반응형 고전역학(Classical Dynamics)5 자유도와 일반화 좌표계 (Degrees of freedom and Generalized coordinates) 보통 역학에서 좌표계라고 하면은 직교좌표계(Cartesian coordinates), 구면좌표계(Spherical coordinates), 원통좌표계(Cylindrical coordinates) 를 떠올리지만, 라그랑주 역학에서는 좌표계를 임의로 설정하여 가장 간단한 형태의 오일러 방정식을 도출하는 것이 목표입니다. 게다가 물체의 배위(Configuration)을 나타낼 때 필요한 좌표가 단순히 $(x,y)$ 같은 위치 뿐만 아니라, 속도에 관한 항이 존재합니다. 이는 해밀턴 역학에서도 변수가 위치, 운동량인 것과 연결됩니다. 어떤 물체의 운동을 나타낼 때 변수가 $x,y$ 같은 위치 뿐만 아니라 속도 혹은 운동량까지 존재한다는 뜻입니다. 이번 시간에는 어처구니 없어 보이기도 하는 이 좌표계를 다루는 방.. 2022. 11. 20. 라그랑주 역학과 최소 작용의 원리(Lagrangian and Least Action principle) 변분법에 대한 수학적 기틀이 마련되었다면 뉴턴역학을 망라하는 자연을 바라보는 새로운 관점인 라그랑주 역학과 해밀턴 역학을 마주할 준비가 갖추어졌다고 볼 수 있습니다. 오늘 다룰 주제인 라그랑주 역학은 자연의 운동의 진수(眞髓)에 대해 고찰하게 만들 법한 주제입니다. 직관적으로, 보통 사람들은 자연이 연속적이라고 생각하며 자연의 반댓말로 인위적이라는 표현을 쓰는 것처럼, 자연은 어떠한 목적 없이 시간에 흐름에 따라 흘러가는, 스스로 이루어지는 무언가와 밀접한 관련을 가지고 있다고 생각하는 편입니다. 변덕스럽게 바뀌는 바람과 파도를 보면 자연은 매우 불규칙적인 것으로 보이기도 하지만 1년을 주기로 외양이 돌아오는 나무, 공전하는 지구 등을 보면 또 규칙적으로 순환적인 것처럼 보이기도 합니다. 예시가 매우.. 2022. 11. 20. 원심력 에너지와 유효 퍼텐셜(Centrifugal Energy and the Effective Potential) 중심력장에서 궤도의 형태를 추정하는 방법으로 에너지의 관점에서 고찰하는 방식이 하나 있고, 다른 방법은 위치에 관한 함수를 각도에 대한 함수로 풀어내어 극좌표 방정식을 구해 이차곡선 중 무엇인지 찾아내는 수학적 방식이 하나 있습니다. 우선 오늘은 에너지 관점에서 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지로 구분을 하고 그에 따른 운동의 형태를 분류하는 작업을 하려고 합니다. 1. 유효 퍼텐셜(Effective potential) 중심력을 받는 물체의 전체 에너지는 이미 유도한 바 있습니다. $$E=\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{l^2}{2\mu r^2}+U(r)\;\;\cdots\;\;(1)$$ 첫번째 항 $\displaystyle\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2$은 $r$에 관한 운동.. 2020. 12. 7. 중심력장에서의 궤도와 전환점 (Orbits and turning point in a Central force field) 중심력이 작용할 때 입자가 어떤 궤도를 그리며 운동할지에 관한 예측을 하는 것은 중심력장 이론에서 중요한 주제입니다. 천체들의 운동 궤도를 보면 보통 이차곡선에 해당하는 궤도를 그린다는 사실을 알 수 있는데, 이에 대한 분석을 위해선 유효 퍼텐셜까지를 다루어야 하고, 오늘은 그를 소개하기 전에 보다 특별한 궤도에 대해 간단히 설명하려고 합니다. 1. 전환점(Turning point) 태양 주위를 공전하는 지구나 지구 주위를 도는 달처럼 끊임없이 정해진 궤도만을 도는 천체도 있지만, 어떤 천체는 방향을 크게 바꾸거나, 순간적으로 속도가 0이 되는 경우도 있습니다. 중심력장에서의 에너지 식 $$E=H=T+U=\frac{1}{2}\,\mu\left (\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \righ.. 2020. 12. 1. 중심력과 이체문제(Central Force and Two-bodies problem) 미국 드라마 샐베이션(Salvation)을 보면 1화에서 MIT 대학원생 리엄 콜이 친구들과 한 잔 할 겸 바에 모입니다. 음식을 주문하며 그는 친구들과 '다체문제(Many-bodies problem)'을 푸는 것에 대한 가벼운 토론과 상대방에 대한 비난을 가벼운 장난 어조로 주고받는데, 그러던 와중 맘에 드는 여성을 발견한 리엄은 '이체문제(Two-bodies problem)'을 푸는게 급하다면서 자리를 벅차고 일어서죠. 친구들은 도망가는 것처럼 보이는 그를 두고 이체문제는 고등학교 문제라며 비아냥거립니다. 여기서 리엄은 커플이 되기 위한, 진짜 이체(Two-bodies)를 이루기 위한 문제를 풀러 간 것이라 해석해야 맥락상 정확하겠지요... 극 중 그의 전공이 천체물리학인 점을 감안하면, 이들이 나눈.. 2020. 11. 30. 이전 1 다음 반응형
