이항연산과 마그마(Binary operations and Magma)

 

 

수학을 크게 해석학, 대수학, 기하학으로 나눈다고 하였을 때 대수학은 가장 역사가 깊은 분야입니다. 중학교와 고등학교에 입학하였을 때 1학년 1학기에 등장하는 내용도 모두 대수학에 관련된 내용으로 시작합니다. 보통 자연계는 학부 과정에서 선형대수학 정도를 다루지만, 대수에 대한 심도 있는 분석은 추상대수학(Abstract Algebra)에서 군,환,체를 다루는 것으로 시작합니다.

 

대수학은 다른 분야에 비해 복잡한 계산이나 산수가 비교적 적은 편입니다. 대부분 정의를 바탕으로 연역적 논리를 통해 정리를 만들어 내는 과정을 취하고 있습니다.

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1. 이항연산과 마그마(Binary operation and Magma)

1) 정의

 

정의($A.A$) 2-1) 이항연산과 닫혀있음(Binary operation and closed)
집합 $M$ 에서 $*$ 으로 표기되는 '이항연산(Binary operation)'이란 $M$ 의 두 원소로 구성된 순서쌍 $(a,b)$ 를 $M$ 의 원소 $a*b$ 로 이어주는 사상(mapping)
$$f: M\times M\longrightarrow M$$ 을 말한다. 대응은 $(a,b)\longmapsto a*b$ 라 적을 수 있다.

$a*b\in M$ 인 경우 $M$ 은 주어진 이항연산에 대해 '닫혀있다(closed)'라고 말하며, 이때 $M$ 을 '마그마(Magma)'라 부른다.

 

앞으로 주어진 집합에 대해 연산^[각주:1]이 부여되었을 때, 여러가지 성질(닫혀있음, 결합법칙, 항등원의 존재, 역원의 존재, 교환법칙 등)이 성립하는지에 대한 여부에 따라 $M$ 의 칭호가 달라지게 될 것입니다. 마그마는 대수적 구조에서 일반적인 집합(set)이 주어진 연산에 대해 닫혀있기만 하면 부여되는 칭호에 해당합니다.

 

이항연산의 뜻에 주목해 봅시다. 이항연산은 사상의 일종입니다. 사상은 함수와 비슷하면서 약간 다르고 이 차이는 예전에 설명한 바가 있기는 하나 엄청나게 중요한 것은 아니라서 사상이라 적힌 것은 함수(function)으로 이해해도 큰 지장은 없습니다. 즉 이항연산은 $M$ 의 두 원소로 순서쌍을 만든 다음 두 원소(binary)를 짝지어서 관계(relation=operation)를 만들어 주는 것입니다.

 

 

 

2) 연산에 대해 고려할 여러 주요 성질들

 

다음으로 다룰 것은 중고교 수학에서도 등장했던 교환법칙, 결합법칙, 항등원 그리고 역원에 대한 정의이고 이들은 중고교 수학에서의 뜻과 차이는 없습니다. 우선 이들을 다루려면 주어진 집합에서 연산이 정의되어 있어야 합니다.

 

보조정의($A.A$) 2-1-1
이항연산 $*$ 이 주어진 $M$ 과 세 원소 $a,b,c\in M$ 에 대하여,

① 교환법칙(commutative)이란 $a*b=b*a$ 가 성립한다는 것이다.
② 결합법칙(associative)이란 $a*(b*c)=(a*b)*c$ 가 성립하는 것이다.
③ 원소 $e\in M$ 이 주어진 $a\in M$ 에 대하여 $a*e=e*a=a$ 을 만족하면 $e$ 를 $a$ 에 대한 '항등원(unity or identity)'라 부른다. 항등원은 관례적으로 $1$ 또는 $e$ 나 $\varepsilon$ 등으로 표기한다.
④ 원소 $b \in M$ 이 주어진 $a\in M$ 에 대하여 $b*a=a*b=b$ 를 만족하면 $b$ 를 $a$ 에 대한 '역원(inverse)'라 부른다. 역원은 관례적으로 원소 $a$ 에 대해 $a^{-1}$ 등으로 표기한다.

 

역원의 경우 앞글자를 따서 $i$ 를 쓰면 좋겠지만 수학에서 $i$ 는 허수단위를 의미하기 때문에 보통 이를 쓰지 않고, 주어진 원소 $a$ 에 대해 $a^{-1}$ 라 표기합니다. 보통 $a^{-1}=\displaystyle \frac{1}{a}$ 를 뜻하지만, 여기서 $a^{-1}$ 이란 $a$ 의 역수를 뜻하는 것이 아니라 역원을 의미하는 표현입니다. 마치 함수 $f$ 의 역함수를 $f^{-1}$ 라 표기하는데 이것이 $f^{-1}=\displaystyle \frac{1}{f}$ 를 말하는 것이 아닌 것과 같습니다. 마찬가지로 항등원을 $1$ 이라 적을 때 이는 단순히 자연수 $1$ 를 가리키는 것으로 사용된 것이 아니라는 점에 주의해야 합니다.

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson

 

 

 

1. 앞으로 이항연산은 연산이라 간단히 부를 예정입니다. 같은 용어입니다. [본문으로]