직교/구면/원통 좌표계에서 차원 요소, 기울기, 발산, 회전, 라플라스 연산
그래디언트를 활용하여 여러 가지 수학적·물리적 의미를 갖는 양들을 계산할 수 있습니다. 그런데 벡터함수를 미분하거나 적분할 때는 좌표계에 따라 그 꼴이 다릅니다. 대표적으로 쓰는 세 좌표계에 대한 미분량(차원 요소), 기울기, 발산, 회전, 라플라스 연산을 정리해 보겠습니다. 증명은 하지 않습니다. 직교 좌표계(Cartesian Coordinate) 변위 요소 : $d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}+dz\, \mathbf{k}$ 면적 요소 : $dx,dy,dz$ 중 두개를 곱함 부피 요소 : $d\tau = dx\,dy\,dz$ 발산 : $\nabla \cdot \mathbf{F}=\displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial x}+\..
2022. 2. 14.
그래디언트, 나블라, 델 연산자 (Gradient, nabla, Del operator)
과학과 공학에서 사용하는 미분연산자 중 으뜸인 것이 바로 그래디언트(gradient) 연산자 입니다. 그래디언트는 구배(勾配), 기울기벡터, 나블라(nabla), 델(del)이라고도 부르는데, 그래디언트가 가장 공식적으로 사용하는 용어입니다. 다만 엄밀하게 따지면 단순히 그래디언트라고 하면 주로 스칼라 함수에 1번 연산자가 붙어 기울기 벡터를 나타내는 뜻으로 많이 쓰이고, 정확히 $\nabla$ 기호만을 가리킬 때는 엄밀하게는 '델(del)' 연산자 또는 '나블라(nabla)', 혹은 '그래디언트 연산자'라고 읽는게 적절하지만, 대충 그래디언트라고 퉁쳐서 부를 때가 많습니다. 그래서 주인장도 그렇게 부를 것입니다. 그래디언트는 단순히 고등학교 때 배웠던 여러 다항함수, 초월함수의 접선의 기울기를 구하는 ..
2021. 12. 8.
벡터장이란? (Vector Field)
벡터 미적분학은 학부의 자연계 학생들이 공부하는 미적분학(Calculus)의 마지막 꼬리 부분을 담당하고 있으며, 미적분학 책 내에서 가장 난이도가 높다고 평가받는 부분입니다. 그러나 벡터 미적분학 부분의 내용, 즉 크게 보면 벡터장, 선적분의 기본정리, 선적분, 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등은 고학년에서 배우는 수학을 이해하기 위한 필수적인 단추 역할을 합니다. 게다가, 스토크스 정리나 발산 정리 같은 경우에는 물리적 해석을 꼭 짚고 넘어가지 않으면 이것들이 왜 회전과 발산에 관한 것인지 이해를 할 수가 없습니다. 미적분학 후반은 보통 극좌표를 배우고 난 다음, 중적분의 세계로 들어가게 되고, 마지막에 벡터 미적분이 등장합니다. 이 포스팅 카테고리에서는 벡터 미적분학에 대한 전반적인 ..
2021. 12. 5.
