원심력 에너지와 유효 퍼텐셜(Centrifugal Energy and the Effective Potential)

중심력장에서 궤도의 형태를 추정하는 방법으로 에너지의 관점에서 고찰하는 방식이 하나 있고, 다른 방법은 위치에 관한 함수를 각도에 대한 함수로 풀어내어 극좌표 방정식을 구해 이차곡선 중 무엇인지 찾아내는 수학적 방식이 하나 있습니다. 우선 오늘은 에너지 관점에서 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지로 구분을 하고 그에 따른 운동의 형태를 분류하는 작업을 하려고 합니다.

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1. 유효 퍼텐셜(Effective potential)

 

중심력을 받는 물체의 전체 에너지는 이미 유도한 바 있습니다.

$$E=\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{l^2}{2\mu r^2}+U(r)\;\;\cdots\;\;(1)$$

첫번째 항 $\displaystyle\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2$은 $r$에 관한 운동에너지임을 확신할 수 있습니다. 세번째 항은 퍼텐셜 에너지이고, 두번째 항은 원래 $\theta$에 관한 운동에너지 $\displaystyle\frac{1}{2}\mu r^2\dot{\theta}^2=\displaystyle\frac{l^2}{2\mu r^2}$ 였던 것인데, 각운동량 보존으로 인해 $\theta$의 시간 의존성이 없음을 확인했었지요.

 

이 식을 $r$에 대한 관점으로만 보면, 첫 항은 분명 운동에너지이니 나머지는 퍼텐셜 에너지로 해석해야 옳습니다. 그래서 두번째 항을 진짜 퍼텐셜 에너지 $U(r)$ 과는 다른 새로운 퍼텐셜 에너지

$$U_c=\frac{l^2}{2\mu r^2}$$
로 해석하게 되면 힘과 퍼텐셜 에너지의 관계에 따라

$$F_c=-\frac{\partial U_c}{\partial r}=\mu r\dot{\theta}^2$$

이 됩니다. 이 힘은 사실 정확히 말해서 '힘'은 아닌데, 실제 퍼텐셜 에너지를 미분한 것이 아니기 때문입니다. 그럼에도 불구하고 비관성계에서 실제 '힘'처럼 작용해 뉴턴 법칙을 만족하는 '원심력(Centrifugal force)'로 불려왔습니다. 즉 $\displaystyle\frac{l^2}{2\mu r^2}$ 항은 입자의 원심력의 퍼텐셜 에너지로 해석할 수 있어서 이러한 의미 덕분에 식 $(1)$의 둘째, 셋째 항을 합쳐 '유효 퍼텐셜(Effective potential)'이라 합니다. 이는 분명 실제 힘과 중심력에 의한 회전운동에 의해 (비관성계 관찰자가 입장에서) 생긴 에너지를 합한 가상적 의미의 퍼텐셜입니다.

$$V(r)=U(r)+\frac{l^2}{2\mu r^2}$$

역제곱 법칙으로 중심력 운동에서의 힘을 고려하면

$$F(r)=-\frac{k}{r^2}\;\;,\;\;U(r)=-\int F(r)dr=-\frac{k}{r}$$

이므로

$$V(r)=-\frac{k}{r}+\frac{l^2}{2\mu r^2}$$

 

그러면 $V(r)$은 $r$만에 의한 함수이기 때문에 다음과 같이 그래프를 그릴 수 있게 됩니다.

 

[그래프 1] 거리에 따른 유효 퍼텐셜 함수

$$E=KE+PE=\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\left ( \frac{l^2}{2\mu r^2}-\frac{k}{r} \right )=\frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+V(r)\;\;
\Rightarrow\;\; E\geq V(r)$$ 임을 염두해 두고, 에너지에 따른 입자의 위치를 따져보면 다음과 같이 크게 3가지로 분류할 수 있습니다.

 

① $V(r)\geq 0$, 예컨대 위에서 $E=E_1$ : 이 때는 비속박운동(Unbounded)을 합니다. 입자의 운동은 $r=0$인 힘의 중심을 향해 무한히 먼 곳에서 날아왔다가 전환점 $r=r_1$ 에서 퍼텐셜 벽에 충돌한 후 다시 무한대 방향의 $r$쪽으로 날아갑니다.

 

② $E=E_3$ : $V(r)$의 최솟값을 가지는 지점이고 $E=V(r)$ 이니 운동에너지가 0인 지점입니다. 이는 곧 $\dot{r}=0$ 임을 뜻하고 $r=r_3$인 원운동에 해당하는 상황입니다. 원운동은 그러니까 $r$이 고정되어 있고 각변위 $\theta$만 변하는 상황이니 자연에서 매우 이루기 어려운 특수 케이스에 해당하지요. 그래서 대부분의 천체들의 공전궤도가 완벽한 원이 아닌 약간의 찌그러짐을 보유한 타원이 되는 것입니다. 확률적으로 보았을 때 원이 되는 것은 매우 희박하다는 것입니다.

 

③ $E=E_3<0$ : 그래프에서 볼 수 있듯이 속박운동(Bounded)을 하며 위치의 범위는 $r_2\leq r\leq r_4$ 입니다. $r_2,r_4$는 전환점이고 '앱시스 거리(apsidal distance)'라 합니다. 속박운동의 궤도가 꼭 타원인 것은 아닙니다. 타원인 경우 이 두 전환점은 근점, 원점이 되고, 작용하는 힘이 중력인 경우에 위치에너지가 거리의 역수에 비례하는 형태를 가져 닫힌 궤도(Closed orbit)을 만듭니다.

 

 

[참고 문헌]

Classical dynamics of particles and systems, 5e, Marion&Thornton