벡터공간의 부분공간 (Subspace)

벡터공간을 이루는 여러 원소들이 있을 때 일부를 선택해 어떤 부분집합을 만들 수 있을 것입니다. 이 부분집합이, 벡터공간의 조건을 만족하는 경우 특별히 '부분공간(Subspace)' 라는 이름을 붙여 주게 됩니다.

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1. 부분공간

 

1) 정의

 

$F$-벡터공간 $V$의 부분집합 $W$에 대하여, $W$가 $V$에서 정의한 합과 스칼라 곱을 만족시키는 $F$-벡터공간이면 $W$를 $V$의 '부분공간(Subspace)'이라고 한다. 기호 $W\leqslant V$로 나타내기도 한다.

 

부분공간을 나타내는 기호로는 부등호를 사용합니다. $\leq$ 를 쓰거나 $\leqslant$ 를 쓰거나 상관이 없으며, 둘은 같은 뜻을 가진 기호입니다.

 

벡터공간 V의 부분집합을 선택했을 때 그 집합도 벡터공간의 8공리를 만족하면 부분공간으로 인정해주겠다는 것입니다. 그러니 원칙적으로는 내가 선택한 부분집합의 원소에 대해 8공리가 성립하는지 일일이 계산을 해봐야 하지만, 다행이도 모든 계산을 할 필요는 없습니다. 그 까닭은, A1), A2), A5), A6), A7), A8)은 W가 V의 부분집합이라는 조건을 만족하기 때문에 당연히 성립하게 됩니다. 덧셈의 교환법칙, 결합법칙은 V에서 아무 숫자나 꺼내도 만족하고, A5)와 A6), A8)도 스칼라와 곱을 한다는 내용이니 너무 자연스러운 성질이죠.

 

문제가 되는 것은 A3), A4)라고 볼 수 있습니다. 왜냐하면 내가 뽑은 부분집합에 저 항등원과 역원이 존재한다는 보장을 할 수 있을까요? 어떤 원소를 뽑을 때 항등원과 역원은 제외하고 뽑을 수 있기 때문입니다. 어렵다면 예를 하나 들어보도록 하지요.

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예제 1) 2차원 실수 집합 $R^2$의 평면의 한 기저벡터(표준순서기저)를 부분집합으로 하는 $W$는 $R^2$의 부분공간인가?

 

$$W=\left \{ \beta_1,\beta_2 \right \}=\left \{ \left ( 1,0 \right ),(0,1) \right \}$$

 

* A1), A2), A5), A6), A7), A8) 이 성립함은 스스로 해보시기 바랍니다.

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A3) : $(1,0)+k=(1,0)$ 에서 $k=(0,0)$ 입니다. 그러나 영벡터는 $W$의 원소가 아닙니다. $(0,1)$에 대해서도 마찬가지로 덧셈에 대한 항등원은 영벡터인데, 영벡터는 $W$에 포함되어 있지 않지요.

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A4) : $(1,0)+t=(0,0)$ 이 되는 $t=(-1,0)= -(1,0)$ 이지만, 이 역시 $W$의 원소가 아닙니다. $(0,1)$에 대해서도 마찬가지입니다.

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따라서 $W$는 $R^2$의 부분공간이 아닙니다. 위 예제에서도 눈여겨보면 부분공간을 판별하는 좋은 방법의 일부를 미리 알아차릴 수도 있는데, 바로 영벡터가 존재하는지와 스칼라배가 존재하는지를 확인하는 것입니다. 위 예제에서 A3)를 만족하지 못한 이유는 영벡터 때문이죠. 또 A4)에서 생긴 문제는 '-1'배 라는 일종의 스칼라 배입니다.

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종합하면, W가 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 영벡터를 포함해야 하고, 더불어 벡터 합과 스칼라 곱이라는 연산을 할 수 있어야 한다는 것입니다. 사실 임의의 원소끼리 자유롭게 더하고 곱할 수 있다면, 항등원과 역원을 모두 그 집합이 포함하고 있다는 사실을 뜻하는 것이기 때문입니다.

 

2) 성질

 

부분공간이 되기 위해 만족해야 하는 조건은 다음과 같습니다. 앞으로 이 세가지만 확인하면 됩니다.

 

 

정리($L.A$) 1.2

벡터공간 $V$의 한 부분집합 $W$가 $V$의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 $V$에서 정의된 합과 스칼라 곱이라는 두 연산에 대해 다음 세가지 조건을 만족시키는 것이다.

① 영벡터의 존재성 : $\mathbf{0}\in W$
② 덧셈에 대해 닫혀있다 : $x\in W, y\in W$ 일 때 $x+y\in W$
③ 스칼라 곱에 대해 닫혀있다 : $c\in F, x\in W$ 일 때 $cx\in W$

즉 그 부분집합이 임의의 두 벡터의 합과 스칼라 곱, 그리고 영벡터를 원소로 가지고 있으면 된다.

 

부분공간이 되기 위한 조건은 위 세가지입니다. 어떤 벡터공간의 부분공간이 될 조건은 반드시 위 정리를 활용해서 정석적으로 답을 도출해 낼 수 있습니다. 이로부터, 부분공간은 원소로 갖는 벡터들의 모든 선형결합(linear combination) 이 만들어내는 도형의 모습을 띠고 있음을 알 수 있게 됩니다. 이 때, 벡터들이 서로 독립일 수도 있고 종속일 수도 있습니다. 그래서 일반적으로 벡터공간 $V$가 $F^n$이라면, 부분공간은 $F^n$ 도 될 수 있지만 그보다 낮은 $F^{n-1}$ 등도 부분공간이 될 수 있습니다.

 

예를 들어 봅시다. 3차원 공간에서 원점을 지나는 평면은 $R^2$이지만 $R^3$의 부분공간입니다. 평면 내에서 어느 벡터끼리 선형결합을 하더라도 여전히 그 평면 안에 벡터가 놓여 있을 것이며, 원점을 지나니 영벡터를 원소로 갖고 있다는 뜻이기 때문입니다.

 

 

따름정리($L.A$) 1.2.1

부분공간 $W$가 벡터 $v,w\in W$ 를 원소로 가질 때, 스칼라 $c,d\in F$ 에 대하여 $W$는 반드시 이들의 선형결합 $cv+dw$도 원소로 가진다.

 

따름정리에 의하면 부분공간인지 확인을 하기 위해 정리($L.A$) 1.2 를 사용할때 ②,③ 을 각각 하지 않고 선형결합벡터 $cv+dw$가 부분집합 $W$에 포함되어 있는지만 확인하면 됩니다.

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예제 2) 원점을 포함한 1사분면은 $R^2$의 부분공간인지 확인하여라.

 

원점이 포함되어 있으니 영벡터는 존재합니다. 그 다음 ②,③ 을 만족하는지를 보기 위해 1사분면의 임의의 두 벡터를 꺼내서 선형결합을 하고 그 벡터가 여전히 1사분면 안에 있는지를 보면 됩니다. 그러나 하나의 벡터 $(5,5)$만 고려해도, 이것의 $(-1)$ 스칼라 배를 시켜보면 $(-5,-5)$라는 3사분면의 점이 되버리니 1사분면은 원점을 포함해도 부분공간이 아니라는 사실을 알 수 있습니다.

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https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_subspace $R^3$에서 두 평면이 한 직선에서 만날 때, 이 직선이 원점을 포함하면 1차원 부분공간이다.

 

예제 3) 공간 $R^3$에서 $4x+5y=0$ , $6x+2y+3z=6$ , $x+2y-4z=0$ 이 각각 $R^3$의 부분공간인지 밝혀라.

 

가장 먼저, 영벡터를 가지고 있는지부터 봅니다. 평면 $6x+2y+3z=6$ 은 양변을 6으로 나누면 $x$절편, $y$절편, $z$절편이 각각 1,3,2 인 평면입니다. 따라서 원점을 지나지 않으므로 부분공간이 될 수 없습니다. 반면 직선 $4x+5y=0$은 원점을 지나므로 영벡터를 포함하고 직선 위의 어느 벡터를 잡아 서로 선형결합해도 (선형종속이니) 절대 그 직선 위를 벗어나지 못합니다. 따라서 $R^3$의 부분공간입니다. 마찬가지로 평면 $x+2y-4z=0$도 원점을 지나고 임의의 두 벡터를 선택해 선형결합해도 그 평면 안에 놓여 있으니 $R^3$의 부분공간입니다.