직교/구면/원통 좌표계에서 차원 요소, 기울기, 발산, 회전, 라플라스 연산

그래디언트를 활용하여 여러 가지 수학적·물리적 의미를 갖는 양들을 계산할 수 있습니다. 그런데 벡터함수를 미분하거나 적분할 때는 좌표계에 따라 그 꼴이 다릅니다. 대표적으로 쓰는 세 좌표계에 대한 미분량(차원 요소), 기울기, 발산, 회전, 라플라스 연산을 정리해 보겠습니다. 증명은 하지 않습니다.

 

직교 좌표계(Cartesian Coordinate)

변위 요소 : $d\mathbf{r}=dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}+dz\, \mathbf{k}$
면적 요소 : $dx,dy,dz$ 중 두개를 곱함
부피 요소 : $d\tau = dx\,dy\,dz$
 
발산 : $\nabla \cdot \mathbf{F}=\displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial y}+\displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial z}$

회전 : $\nabla \times \mathbf{F}=\left( \displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\mathbf{i}+\left( \displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial x} \right)\mathbf{j}+\left( \displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial y} \right)\mathbf{k}$

라플라스 연산 : $\nabla^2f=\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

 

 

구면 좌표계(Spherical Coordinate)

변위 요소 : $d\mathbf{r}=dr \,\hat{r}+r\, d\theta \,\hat{\theta}+ r\sin \theta \,d\phi\,\hat{z}$
면적 요소 : $d\mathbf{\sigma}= r^2\sin \theta \,d\theta \,d\phi \, \hat{r}+ r\sin \theta \,dr \,d\phi \, \hat{\theta}+r\,dr\,d\theta \,\hat{\phi}$
부피 요소 : $d\tau = r^2\sin \theta \,dr \, d\theta \, d\phi$

Scale factor : $h_{\rho}=1\;\;,\;\; h_{\phi}=\rho \;\;,\;\; h_z=1$

발산 : $\nabla \cdot \mathbf{F}=\displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial }{\partial r}\left( r^2 F_r \right)+\displaystyle\frac{1}{r\sin \theta}\displaystyle\frac{\partial }{\partial \theta}\left( \sin \theta F_{\theta} \right)+\displaystyle\frac{1}{r\sin \theta}\displaystyle\frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi}$

회전 : $\nabla \times \mathbf{F}=\displaystyle\frac{1}{r\sin \theta}\left\{ \displaystyle\frac{\partial }{\partial \theta}\left( \sin \theta F_{\phi} \right)-\displaystyle\frac{\partial F_{\theta}}{\partial \phi} \right\}\,\hat{\mathbf{r}}+\displaystyle\frac{1}{r}\left\{ \displaystyle\frac{1}{\sin \theta}\displaystyle\frac{\partial F_{r}}{\partial \phi}-\displaystyle\frac{\partial }{\partial r}\left( rF_{\phi} \right)  \right\}\,\boldsymbol{\hat{\theta}}
+\displaystyle\frac{1}{r}\left\{ \displaystyle\frac{\partial }{\partial r} \left( rF_{\theta} \right)-\displaystyle\frac{\partial F_r}{\partial \theta}\right\}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}$

라플라스 연산 : $\nabla^2 f=\displaystyle\frac{1}{r^2}\displaystyle\frac{\partial }{\partial r}\left( r^2\displaystyle\frac{\partial f}{\partial r} \right)+\displaystyle\frac{1}{r^2\sin \theta}\displaystyle\frac{\partial }{\partial \theta}\left( \sin \theta \,\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \theta} \right)+\displaystyle\frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\displaystyle\frac{\partial ^2f}{\partial \phi^2}$

 

 

원통 좌표계(Cylindrical Coordinate)

변위 요소 : $d\mathbf{r}=d\rho \,\hat{\rho}+\rho\, d\phi \,\hat{\phi}+dz \,\hat{z}$
면적 요소 : $d\mathbf{\sigma}= \rho \,d\phi \,dz\, \hat{\rho}+d\rho \,dz \,\hat{\rho}+\rho \,d\rho \,d\phi \,\hat{z}$
부피 요소 : $d\tau = \rho\,d\rho\,d\phi \,dz$

Scale factor : $h_r=1\;\;,\;\;h_{\theta}=r\;\;,\;\;h_{\phi}=r\sin \theta$

발산 : $\nabla \cdot \mathbf{F}=\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial \left( \rho F_{\rho} \right)}{\partial \rho}+\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi}+\displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial z}$

회전 : $\nabla \times \mathbf{F}=\left( \frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial \phi}-\displaystyle\frac{\partial F_{\phi}}{\partial z} \right)\,\hat{\boldsymbol{\rho}}

+\left( \displaystyle\frac{\partial F_{\rho}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial \rho} \right)\,\boldsymbol{\hat{\phi}}

+\displaystyle\displaystyle\frac{1}{\rho} \left\{ \displaystyle\frac{\partial \left( \rho F_{\phi} \right)}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial F_{\rho}}{\partial \phi} \right\}\,\hat{\boldsymbol{z}}$

라플라스 연산 : $\nabla^2 f=\displaystyle\frac{1}{\rho}\displaystyle\frac{\partial }{\partial \rho}\left( \rho \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) +\displaystyle\frac{1}{\rho^2}\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}+\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$