벡터의 선형결합, 일차결합 (Linear Combination)

선형결합은 벡터공간을 정의하는 두 연산인 덧셈과 스칼라 곱을 동시에 사용하여 만든 벡터들의 결합으로 단연컨대 선형대수학에서 가장 중요한 연산입니다. 벡터의 선형결합은 합과 스칼라 곱이 동시에 이루어지는 형태로 어떤 공간이나 도형을 만들어 내기도 하고, 미분방정식과 같은 타 분야에도 널리 영향력을 행사하고 있습니다.

 

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1. 선형결합

 

1) 정의

 

벡터공간 $V$에 속한 부분집합 $S=\left \{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right \}$ 의 원소인 벡터 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 와 어떤 스칼라 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 에 대하여 다음을 만족시키는 벡터 $v\in V$ 를 $S$의 '선형결합(Linear combination)' 또는 '일차결합'이라 한다.

$$v=a_1v_1+a_2v_2+\cdots +a_nv_n$$

벡터공간 $V$에서 주어진 벡터 $v_1,\cdots ,v_n$ 의 모든 일차결합들의 집합을 $\left\langle v_1,\cdots v_n \right\rangle$ 으로 나타낸다.

$$\left\langle v_1,\cdots v_n \right\rangle=\left\{ a_1v_1+\cdots +a_nv_n \mid a_i\in F \right\}$$

 

벡터공간에 대한 이해를 정확히 하지 못하더라도 선형결합을 이해하는데 큰 문제는 없습니다. (특히 수학 전공이 아닌 공대생이고 공업수학에서 이를 배우고 있다면 반드시 벡터공간을 먼저 파고들 필요는 없습니다.)

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일차결합은 그냥 벡터들을 상수배 해서 더한 것에 불과할 뿐인 것으로 보이는데 왜 중요한 것일까요? 앞에 붙은 스칼라가 임의의 숫자가 되는 경우가 많기 때문입니다. 즉 그 말은 주어진 부분집합에 속한 몇개의 벡터를 가지고 이리저리 늘리거나 줄여서 더해 수많은 벡터들을 만들 수 있다는 뜻이기 때문에, 어떤 도형을 그린다거나 공간 자체를 형성할 수 있는 것입니다. 이와 관련된 개념은 '생성(span)' 입니다.

 

 

2) 생성

 

벡터공간 $V$의 부분집합 $S\neq \emptyset$ 에 대하여 $S$에 속한 벡터를 사용하여 만든 모든 일차결합의 집합을 $S$의 '생성공간(Span)'이라 하고 $\mathrm{span}(S)$ 로 표기한다.

벡터공간 $V$의 부분집합 $S$에 대하여 $\mathrm{span}(S)=V$ 이면 $S$는 $V$를 '생성한다(generate or span)'고 한다. $V=\left\langle v_1,\cdots v_n \right\rangle$ 라 표현하기도 한다.

 

선형결합으로 인한 공간이나 도형의 생성을 정확히 이해하려면 다음 포스팅 때 설명할 벡터간의 선형독립, 선형종속을 이해해야 합니다. 서로 독립인 두 벡터를 가지고 선형결합하면 그보다 높은 차원을 만들 수 있으나, 서로 종속인 벡터끼리의 결합으로는 차원을 높일 수 없습니다. 즉 만약 두 종속벡터를 선형결합하면 둘 중 한 벡터의 선형결합만으로 만들 수 있는 직선과 생성된 도형이 똑같지만, 독립인 두 벡터를 선형결합하면 평면이 만들어집니다.

 

또 하나의 중요한 특징은 공집합의 생성공간은 원소 0만을 같는 집합으로 취급합니다. 공집합을 선형결합해도 0이라는 숫자 자체는 만들 수 있기 때문입니다.

$$\mathrm{span}(\emptyset)=\left \{ 0 \right \}$$

 

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2. 고등학교 [기하와 벡터]에서 생성

 

2020학년도 대학수학능력시험 교과 과정까지의 고등학교 [기하와 벡터] 과목에도 이 내용이 있었습니다. 2022학년도 수능부터 시행되는 [기하] 과목에서도 평면벡터를 다루기 때문에 등장할 가능성이 높습니다. 내용 자체는 위와 동일하지만, 평면에서의 선형결합만을 다룰 것이고 벡터의 독립, 종속에 대한 개념은 배우지 않습니다. 이는 조금 중요한 내용인데, 서로 독립인 두 벡터를 선형결합해야 평면을 만들 수 있기 때문입니다.

 

평면 위에 존재하는 임의의 점(또는 그 점을 가리키는 벡터)은, 평행하지 않은 서로 다른 두 벡터의 상수배의 합 또는 차로 나타낼 수 있다.
$$\vec{p}=m\vec{a}+n\vec{b}$$
$\vec{p}$는 임의의 점을 나타내는 벡터, $m,n$은 상수이고 $\vec{a},\vec{b}$는 선형결합 시킬 임의의 두 벡터이다.

 

 

생성에 대한 개념은 이미지화해서 받아들이는게 좋지만, 글의 한계상 그림으로 화려하게 설명하기 쉽지 않습니다. 이 주제에 대해서는 이 블로그 글만 보지 마시고 Youtube, 고등수학 개념서, 전공서적 등을 적극 활용하시기 바랍니다.다음 예제를 통해 일차결합과 생성에 관한 몇가지 기초를 다져 보도록 합시다.

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예제 1) 주어진 벡터가 주어진 집합의 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있는지 확인하고, 있다면 그 계수를 찾아라.

 

$$S_1=\left \{ (1,-2,1),(-2,-1,1) \right \}\;,\;(3,4,1)$$

 

$S_1$의 두 벡터로 $(3,4,1)$을 만들 수 있는지 찾으라는 겁니다. 그 방법은 주어진 벡터 앞에 붙힐 어떤 스칼라가 있을텐데, 미지수로 둔 다음 연립방정식을 푸는 것입니다.

 

$$a(1,-2,1)+b(-2,-1,1)=(3,4,1)\;\; \rightarrow \;\; \left\{\begin{matrix}
a-2b=3\\ 
-2a-b=4\\ 
a+b=1
\end{matrix}\right.$$

 

이를 풀어보면 유일한 $a,b$값이 나오지 않음을 알 수 있고, 일차결합이 실패했음을 알 수 있습니다. 따라서 주어진 $S_1$의 벡터로는 $(3,4,1)$을 생성할 수 없는 것입니다.

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예제 2) 다음 집합이 일차결합을 통해 생성하는 공간을 찾아라.

 

$$S_2=\left \{ (1,0,0),(0,0,1) \right \}$$

 

주어진 부분집합은 좌표공간 $R^3$에서 $x$축과 $z$축 방향의 기저벡터입니다. 둘 앞에 임의의 스칼라를 붙여 선형결합 식을 써보면

$$a(1,0,0)+c(0,0,1)=(a,0,c)$$

 

이 됩니다. 이 때 a,c는 임의의 숫자이기 때문에 x좌표와 z좌표가 아무 숫자, 즉 모든 숫자가 될 수 있다는 뜻입니다. 그러므로 이 일차결합을 통해 생성된 공간은 $zx$평면의 모든 점들입니다.

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예제 3) 다음 세 다항식이 모든 이차 다항식을 생성함을 보여라.

 

$$x^2+3x-2\,,\,2x^2+5x-3\,,\,-x^2-4x+4$$

 

임의의 다항식을 $ax^2+bx+c$ 로 두고 예제 1)에서 했던 것처럼 연립방정식을 풀 듯 계산하면 됩니다.

 

$$A(x^2+3x-2)+B(2x^2+5x-3)+C(-x^2-4x+4)=ax^2+bx+c $$
$$\left\{\begin{matrix}
A+2B-C=a\\ 
3A+5B-4C=b\\ 
-2A-3B+4C=c
\end{matrix}\right.$$

 

이를 풀면 $A=(-8a+5b+3c)\;,\;B=(4a-2b-c)\;,\;(-a+b+c)$