별한다는 표현이 적절한 것인지 의문이 들 수도 있습니다. 그런 의미에서, 부호를 결정하는 역할을 하는 함수로 보는 관점도 존재합니다. 그래도 그래프를 그릴 수 있고, 그 모양으로부터 발생하는 몇가지 성질이 있으며 복소함수론과 연결하면 modulus 및 편각에 관한 정보를 주기도 합니다. 물론 지금의 목적은 부호함수를 치환에 의한 함수로 보고 행렬식을 엄밀하게 정의하기 위함에 있습니다. 1. 부호함수 1) 정의 정의($A.A$) 1-9) 부호함수 $S_n$에서 '부호함수(Sign(um) function)' 는 $f:S_n\rightarrow \left \{ -1,1 \right.. 2020. 12. 8. 대수학에서 호환과 짝치환, 홀치환 (Transposition and even, odd permutation in Algebra) 행렬식의 엄밀한 정의를 배우기 위해선 부호함수를 알아야 하고, 부호함수를 알려면 호환, 호환을 위해선 여태까지 했던 치환의 개념을 보유하고 있어야 합니다. 저번 포스팅에서, 모든 치환은 서로소인 순환들의 곱으로 나타낼 수 있다고 했습니다. 그런데 순환들은 더 작은 크기의 순환으로 반드시 쪼갤수 있기 때문에, 결국 모든 치환은 '호환'이라 불리는 순환으로 쪼갤 수 있다는 결론이 나옵니다. 오늘의 핵심은 호환의 개념과, 짝치환 및 홀치환을 이해하는 것입니다. 1. 호환(Transposition) 1) 정의 정의($A.A$) 1-7) 호환(Transposition) $S_n$ 에서 길이가 $2$인 $(i,j)$ 형태의 순환을 '호환(Transpostion)'이라 한다. 호환에 대하여 다음 성질이 성립한다. ①.. 2020. 12. 8. 대수학에서 순환의 서로소의 뜻과 교환법칙(Commutative laws in Mutually disjoint of Cycle) 순환에서는 서로소라는 개념이 중요할 뿐만 아니라 서로소인 순환들에 대해서 성립하는 규칙들이 있습니다. 이를 소개하고 몇가지 증명을 해보려 합니다. 여기서 서로소는 정수론에서 두 소수가 서로소(relatively prime)라는 의미보다는 집합론에서의 두 집합의 서로소(mutally disjoint)의 개념에 가깝습니다. 1. 서로소(Mutually disjoint) 1) 정의 정의($A.A$) 1-6) 순환의 서로소 $S_n$의 두 순환 $\sigma =\begin{pmatrix} a_1 &a_2 &\cdots &a_k \end{pmatrix}\;,\; \tau=\begin{pmatrix} b_1 &b_2 &\cdots &b_r \end{pmatrix}$ 가 서로 공통된 성분을 갖지 않아 $\left \.. 2020. 12. 6. 대칭군(The symmetric group) 1. 대칭군 1) 정의 정의($A.A$) 1-4) 대칭군(Symmetric groups) $X=\left \{ 1,2,\cdots,n \right \}$ 의 모든 치환들로 이루어진 집합 $S_n$은 함수의 합성 $\circ$ 를 연산으로 갖는 군이다. 덧붙여 $S_n$은 치환의 합성에 대한 항등원과 치환의 합성에 대한 역원이 존재하고, 이러한 군 $\left ( S_n,\circ \right )$ 을 '차수가 $n$인 대칭군(Symmetric group of degree $n$)'이라 부른다. 왜 '대칭'인지에 대해서는 아래 그림으로 설명할 것이고, 우선 군 자체의 조건을 만족시키는지 확인을 해 봅시다. 치환은 전단사함수이기 때문에 결국 함수의 일종입니다. 그러면 함수의 합성 $\circ$이란 일반적으로.. 2020. 12. 6. 대수학에서 치환과 순환(Permutation and cycle in Algebra) 군론(Group Theory)은 대수학의 진가를 보여주는 추상적 논리로 설계된 과목이라 보아도 이견의 여지가 없을 겁니다. 수학과에서 주 재료로 요리를 담당하고 있지만 물리학, 화학에서도 군론은 상당히 중요합니다. 왜냐면 고학년 과목인 양자역학에서 군론의 힘을 빌려야 하기 때문입니다. 심지어 아예 따로 물리학에서 필요한 군론을 다루는 교재나 분야도 있습니다. 그러나 굳이 거기까지 올라가지 않더라도 때에 따라선 지금 이 포스팅의 목적이기도 한 선형대수학을 할 때 마주하기도 합니다. 벡터공간이나, 행렬식을 말하고자 할 때도 간단하지만 군의 개념이 필요합니다. 군 이론의 군들 중 우선적으로 무게를 두고 학습하는 군이 바로 대칭군입니다. 대칭군은 의외로 심플한데, 그저 일대일 함수들을 원소로 갖는 집합이기 때문.. 2020. 12. 3. 연산과 군, 환, 체의 간단한 개념 (Basic concept of Binary operation, Group, Ring, and Field) 대학교에서 수학은 공과대학, 수학과, 물리학과, 경제학과 등 수많은 학과에서 사용합니다. 그 중 너나할거 없이 배우는 알파이자 오메가인 과목이 미적분학이며, 이 다음으로 중요한 것이 바로 선형대수학입니다. 그런데 미적분학과 달리 선형대수학은 고등학교에서 볼 수 없었던 엄밀한 논리와 추상적인 전개로 점철되어 있으며 대학 수학의 기초이자 진수를 보여줍니다. 그렇지만, 수학과를 제외한 타 학과에서는 선형대수학을 배우긴 하지만 아무래도 아주 자세하게 배우진 않고, 응용할 수 있는 도구들 중심으로 배우게 됩니다. 예컨대 행렬식, 행렬연산, 행렬의 대각화, 고유값 문제, 선형독립/종속, 선형결합, 선형변환 등이 그 대상입니다. 하지만, 선형대수학의 출발은 벡터와 스칼라가 무엇인지 규정하는 일에서 시작하여 벡터공.. 2020. 12. 3. 이전 1 다음 반응형
