방향도함수와 그래디언트(Directional derivative and Gradient)

과학과 공학에서 사용하는 미분연산자 중 으뜸인 것이 바로 나블라(Nabla) 연산자입니다. 스칼라 함수에 이 기호 $\nabla$ 를 달게 되면 구배(勾配), 기울기벡터의 의미를 가지게 되고 이 기호는 나블라(nabla), 델(del)이라고도 부르는데, 보통 기울기의 의미를 가질 때는 단순히 그래디언트라고 부르는 경우가 흔합니다. 이는 고등학교 때 배웠던 여러 다항함수, 초월함수의 접선의 기울기를 구하는 것과 비슷하긴 하지만, 그보다 조금 더 넓은 의미를 가지는 미분 연산자(operator)의 개념입니다. 또한 스칼라를 벡터로 만들어주는 연산자이기 때문에 벡터 연산자라 부르기도 합니다. 자연현상과 기술을 나타내는 수많은 개념들은 벡터로 구성되기 때문에, 벡터에 관해 미분하고 적분하는 벡터 미적분학에서 그래디언트는 알파이자 오메가입니다.

 

 

 

 

이 기호는 자연계라면 수학을 사용하는 이상 학부 과정에서 4년 내내 지겹게 마주할 녀석입니다. 한번에 확실하게 정리하고 넘어가 봅시다.

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1. 그래디언트는 미분계수와 유사하다.

 

정의) 그래디언트(Gradient)

$f(x,y,z)$ 의 기울기 벡터 또는 그래디언트(Gradient)는 다음과 같이 정의한다.
$$\nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)\mathbf{i}+\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)\mathbf{j}+\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)\mathbf(k)$$ 만일 점 $P(a,b)$ 에서 그래디언트를 구하려면 편미분계수를 계산하면 되고, $\left[ \nabla f  \right]_P$ 또는 $\nabla f(a,b)$ 로 표기한다.
그래디언트는 스칼라 함수에 미분연산자 $\nabla$ 를 적용하는 것이고, 그러면 벡터가 된다.

 

고등학교에서 배우는 도함수는 $y=f(x)$ 라는 함수에 대하여 $x$ 가 $dx$ 만큼 변할 때 $y$ 는 $dy$ 만큼 변화한다는 의미를 가집니다.

 

$$dy=f'(x)dx=\left( \frac{dy}{dx} \right)dx\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

그러나 변수가 여러개로 확장된 다변수함수에 대해서도 변화율을 측정하고 싶을 때가 생길 것입니다. 예컨대 방 안의 위치에서의 온도를 나타내는 온도함수 $T(x,y,z)$ 에 대해 도함수는 어떤 의미를 가지고, 어떻게 나타내야 할까요? 온도함수의 변수는 $x,y,z$ 로 3개이고 이것의 도함수가 가지는 의미는 한 점에서 다른 점 또는 방향으로 어느 정도 위치를 변경할 때 온도가 바뀌는 정도를 뜻합니다. 이때 다변수함수는 일변수함수와 달리 '편미분(Partial derivative)'을 사용해야 하므로, 세 방향에 대한 온도의 변화량은

 

$$dT=\left( \frac{\partial T}{\partial x} \right)dx+
\left( \frac{\partial T}{\partial y} \right)dy+\left( \frac{\partial T}{\partial z} \right)dz$$

 

으로 써야 합니다.

 

그런데 변화라는 것에 대한 일반적인 해석은, 변화'량' 뿐만 아니라 변화하는 '방향'까지 동반하여 고려하는 것이 보다 훌륭합니다. 그리하여 온도의 변화 $dT$ 는 미소변위벡터 $ds$ 와 괄호 안의 편미분으로 구성된 양의 내적으로 나타내어

 

 

로 정의됩니다. 식 $(2)$ 는 식 식 $(1)$ 의 3차원 확장형인 셈입니다. 그렇다면 고등학교 도함수 식을 나타내는 $(1)$ 에서 $f'(x)=\displaystyle\left( \frac{dy}{dx} \right)$ 의 역할을 하는 친구는

 

$$\nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)\mathbf{i}+\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)\mathbf{j}+\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right)\mathbf{k}=F_x
\mathbf{i}+F_y\mathbf{j}+F_z\mathbf{k}$$

 

임을 알 수 있습니다. 그래디언트 연산자를 스칼라 함수에 달았을 때 벡터가 됩니다.

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2. 방향도함수

 

주어진 함수가 $f(x,y,z)$ 라 하였을 때 $x,y$ 에 대한 점 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 에서의 편도함수를 다시 한번 복습해 봅시다.

 

편도함수의 정의에 의해, $f_x(x,y)$ 란 첨자 $x$ 만을 변수로 삼고, 다른 변수인 $y$ 는 고정하겠다는 뜻입니다.^[각주:1]  따라서 점 $P$ 에서 $y,z$ 값은 한 값으로 고정되어 있을 때 $x$축과 나란한 방향^[각주:2]인 $-\infty < x < \infty$ 으로의 뻗어진 직선의 기울기 값이 $f_x(x_0,y_0)$ 를 뜻합니다. 똑같이, $f_y(x,y)$ 는 첨자 $y$ 만을 변수로 삼고 $x$를 고정하였을 때 $y$ 축과 나란하게끔 뻗어진 점 $P$ 에서의 접선의 기울기 값을 의미합니다. 아래 [그림 1]에서 이 기울기 값과 곡면을 나타내는 식을 살펴보고 확인하시기 바랍니다.

 

 

방향도함수를 이해하기 위해선 위 개념을 정확히 숙지할 필요가 있습니다. 방향도함수는 결과적으로 $f_x(x_0,y_0)$ 나 $f_y(x_0,y_0)$ 대신 임의의 내가 원하는 방향 $u$ 벡터의 방향으로의 편도함수인 $f_y(x_0,y_0)$ 를 말하는 것이기 때문입니다. $u$ 벡터는 $x,y$ 의 기저벡터로 선형결합하여 꾸릴 수 있기 때문이죠. 이제 정의를 봅시다.

 

정의) 방향도함수(Directional derivative)

좌표공간에서 단위벡터 $\mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}$ 방향에 대한 함수 $f(x,y,z)$ 위의 점 $P_0(x_0,y_0)$ 에서의 $f$ 의 미분계수(derivative)는 다음과 같이 극한으로 존재성을 정의한다.
$$D_{\mathbf{u}}f(P_0)=\left( \frac{df}{dh} \right)_{\mathbf{u},P_0}=
\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+hu_1,y_0+hu_2)-f(x_0,y_0)}{h}$$ 점 $P_0$ 를 간단히 벡터 $p$ 로 나타내는 경우,
$$ D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{p})=
\lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{p}+h\mathbf{u})-f(\mathbf{p})}{h} $$ 와 같이 간단화 시킬 수 있다.

 

이러한 방향도함수는 기울기벡터에 $\mathbf{u}$ 를 내적해서 간편히 구할 수가 있습니다. 다음 정리가 그것을 말해줍니다.

 

정리($\mathbf{V.C}$) 1.5

$$D_{\mathbf{u}}(\mathbf{p})=\nabla f(\mathbf{p})\cdot\mathbf{u}$$
방향도함수의 미분계수(=좌변)는, 기울기 벡터와 방향 단위벡터의 내적(=우변)이다.

 

 

[그림 2] 방향도함수를 그림으로 관찰하기

 

증명은 정말 간단한데, 여기선 증명하는 것보다도 직관적 의미를 깨닫는 것이 중요하기에 그림으로 관찰하는 것이 좋을 듯 하여 그려 보았습니다. 바닥에 깔린 초록색 단위벡터 $\mathbf{u}$ 가 방향도함수에서의 특정한 방향을 가리키는 벡터에 해당하고, 파란색 곡선에 접하는 검은색 직선의 기울기가 $\mathbf{u}$ 방향으로의 방향도함수의 미분계수가 되는 셈입니다. 즉 구하고자 하는 것은 검은색 직선의 기울기인 것이죠. 그러기 위해서는 주어진 점에서 $x$ 방향과 $y$ 방향의 편도함수로 이루어진 그래디언트 $\nabla f$ 를 구한 다음에, $\mathbf{u}$ 와 내적하면 된다는 것입니다.

 

위 정리로부터 방향도함수와 그래디언트의 관계는 내적의 정의를 고려하면 다음과 같습니다.

 

정리($V.C$) 1.5

$$D_{\mathbf{u}}=\left| \nabla f \right|\cos \theta \;\;\Rightarrow \;\; -\left| \nabla f \right|\le D_{\mathbf{u}}\le \left| \nabla f \right|$$
방향도함수의 최댓값과 최솟값은 그래디언트 $f$ 의 크기의 최댓값과 최솟값에 해당한다. 따라서 어떤 함수가 주어진 점에서 가장 급하게 변화하는 방향은 그래디언트 방향이고, 올라가거나 내려가거나(양/음 부호 차이) 둘 중 하나이다.

 

 

 

[참고문헌]

George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano - Thomas's Calculus Addison Wesley

 

 

 

1. $z$ 는 이미 고정되어 있는 겁니다. [본문으로]
2. 사실 여기서 $x$의 편도함수가 $x$ 축과 기하학적으로 정확히 나란한 것은 아닙니다. 평행한 것은 아니니까요. 다만 제가 왜 이러한 표현을 하였는지 직관적으로 이해해 보시기 바랍니다. [본문으로]