대수학에서 모노이드(Monoid in Algebra)

이항연산과 마그마에서 결합법칙과 항등원 조건을 추가한 것이 모노이드의 개념입니다. 본격적인 군을 다루기 전에 모노이드 정도로 성립하는 성질을 배우고, 이를 군으로 확장시켜 특성들을 들고 갈 수 있습니다.

 

[그림 1] 모노이드는 특별히 번역하기가 어렵고 군을 배우고 나면 모노이드를 따로 언급할 일이 그닥 많지는 않기 때문에, 번역하지 않겠습니다.

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1. 모노이드(Monoid)

 

1) 정의

 

정의($A.A$) 2-2) 모노이드(Monoid)
주어진 연산에 대하여, 마그마 $M$ 에서 결합법칙이 성립하고 항등원이 존재하면 $(M,*)$ 를 '모노이드(monoid)'라 부른다.
만일 모노이드 $M$ 에서 교환법칙이 성립하면, $M$ 을 '교환가능한 모노이드(commutative monoid)'라 부른다.

 

정의를 보면 마그마 다음으로 결합법칙의 성립과 항등원의 존재라는 조건이 추가되면 모노이드라는 이름을 붙여줍니다. 바로 아래에서 항등원은 유일하다는 것을 증명합니다. 항등원도 하나만 가지고 있고, 연산도 단 하나만 부여되어 있어서, 하나라는 의미를 강조하기 위해 mono 라는 접두사가 붙어 monoid 가 되었습니다. 닫혀있기만 하면 되는 마그마에 비해서 결합법칙이 성립하고 항등원이 존재하는 모노이드부터는 분석할 만한 대상들이 본격적으로 모습을 드러냅니다.

 

 

 

2) 항등원과 항등원의 유일성

 

정리($A.A$) 2.1) Uniqueness of unity(or identity)
연산에 대한 항등원이 존재하면, 항등원은 유일하다.

증명) 두 항등원 $e,e'$ 이 존재한다고 가정하자. 항등원의 정의에 의하여 $e*e'=e'*e=e'$ 이고, $e'*e=e*e'=e$ 이다. 따라서 $e=e'$ 이다. $_\blacksquare$

 

3) 일반화된 결합법칙

 

결합법칙은 대수에서 와구장창 사용합니다. 보통 결합법칙은 세 개의 대상에 대해 앞의 둘을 묶어서 먼저 계산하든, 뒤의 둘을 묶어 먼저 계산하든 결과가 같다는 논리를 사용하고는 하지요. 이 결합법칙을 확장해서, 일반화된 결합법칙을 유도해낼 수 있습니다. 이것이 성립하기 위한 최소 조건은 원소들의 집합이 모노이드여야 한다는 것입니다.

 

정리($A.A$) 2.2) 모노이드에서 일반화된 결합법칙
$a_1, a_2, \cdots , a_n$ 이 모노이드 $M$ 의 원소라 하자. 만일 이들의 곱 $a_1a_2\cdots a_n$ 이 이 순서로 곱해져 있는 경우, 연속된 두 원소를 계산할 시 어느 짝부터 연산하더라도 ($1$ 부터 $n$ 까지 곱해전 이 순서를 지키면서) 결과값은 동일하다. 동일하다.

증명) 수학적 귀납법을 사용한다. 우선 연산을 표준 곱셈 $\left\langle a_1,a_2,\cdots , a_n \right\rangle$ 으로 적을 것이고^[각주:1] $\left\langle a_1 \right\rangle =a_1$ 이라 정의하고 $n\geq 2 $ 일 때는 $\left\langle a_1,a_2,\cdots , a_n \right\rangle = a_1 \left\langle a_2,\cdots , a_n \right\rangle$ 으로 정의한다.

i) Base step : $n=1,2,3$ 일 때 성립한다. 일단 $n=1,2$ 일 때는 위에서 보였고, $M$ 이 모노이드기 때문에 결합법칙이 성립하므로 $n=3$ 일 때도 성립한다.

ii) Inductive hypothesis : $n\leq k$ 일 때 참이라 해보자. 예를 들어 $n=k$ 일 때는 $\left\langle a_1,a_2,\cdots , a_k \right\rangle=a_1\left\langle a_2,a_2,\cdots , a_k \right\rangle$ 가 참이라는 것이다. 뿐만 아니라 강한 수학적 귀납법이니 $4\leq n\leq k$ 에 대해 $p(n)$ 이 모두 참이라 가정한다.

iii) Inductive step : 보이고 싶은 것은^[각주:2]

$$\left\langle a_1,a_2,\cdots , a_k, a_{k+1} \right\rangle = a_1\left\langle a_2,\cdots , a_k, a_{k+1} \right\rangle
=\cdots 
= a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}$$
가 된다. 귀납 가정을 사용하면,

$$\begin{align*}

\left\langle a_1,a_2,\cdots , a_k, a_{k+1} \right\rangle &= a_1\left\langle a_2,\cdots , a_k,a_{k+1} \right\rangle

\\\\&=a_1 \left\langle a_2,\cdots a_{i-1}, a_i, \cdots a_k, a_{k+1} \right\rangle
\\\\&= a_1a_2\cdots \left\langle a_{i-1},a_i,\cdots , a_k,a_{k+1} \right\rangle
\\\\&= a_1a_2\cdots a_{i-1} \left\langle a_i \cdots , a_k,a_{k+1} \right\rangle
\\\\&= a_1a_2 \left\langle a_3 \cdots , a_{i-1} \right\rangle \left\langle a_i \cdots , a_k,a_{k+1} \right\rangle

\\\\&=a_1 \left\langle a_2, \cdots , a_{i-1} \right\rangle \left\langle a_i \cdots , a_k,a_{k+1} \right\rangle
\\\\& = \left\langle a_1, a_2, \cdots , a_{i-1} \right\rangle \left\langle a_i \cdots , a_k,a_{k+1} \right\rangle
\\\\& =\left(  a_1a_2\cdots a_{i-1} \right) \left( a_i\cdots a_ka_{k+1} \right)
\\\\&=a_1a_2\cdots a_ka_{k+1}
\end{align*}$$
를 얻는다. $_\blacksquare$

 

 

일반화된 결합법칙은 여러개를 연산할 때 한번에 연산하는 것이 아니라, 순서를 자유롭게 하여 두개씩 연산을 해 내간다는 것입니다. 여기서 원소끼리 자리를 바꾸는 것은 허용되지 않습니다.(그렇게 하기 위해서는 교환법칙이 성립해야 하므로, 아벨군이어야 합니다) 위 박스의 뜻을 예를 들어 설명하면

 

$$a_1a_2a_3a_4a_5$$

 

를 연산할 때, 저 다섯개의 곱을 동시에 연산하는 것은 불가능합니다. 즉 우리는

 

$$a_1(a_2a_3)a_4a_5\;\;,\;\; (a_1a_2)a_3a_4a_5 $$

 

등과 같이 저 5개 중 연속된 2개의 원소를 괄호로 묶어 먼저 계산하고, ^[각주:3] 그리고 나서 또 두 개를 선택하고.. 이렇게 연속적으로 계산을 한다는 것입니다.

 

일반화된 결합법칙은 인간의 두뇌가 연산을 하는 과정과 비교해보면 재미있는 특징을 발견할 수 있습니다. 우리가 $1+2+3$ 을 할 때, 실은 두개씩 묶어서 한다는 것입니다. $(1+2)+3$ 을 한다거나 $1+(2+3)$ 으로 처리한다는 것이지요. 물론 위 덧셈은 숫자가 작아 쉬우니 한방에 처리하겠지만, 예를 들어 $18+25+49$ 를 계산하는 수준만 되더라도 우리는 보통 두개씩 묶어서 계산을 합니다. 덧셈과 곱셈은 순서를 바꾸어도 괜찮지만, 뺄셈인 $123-592-38$ 과 같은 경우도, 두개씩 묶어서 계산을 하지요. 이 일반화된 결합법칙은 앞으로 매우 많이 사용하게 될 것입니다.

 

 

 

4) 지수와 거듭제곱 정의

 

모노이드에서 지수의 거듭제곱은 귀납적으로 정의합니다. 정의를 마치면, 몇가지 지수법칙을 귀납적으로 증명할 수 있습니다.

 

정의($A.A$) 2-3) 모노이드에서 거듭제곱의 정의($n^{th}$ power)
모노이드 $M$ 에 대하여 $a\in M$ 이라고 하자. $n\ge 0$ 인 정수에 대하여, 밑 $a$ 에 대한 거듭제곱 $a^n$ 은 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.
① 항등원의 정의 : $a^0 :=1$
② $n\ge 1$ : $a^n=a\cdot a^{n-1}$

 

이 글을 보시는 분들 중 중고등학교 수학에서의 지수법칙을 적용할 줄 모르시는 분을 없을 것입니다. 그런데, 대수학에서 하는 작업은 연산을 만들고 그 연산에 관한  기본 공리나 정의만을 사용해  어떤 연산법칙(지수법칙, 제곱근 등)을 유도해 낼 수 있는지 검증하는 일입니다. 따라서, 거듭제곱을 정의하고 지수법칙이 성립함을 증명해야만 합니다.

 

 

정리($A.A$) 2.3) 모노이드에서 지수법칙(Exponent laws)
모노이드 $M$ 에 대하여 $a,b\in M$ 이라고 하자.
① 0보다 같거나 큰 정수 $n,m$ 에 대하여, $a^na^m= a^{n+m}$
② 0보다 크거나 같은 정수 $n,m$ 에 대하여, $\left( a^n \right)^m=a^{nm}$
③ $ab=ba$ 이면 0보다 크거나 같은 정수 $n$ 에 대하여, $\left( ab \right)^n=a^nb^n$

증명) ① $m\ge 0$ 을 고정하고 $n\ge 0$ 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

i) $n=0$ : $a^0a^m$ (정의의 ①에 의해)$=1\cdot a^m=a^m=a^{0+m}$
ii) $n=k$ : $a^ka^m=a^{k+m}$ 이 성립한다고 가정하자.
iii) $n=k+1$ : $a^{k+1}a^m$ (정의의 ②에 의해)$=(a^1a^k)a^m$ (결합법칙의 일반성에 의해)$=a(a^ka^m)$(induction 에 의해^[각주:4]$=a\cdot a^{k+m}$ (정의의 ②에 의해) $=a^{k+1+m}$


② $n\ge 0$ 을 고정하고 ①을 이용하여 $m$ 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.

i) $m=0$ : $(a^n)^0=1=a^{n\cdot 0} =a^0$
ii) $m=k$ : $\left( a^n \right)^k=a^{nk}$ 가 성립한다고 가정하자.
iii) $m=k+1$ : $\left( a^n \right)^{k+1}$ (정의의 ②에 의해)$=a^n\cdot (a^{n})^k$ (induction 에 의해)$=a^n\cdot a^{nk}$ (①에 의해)$=a^{n+nk}=a^{n(k+1)}$


③ 을 증명하기 위해서는 아래 예제 1)의 결과를 활용할 것이고 수학적 귀납법을 사용한다.

i) $n=0$ : $(ab)^0=1=(ba)^0$
ii) $n=k$ : $(ab)^k=a^kb^k$ 가 성립한다고 가정한다.
iii) $n=k+1$ : $(ab)^{k+1}$ (정의($A.A$) 2-3)-②에 의해)$=(ab)(ab)^k$ ($p(k)$ 에 의하여)$= a(ba^k)b^k$ (예제 1)의 결과에 의하여)$= a(a^kb)b^k$ (정의($A.A$) 2-3)-②에 의해)$= a^{k+1}b^{k+1}\;\;\;_\blacksquare$

 

 

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예제 1) 모노이드 $M$ 에 대해 $a,b\in M$ 일 때, 모든 $n\geq 0$ 에 대하여 $(ab)^n=a^nb^n$ 임을 보여라.

 

 

Sol) 우선 모든 $n\geq 0$ 에 대하여 $ba^n=a^nb$ 를 보여야 한다. 강한 수학적 귀납법을 사용한다.

 

i) $n=0$ : $ba^0=b\cdot 1 = 1\cdot b = a^0b=b$

ii) Inductive hypothesis : $n=1,\cdots ,k$ 일 때 참이라 가정하자. 강한 수학적 귀납법이니 명제 $p(1),\cdots , p(n)$ 이 참이라고 가정한다는 뜻이다. 그러면 $ba=ab$ 이고 $ba^k=a^kb$ 임을 가정한다.

 

iii) Inductive step : $ba^{k+1}$ (정의($A.A$) 2-3)-②에 의해)$= baa^k$ ($p(1)$ 에 의하여) $=aba^k$($p(k)$ 에 의하여) $= aa^kb$ (정의($A.A$) 2-3)-②에 의해)$=a^{k+1}b\;\;\;_\blacksquare$

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5) 역원

 

모노이드는 원래 역원을 굳이 가질 필요는 없습니다. 역원을 갖는 모노이드는 '군(group)'이라 부르며 다음 글에서부터 줄기차게 등장할 대수적 구조입니다. 우리 모두가 이미 알터이지만, 역원이 뭔지 정의를 다시 해 봅시다.

 

정의($A.A$) 2-4) 역원(Inverse)
모노이드 $M$ 에 대하여 $a\in M$ 일 때, 만일 $ab=ba=1$ 를 만족하는 원소 $b\in M$ 이 존재하면, 이 $b$ 를 '역원'이라고 하고 $a^{-1}$ 로 표기한다. 역원이 존재하는 $M$ 의 원소 $a$ 는 '유닛(unit)'이라 부른다.^[각주:5]

정리($A.A$) 2.4) 역원의 유일성(Uniqueness of inverse)
모노이드 $M$ 에 대하여 $a\in M$ 이 역원을 가지면, 그 역원은 유일하다.

증명) $b,b'$ 이 모두 $a$ 의 역원이라고 가정하자. 그러면 $ab=1=ba$ 이고 $ab'=1=b'a$ 가 성립한다. 따라서 $b'=b\cdot 1=b'(ab)=(b'a)b=1\cdot b=b$ 로 $b=b'$ 이다.

 

 

위 증명에서도 사용하였지만 원소가 3개 이상일 때 이웃한 두 원소의 연산 순서를 바꾸는 것은 결합법칙의 일반성을 이용하는 것입니다. 이제 매우 자주 사용하니 굳이 부가 설명을 계속 하지 않겠습니다.

 

 

정의($A.A$) 2-5) 음의 지수(Negative power)
모노이드 $M$ 에 대하여 $a\in M$ 일 때, $a$ 가 유닛일 경우에 $a$ 의 음의 지수는 다음과 같이 정의한다.
$$a^{-n}:=(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n\;\; (n\ge 1)$$

 

음의 지수에 관한 정의는 굉장히 중요합니다. 무작정 고등학교 수학처럼 역수로 따지는 것이 아니라, 양의 거듭제곱의 역원으로 정의하게 됩니다. 정말 중요하기에 잘 기억해 두세요!

 

 

정리($A.A$) 2.5) 
$a,b,a_1,a_2,\cdots a_{n-1}, a_n$ 이 모노이드 $M$ 의 원소라고 하자.

① $1$ 은 유닛이고 $1^{-1}=1$ 이다.
② $a$ 가 유닛이면 $a^{-1}$ 도 유닛이고, $(a^{-1})^{-1}=a$ 이다. 
③ $a,b$ 가 모두 유닛이면 $ab$ 도 유닛이고, $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ 이다.
④ $a_1,a_2,\cdots a_n$ 이 모두 유닛이면, $a_1a_2\cdots a_n$ 또한 유닛이고, 
$$\left(  a_1a_2\cdots a_n \right)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_2^{-1}a_1^{-1}$$ 이다.
⑤ $a$ 가 유닛이면 $a^n$ 또한 유닛이고 0보다 크거나 같은 정수 $n$에 대하여 $(a^n)^{-1}=a^{-n}$ 이다.

증명) ① $1\cdot 1=1$ 에서 $1^{-1}=1$ 이다.
② $aa^{-1}=1=a^{-1}a$ 이므로 $(a^{-1})^{-1}=a$
③ $(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=a1a^{-1}=aa^{-1}=1$ 이고,
$(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}1b=b^{-1}b=1$

④ 수학적 귀납법으로 증명한다.

i) Base step : $n=1$ 때와 $n=2$ 일 때는 각각 ②, ③에 대응된다.

ii) Inductive hypothesis : $n=k$ 일 때 성립한다고 가정하여 $(a_1\cdots a_k)^{-1}=a_k^{-1}\cdots a_1^{-1}$ 가 참이라고 하자.

iii) Inductive step : $n=k+1$ 일 때를 보면 

$$\begin{align*} (a_1\cdots a_ka_{k+1})^{-1}&=\left( (a_1\cdots a_k)(a_{k+1}) \right)^{-1} \\\\&= (a_{k+1})^{-1}(a_1\cdots a_k)^{-1} \\\\&= a_{k+1}^{-1}a_k^{-1}\cdots a_1 ^{-1} \end{align*}$$
이다. 첫번째 등호에서는 결합법칙의 일반성, 두번째 등호에서는 ③을적용하고,세번째등호에서는 ii) 즉 귀납 가정을 썼다.

⑤ $a_1=a_2=\cdots = a_n=a$ 라 두고 ④를 적용하면 된다. $_\blacksquare$

 

 

 

모노이드의 원소가 유닛이면, 음의 지수를 사용할 수 있고 따라서 음의 지수에 대한 지수법칙이 성립합니다. 다시 말하면 지수법칙을 음의 지수에 대해서까지 확장 가능합니다.

 

 

정리($A.A$) 2.6) 항등원의 항등원, 항등원의 역원
모노이드 $M$ 은 적어도 하나의 유닛을 가지며, 그것은 항등원이다. 항등원의 항등원은 자기 자신이고, 항등원의 역원 또한 자기 자신이다.

증명) 모노이드 $M$ 에서의 연산이 $*$ 로 주어졌다고 하자. $1*1=1*$ 이므로, $1$ 의 항등원과 역원은 존재하며 그것은 모두 $1$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($A.A$) 2.6) 음의 지수에 관한 지수법칙
모노이드 $M$ 의 유닛인 두 원소 $a,b\in M$ 에 대해 다음이 성립한다.
① 정수 $n,m$ 에 대하여, $a^na^m= a^n+m$
② 정수 $n,m$ 에 대하여, $\left( a^n \right)^m=a^{nm}$
③ $ab=ba$ 이면 정수 $n$ 에 대하여, $\left( ab \right)^n=a^nb^n$

증명) 이 정리는 위의 정리 ($A.A$) 2.3) 의 지수법칙에서, $n,m$ 이 음수가 될 수 있다는 부분만 제외하고 동일하다.

①  따라서, $m\in \mathbb{Z}$ 이고 $n\in \mathbb{N}\cup \{ 0\}$ 이라 두었을 때 $a^ma^{-n}=a^{m-n}$ 만 증명하면 충분하다. $m$ 을 고정하자.

i) $n=0$ : $a^ma^0=a^m\cdot 1= a^m = a^{m+0}$
ii) $n=k$ : $a^ma^{-k}=a^{m-k}$ 가 성립한다고 가정하자.
iii) $n=k+1$ : 다음과 같이 보일 수 있다.

$$\begin{align*}
a^ma^{-(k+1)}&= a^m(a^{k+1})^{-1}= a^m (a\cdot a^k)^{-1}
\\\\&= a^m (a^k)^{-1}(a)^{-1} = (a^ma^{-k})a^{-1}
\\\\& = (a^{m-k})(a)^{-1}= (a^{k-m})^{-1}(a)^{-1}
\\\\&= (a\cdot a^{k-m})^{-1}= (a^{k+1-m})^{-1}
\\\\&= a^{-(k+1)+m}
\end{align*}$$
첫번째와 두번째 등호는 역원의 정의, 세번째 등호와 일곱번째 등호는 정리 ($A.A$) 2.5)-③, 네번째 등호는 정리($A.A$) 2.5)-⑤와 결합법칙의 일반성, 다섯번째 등호는 induction, 여섯번째 등호와 여덟번째, 아홉번째 등호도 다시 역원의 정의에 의한 것이다.

② 위에서와 비슷하게, $m\in\mathbb{Z}$ 와 $n\in \mathbb{N}\cup \{ 0\}$ 에 대하여 $(a^m)^{-n}=a^{-mn}$ 을 보이면 충분하다. 

i) $n=0$ : $(a^m)^0=1=a^{m\cdot 0}$ 
ii) $n\geq 1$ : 강한 수학적 귀납법을 쓴다.

$$\begin{align*}
(a^m)^{-n}&= \left(  (a^m)^n\right)^{-1}=\left( (a\cdot a^{m-1})^n \right)^{-1}
\\\\&= \left( a^n\cdot a^{nm-n} \right)^{-1}=(a^{nm})^{-1}
\\\\&= a^{-mn}
\end{align*}$$
첫번째 등호는 역원의 정의, 두번째 등호는 거듭제곱의 정의, 세번째 등호는 induction, 네번째 등호는 ①에 의해, 다섯번째 등호는 다시 역원의 정의를 쓴다.

③ $n\geq 0$ 일 때는 예제 1)에서 증명을 완료했다. 이제 예제 1)의 결과를 활용하여 $0 > n=-m$ 인 $m>0$ 을 생각하고 $(ab)^{-m}=a^{-m}b^{-m}$ 을 생각하자.

i) $n=0$ 일 때 참임이 자명하다. 예제 1)에서 다루기도 했다.
ii) $n=k=-m$ 일 때, $m > 0$ 에 대해 $(ab)^n=(ab)^{-m}=a^{-m}b^{-m}=a^nb^n$ 이 성립한다고 가정한다.
iii) $n=k+1=-m+1$ 의 상황을 생각하자. 

$$\begin{align*}
(ab)^{n+1}& =(ab)^{-m+1}=(ab)(ab)^{-m}
\\\\&=(ab)(a^{-m}b^{-m})=aba^{-m}b^{-m}
\\\\&=aa^{-m}bb^{-m}
\\\\& = a^{-m+1}b^{-m+1}=a^{n+1}b^{n+1}
\end{align*}$$
첫번째와 마지막 등호는 $n=-m$ 에 의해, 두번째 등호에서는 거듭제곱의 정의에 의해, 세번째 등호는 induction 에 의해, 네번째 등호는 결합법칙의 일반성에 의해, 다섯번째 등호는 아래에서 풀 예제 3) 에 의해, 여섯번째 등호는 ① 에 의해 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

③의 증명 과정에 사용되는 명제가 하나 있습니다. 아래 예제입니다. 정확히 말하면 예제 3) 이 참임을 보이고 $n<0$ 일 때도 성립한다 것을 예제 4) 에서 보여야 ③의 증명 과정에 적용할 수 있습니다.

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예제 3) $M$ 이 모노이드일 때, $a,b\in M$ 에 대해 $ab=ba$ 가 성립하면 모든 $n\geq 0$ 에 대해 $ba^n=ab^n$ 이 성립함을 보여라.

 

sol) 수학적 귀납법을 사용한다.

 

i) $n=0$ : $ba=ab$ 는 가정에 의해 자명하므로 참이다.

ii) $n=k$ : $ba^k=ab^k$ 가 참이라고 가정한다.

iii) $n=k+1$ : 다음과 같이 증명 가능하다.

 

$$\begin{align*}
ba^{k+1}& =b(a\cdot a^k)=(ba)a^k
\\\\& = (ab)a^k = a(ba^k)
\\\\& = a(a^kb)=(a\cdot a^k)b
\\\\& = a^{k+1}b
\end{align*}$$

 

첫번째와 마지막 등호에서는 거듭제곱의 정의를, 두번째, 네번째, 여섯번째 등호에서는 결합법칙의 일반성, 세번째 등호에서는 문제 조건에 의해 $ab=ba$ 를 썼고 다섯번째 등호는 induction 에 의한 것이다. $_\blacksquare$

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예제 4) 위의 명제를 $n<0$ 일 때도 성립함을 보여라.

 

Sol) 수학적 귀납법을 쓴다. 예제 3)의 결과를 사용할 것이고, $0 > n=-m$ 을 사용해서 증명해보자.

 

i) 위에서 했다.

ii) $n=k=-m$ : $ba^{-m}=ab^{-m}$ 가 성립한다고 가정한다.

iii) $n=k+1=-m+1$ 일 때 다음과 같은 과정을 통해 증명한다.

 

$$\begin{align*}
ba^{k+1}& =ba^{-m+1}=b(a\cdot a^{-m})
\\\\&=(ba)a^{-m}=(ab)a^{-m}
\\\\&  = a(ba^{-m})=a(a^{-m}b)
\\\\& = a(a^{-m}b)=(a\cdot a^{-m})b
\\\\& = a^{-m+1}b
\end{align*}$$

 

각각의 등호에서 어떤 과정을 사용하는지는 위에서 충분히 언급했으니 여기서는 생략한다. $_\blacksquare$

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[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson

 

 

 

 

1. 그냥 곱셈을 생각하면 되는데, 연산이 우리가 알고 있는 사칙연산의 곱셈과 정확히 일치하지 않고 일반적인 곱셈에 대해 증명하는 것이니 저렇게 생긴 기호를 통해 일단 정의하는 것입니다. [본문으로]
2. 첫번째 등호는 정의니까 성립하고, 두번째 등호를 통해 넘어가는 것을 보이고 싶은 것이다. [본문으로]
3. 초등학교때 배운 수학을 생각해보면, 저렇게 3개 이상의 수를 연산하는 경우, 아래에 기울어진 'ㄷ'자를 그리면서 두개씩 연산했던 경우가 기억나야 합니다. [본문으로]
4. induction 에 의한다는 것은 $n=k$ 일 때 성립한다는 사실을 사용하겠다는 것입니다. [본문으로]
5. 여기서 등장하는 $1$은 당연히 단순 숫자 1을 뜻하는 것이 아니라 항등원입니다. [본문으로]