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미분방정식(Differential equation)28

스투름-리우빌 이론(Sturm-Liouville Theory) 스투름-리우빌 이론은 미분방정식을 아름답게 조작하고 해를 특별한 성질을 갖는 함수로 취급할 수 있게 미분방정식을 조작하는 기술을 다루고 있는 이론입니다. 이 탁월한 이론은 보통 공대생이나 수학과 학생보다 물리학과 학생이 먼저 마주할 가능성이 높습니다. 그 까닭은 스투름-리우빌 이론이 선형대수학에서 에르미트, 또는 허미션 연산자(Hermitian operator)에 대한 개념이 필요하고 그 개념은 수학과와 물리학과에서만 제대로 파내 활용하기 때문입니다. 에르미트 연산자만 놓고 보면 수학보다도 물리에서 무궁무진하게 쓰입니다. 따라서 스투름-리우빌 이론은 상미분방정식과 선형대수학을 공부하고나서 그 진가를 이해할 수 있는 마지막 보스급 문제입니다. 이는 내용이 무진장 어렵다는 뜻이 아니라 선수 요구 지식이 많다.. 2022. 4. 26.
구면좌표계에서 라플라스 방정식을 변수분리법으로 풀기(The Laplace Equation in the Spherical coordinates by using separation of variables method) 오늘은 편미분방정식에서 굉장히 중요한 것을 풀어보려 합니다. 물리 문제에 종종 등장하는 대표적인 편미분방정식인 라플라스 방정식이 그 대상인데, 이를 구면 좌표계에서 풀 것이고 변수분리법을 이용할 것입니다. 3차원 구면좌표계에서 변수분리법을 써서 라플라스 방정식을 풀게되면 구면조화함수(Sperical harmonics)와 연관 르장드르 다항식(Associated Legendre polynomial)을 얻습니다. 르장드르 다항식 같은 경우는 르장드르 함수 및 르장드르 방정식이 있고, 고유의 수많은 특징을 가지기 때문에 물리학에서 폭넓게 애용됩니다. 르장드르 다항식의 경우 모함수(generating funtion)이나 프로베니우스 방법을 이용하는 것이 정통적인 방법이라면, 오늘 등장하는 방법을 통해 얻게 되는.. 2022. 4. 23.
편미분방정식에 변수분리법을 쓸 때 방위각 주기성, 방위각 대칭성의 뜻(What does azimuthal periodic, and azimuthal symmetric stand for?) 구면좌표계나 원통좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 다 보면 방위각 부분에서 주기성이나 대칭성을 갖는다는 말이 등장합니다. 전자의 경우 주기성을 이유로 방위각 부분의 변수분리 해를 정수조건을 달아 지수함수로 만들고, 후자의 경우 방위각을 해에 아예 적지를 않습니다. 그 까닭이 무엇이고, 그 둘은 어떻게 다른지 구분을 잘하지 않으면 상당히 피곤합니다. 전공책들에 그러한 설명이 의외로 자세하지 않아 간단히 정리를 해보려고 합니다. 구면좌표계에서(원통좌표계도 방위각이 존재하니 마찬가지입니다.) 라플라스 방정식을 변수분리법으로 풀면 다음과 같은 상황이 등장합니다. $$\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d }{dr}\left( r^2 \frac{d R}{dr} \right)+\frac{\sin\the.. 2022. 4. 23.
2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태 (The form of Second Series solution in second-order linear homogeneous ODE) 앞선 시간에 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해는 첫번째 해를 바탕으로 엮어 적분식으로 쓸 수 있음을 보였습니다. 이 관계는 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식에서는 별로 유용하지 않지만, 특수함수를 내포한 복잡한 상미분방정식을 프로베니우스 방법으로 다루면서 상정하는 급수해를 적을 때 등장하는 두번째 해를 탐구하는데 지참할 도구로서 기능합니다. 오늘은 두번째 해에 대한 급수 형태를 찾을 것입니다. 다시 말하지만 급수 형태의 해를 굳이 찾는 이유는 특수함수가 포함된 상미분방정식의 해를 찾을 때 프로베니우스 방법을 쓰기 때문입니다. 프로베니우스 방법을 쓰는 이유는 이걸 안쓰고서는 해를 구하기 어렵기 때문이고요. 1. 2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해의 급수 형태 오늘은 역대 최장 포스팅이 될 것.. 2021. 12. 24.
2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해 [The Second solution of second-order linear Homogeneous ODE] 이전 글과 이어집니다. 이제 두번째 해가 어떻게 생겼는지 직접 구해봅시다. 두번째 해는 첫번째 해와 연관지어 적을 수 있습니다. 여기서 연관지어 적는다는게 두 해의 관계가 상수배로 이어져서 선형 종속임을 뜻하는 것이 아닙니다. 두 해가 존재하면, 둘은 선형 독립 관계입니다. 굳이 강조해서 말하는 이유는 두번째 해의 모양이 첫번째 해의 곱처럼 묘사되어 있기 때문입니다. 그러니 적분식이 있음을 살펴보면, 절대 선형 종속이 아님을 파악할 수 있습니다. 정리($D.E$) 2.9 2계 선형 동차 상미분방정식 $$y''+p(x)y'+q(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$ 의 해공간의 두 기저 중 첫번째 해(기저)를 $y_1(x)$라 하자. 그러면 두번째 해(기저)는 $$y_2(x)=y_1(x)\i.. 2021. 12. 22.
2계 선형 동차 상미분방정식의 해공간의 기저가 2개임을 증명 [Prove that the Second-order Linear ODE has at most two basis of its solution basis] 상미분방정식의 order는 1,2계까지만 다루는 것이 정석입니다. 사실상 1,2계가 대부분이고 특수함수들도 2계에서 발생합니다. 또한, 2계까지를 학습한다면, 자연스레 $n$계 상미분 방정식까지 확장시켜 논의해보는 것이 가능하기 때문입니다. 오늘은 2계 선형 상미분방정식의 마지막 내용, 곧 해의 개수가 2개이며 3개 이상이 될 수 없음을 보일 것이고, 첫번째 해를 구했다면 두번째 해도 첫번째 해를 이용해 구할 수 있음을 정리할 것입니다. 여기서 주의할 것이 있습니다. 대부분의 교과서에서 앞서 설명한대로 '해의 개수'라 적어두었지만 정확히 말하면 '해공간의 기저'가 2개이지, 원래 미분방정식의 해는 무수히 많음을 곱씹어 보아야 합니다. 그래서 일반해는 선형결합으로 쓰는 것이고요. 즉 기본해 집합의 원소가 .. 2021. 12. 22.
정칙 특이점 근방에서의 급수해 (Series solution Near a Regular Singular point) 일전에 정상점 근방에서는 $y=y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ 로 두고 해를 구했으며 이러한 급수해를 가정하여 미분방정식의 해를 찾는 방법이 프로베니우스의 방법이라고 했습니다. 이 방법은 정상점과 정칙 특이점 근방에서의 멱급수 전개를 할 때만 성공할 수 있으며, 오늘은 정칙 특이점 근방에서 급수해를 획득하게 될 것입니다. 이는 정상점의 경우보다 어렵습니다. 그러나 물리학에서 자주 등장하는 각종 특수함수들은 대부분 정칙 특이점 근방에서 급수해로 미분방정식을 풀어 나온 탄생물들인지라 수학을 너머 과학과 공학에서도 무거운 의미를 갖는 만큼 이 방법을 훌륭히 연마해 두는 것이 좋습니다. 1. 정칙 특이점을 갖는 2계 미분방정식 미분방정식 $$P(x)y''+Q(x).. 2021. 2. 4.
코시 오일러 미분방정식과 일반해 (The general solution of Cauchy-Euler Differential Equation) 저번 글에 이어서 코시-오일러 미분방정식의 일반해를 유도해 볼 것입니다. 거기서 간략히 언급했었듯이 이 방정식은 $y$항의 미분횟수에 대해 그 숫자와 같은 $x$의 거듭제곱이 앞에 붙어있으므로, $x^r$ 꼴의 해를 가진다는 사실을 알 수 있습니다. 오늘은 이를 통해 $r$의 값에 따라 어떻게 해의 모양이 형태가 바뀔 것인지를 논의할 예정입니다. 2. 코시-오일러 방정식의 지표방정식 코시-오일러 방정식을 설명하는 이유는 2계 미분방정식 $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$ 이 $x=x_0$ 에서 특이점을 가질 때, 급수해를 찾기 위해서입니다. 결론적으로 말하면 이 점이 정칙 특이점인 경우에는 프로베니우스 방법을 통해 해를 구할 수 있습니다. 근데 그 과정을 .. 2021. 2. 3.
코시 오일러 방정식을 변수치환을 이용하여 풀기 (Find the solution of Cauchy-Euler Differential Equation by using substitution of variable) 코시-오일러 방정식은 복잡한 2계 미분방정식의 멱급수 해를 찾기 위한 프로베니우스 방법을 꺼내들 때 빼놓을 수 없는 대장 미분방정식입니다. 그 형태 또한 가만 보아도 특별한 꼴을 지니고 있으며 계수가 $x$에 관한 식으로 구성된 모든 2계 미분방정식의 풀이를 위해 존재한다고 해도 과언이 아닌 특별한 방정식이라 할 수 있습니다. 일반적으로 코시-오일러 미분방정식의 풀이는 두 가지 종류로 구분해 볼 수 있는데, 하나는 풀기가 쉬운 계수가 상수인 2계 미분방정식으로 바꾸어 풀어내는 방법이고, 나머지 방법은 $x^r$ 꼴의 해를 가정해서 풀어보는 것입니다. 후자의 방법은 다음 글에서 진행할 것이고 일반적인 미분방정식의 급수해 형태를 제작하는데 밑거름이 됩니다. 1. 변수치환을 이용하여 풀기 $n$계 '코시-오일.. 2021. 2. 3.
Fuchs 의 정리 (Fuchs' Theorem) [주의] 이번 포스팅을 읽기 전에 테일러 급수, 해석함수, 프로베니우스의 방법, 정상점과 특이점에 관한 개념을 반드시 숙지해야 합니다. 급수해를 이용하여 미분방정식을 몇가지 풀어봤습니다. 이제, 정상점과 특이점을 알았고 정상점 및 정칙 특이점에서만 프로베니우스 방법을 사용하는 것이 가능하다는 사실에 관한 정리를 소개할 것입니다. 참고로, 오늘 내용은 꽤나 어렵기 때문에, 수학과를 제외한 자대, 그리고 공대생 학도들이면 이렇게까지 심도있게 파헤치지 않아도 됨을 미리 발설하겠습니다. 1. 테일러 전개 $P,Q,R$ 이 다항함수일 때, 2계 선형 동차 미분방정식 $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$ 의 해를 급수형태로 찾는다고 해봅시다. 그 급수는 정상점 $x=x.. 2021. 2. 1.
정상점 근방에서의 급수해 (Series solution Near a Ordinary point) 이제 프로베니우스 방법을 적용해 2계 미분방정식의 급수해를 획득해 볼 차례입니다. 급수 형태의 해는 멱급수이고, 멱급수는 언제나 중심이 중요합니다. 이번에는 정상점 근방에서의 급수해를 만들어 볼 것이고 이것의 특징을 분석하려 합니다. 예제 1) 미분방정식$$y''+y=0\;\;,\;\;(x\in \mathbb{R})$$의 급수해를 구하여라. sol) $P(x)=1\;,\;Q(x)=0\;,\;R(x)=1$ 이므로, $P(x)\neq 0$ 을 만드는 점 $x$는 존재하지 않습니다. 따라서 모든 실수 $x$가 정상점입니다. 어느 점을 중심으로 해서 멱급수를 전개하던지 상관이 없다는 것인데 간단하게 $x=x_0=0$ 을 고려하겠습니다. 그러면 우리가 상정할 급수의 형태는 $$y=\sum_{n=0}^{\infty.. 2021. 2. 1.
미분방정식에서 정상점과 특이점 (Ordinary point and singular point in the Differential Equation) 미분방정식의 해를 급수 형태라 가정하고 해를 찾는 풀이법을 프로베니우스 방법이라 하며 바로 전 포스팅에서 설명했습니다. 프로베니우스 방법이 먹히려면 주어진 미분방정식이 특정한 형태를 갖추고 있어야 하는데, 그것은 '점'과 관련된 성질입니다. 이를 오늘 본격적으로 파헤쳐 볼 것입니다. 다음과 같은 2계 선형 동차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 봅시다. $$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$$ 여기서 $P,Q,R$ 이 해석함수(그러나 아주 많은 경우에 이들은 다항함수 형태이니, 다항함수라 생각해도 됩니다)라 하고, 공통인수를 갖지 않는 꼴이라 생각할 것입니다. 공통인수를 가지면 그것으로 나누라는 뜻입니다. (즉, $P,Q,R$ 은 셋이서 놓고 보았을 때 특정 인수로 인수분해가 더 이상 안되는 관계라.. 2021. 1. 31.
프로베니우스 방법과 급수해 (Frobenius methods and Series solution) 2계 상미분 방정식은 계수가 상수일 때와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있습니다. 계수가 상수인 경우는 해법(미분방정식 카테고리에 포스팅)이 꽤나 간단하며 명확하게 해석적인 해(Analytic solution)를 구할 수 있어서 정해진 길을 따라 마치 공식 대입하듯이 풀면 해를 구하는 과정이 용이합니다. 반면 계수가 미지수가 되는 경우, 즉 독립변수 $x$의 함수가 되어버리면 상당히 골치아픈 구조가 되어버려 풀이 과정이 복잡하고 난이도가 급증하게 됩니다. 헌데 물리학에서 다루는 상당한 종류의 특수함수들은 이러한 미분방정식을 풀면서 등장하게 되고, 필연적으로 자연 현상을 설명하는 방정식에서 툭툭 튀어나오게 됩니다. 그리하여 공학, 물리학 과정에서 계수가 상수가 아닌 2계 선형 미분방정식을 푸는 방법은 매우 .. 2021. 1. 31.
아벨 항등식 (Abel's identity) 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel, 1802-1829) 는 노르웨이의 위대한 수학자로 그의 수많은 업적들은 가히 수학이란 대성전 곳곳에 새겨져 있습니다. 아벨은 대중도가 낮은 편이라 수학을 잘 모르는 일반인이 접하기 쉽지 않은 인물이긴 하나 그의 업적은 천재 수학자들과 어깨를 견주해도 꿀리지 않을 정도입니다. 수학자에게 부여하는 상으로 아벨상이 있고, 수학에서 찾아보면 Abelian Group, 아벨 적분, 아벨 항등식 등이 있는데 난이도가 높다 보니 그 명성이 일반인들의 귓속까지 전달되기 힘든 것이라 생각됩니다. 그 유명한 5차방정식 이후부터 대수적으로 일반해를 구할 수 없다는 사실을 발견한 것도 이 아벨입니다. 안타깝게도 그는 요절했습니다. 역사를 보면 꽤 이른 나이에 생을 마감한 천.. 2021. 1. 29.
계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 5) 우변에 여러 함수가 존재할 때 앞서서 우변에 삼각함수, 다항함수, 지수함수 등이 존재할 때의 미분방정식을 살펴보았습니다. 이번에는 그것들이 우변에 합쳐져 존재할 때 해를 어떻게 구하는지 논의해 보도록 하겠습니다. 정리($D.E$) 2.7 2계 선형 비동차 미분방정식 $$ay''+by'+cy=f(t)+g(t)$$ 의 특수해는 우변을 각각 분리한 두 개의 미분방정식 $$ay''+by'+cy=f(t)\;\;,\;\;ay''+by'+cy=g(t)$$ 의 특수해를 각각 $y_{p1},y_{p2}$ 라 하였을 때 $y_{p1}+y_{p2}$ 이다. 증명) $$ay''+by'+cy=f(t)\;\;\;\cdots \;\;(1)\\ ay''+by'+cy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(2)$$ 의 특수해를 각각 $y_{p1},y_{p2}$ 라.. 2020. 12. 20.
계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 4) 우변이 다항식 또는 다항식과 지수함수의 곱인 경우 이번에는 우변에 다항식만 존재하거나 다항식과 지수함수의 곱 형태의 함수가 존재할 때 2계 선형 비동차 미분방정식을 푸는 방법을 알아봅시다. 정리($D.E$) 2.6 $n$차 다항식 $P_n(x)$ 에 대하여 $(D-a)(D-b)y=P_n(x)e^{cx}$ 의 특별해는 $$\left\{\begin{matrix} c\neq a\;,c\neq b\;:\;y_p=Q_n(x)e^{cx}\\\\ \;c=a\;,a\neq b \;:\; y_p=xQ_n(x)e^{cx}\\\\ c=a=b\;:\;y_p=x^2Q_n(x)e^{cx} \end{matrix}\right.$$ 위 공식에서, $c=0$인 경우 지수함수가 사라지고 다항식만 남게 됩니다. 또한 $P_n(x),Q_n(x)$ 에서 첨자 $n$은 최고차항이 $n$인 다항.. 2020. 12. 20.
계수가 상수인 2계 선형 비동차 미분방정식 3) 우변이 sin, cos 함수인 경우 이번에는 복소 지수함수(Complex Exponentials)를 사용하여 실수부분, 허수부분을 취해 해를 구하는 방법을 소개할 것입니다. 우변에 사인이나 코사인이 등장하게 된다면 허수단위 i를 지수에 포함하는 지수함수가 코사인과 사인의 각 부분을 가지는 오일러 공식 $$e^{ix}=\mathrm{cos}\,x+i\,\mathrm{sin}\,x $$ 으로 쪼개질 수 있다는 수학적 사실에 기반한 것입니다. 그래서 우변에 사인, 코사인이 등장했을 때는 우변을 지수함수로 바꿔서 푸는 과정이 등장하기 때문에, 우변이 지수함수일 때 2계 선형 미분방정식의 풀이법을 반드시 숙지하고 있어야 합니다. 정리($D.E$) 2.5 $(D-a)(D-b)y=\left\{\begin{matrix} \;k\,\mathrm{sin}\.. 2020. 12. 19.
계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 2) 우변이 상수이거나 지수함수일 때 이제 2계 선형 비동차 미분방정식을 풀어봅시다. 우변이 0이 아닐 때를 다룰 것인데, 우변이 어떤 함수인지에 따라 풀이법이 상이하므로 유형을 나누어 풀어볼 예정입니다. 1. 계수가 상수인 2계 선형 (비동차) 미분방정식 ​ $$y''+py+qy=g(t)\;\;\;\cdots \;\;(1) \\\\ y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)\;\;\; \cdots \;\;(2)$$ 계수가 상수이고, 우변이 0이 아닌 2계 선형 동차 미분방정식의 일반적인 꼴은 이와 같습니다. 우변이 0인 경우는 좀 더 간단하고, 이전 포스팅에서 다룬 바 있습니다. 1계 선형 미분방정식의 경우 해를 특정한 꼴의 공식으로 나타낼 수 있었지만, 2계 선형 미분방정식의 경우 1계처럼 y의 일반적인 해를 x에 관한 식으로 표현한 일반화.. 2020. 12. 15.
2계 선형 미분방정식에서 일반해를 특수해와 보조해의 합으로 쓰는 이유 2계 선형 미분방정식 $$ay''+by'+cy=g(t)$$ $$y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)$$ 을 풀다보면, 이것의 일반해는 우변이 0인 동차 미분방정식의 해인 보조해(complementary solution) $y_c$ 와 우변이 0이 아닌 위 비동차 미분방정식에 해당하는 하나의 간단한 해인 특수해(particular solution) $y_p$ 의 합인 $$y=y_c+y_p$$ 으로 쓴다는 내용을 알고 있을 것입니다. 그러나 이는 까닭과 원리를 모른채 암기한 뒤 이해하려 노력하면 도저히 납득이 되지 않는 황당무계한 소리입니다. 우변이 $g(t)\neq 0$ 인 방정식을 풀었는데 일반해에 우변이 0인 방정식의 해가 등장한다고 하지를 않나, 우변이 0이 아닌 비동차 미분방정식의 어느 임의의 해.. 2020. 12. 15.
2계 선형 동차 미분방정식의 해집합과 론스키안 (Solution set of Second-order Linear homogeneous Differential Equation with Wronskian determinant) 론스키안(Wronskian)을 이용하여 2계 선형 동차 미분방정식의 해의 존재와 관련된 몇가지 정리를 이해할 수 있습니다. 이 내용은 해의 존재성, 유일성과 관련된 정리에 가깝기 때문에 미분방정식을 푸는 것에 집중하는 공학도들에게는 별 중요한 내용이 아닐 가능성이 높기는 하지만, 언제나 그랬듯이 정확하고 심도있는 학습을 위해 선형대수학과 더불어 미분방정식의 해에 관한 명확한 이해를 기반으로 하는 글이라 보면 됩니다. 1. 론스키안을 이용한 기본해 찾기 1) 기본 정리들 정리($D.E$) 1,7 2계 선형 동차 미분방정식 $$y''+p(t)y'+q(t)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$ 의 두 해를 $y_1,y_2$라 하고 초기조건 $$y(t_0)=y_0\;\;,\;\;y'(t_0)=y'_0\;.. 2020. 12. 15.
계수가 상수인 2계 선형 동차 미분방정식 1 ) 우변이 0일 때 해를 완벽하게 해석적으로 작성할 수 있는 미분방정식은 전체 미분방정식 집합 중에서는 매우 작은 영역을 차지합니다. 대수방정식과 마찬가지로 미분방정식도 고계(high-order)인 경우 해를 만들기가 까다로워지기 때문에, 대부분 2계 미분방정식까지를 제대로 이해하는 것을 요구합니다. 게다가 물리학과 공학에서 자연을 기술하는 가장 많은 형태의 방정식이 바로 2계 선형 미분방정식입니다. 이를 잘 풀면 각각의 과목에서 그들을 마주칠 때마다 적절한 도구로 해석하는 일이 가능해질 것입니다. 참고로 이 글을 읽으면서 2계 선형 미분방정식의 해를 선형결합으로 쓰는 이유에 대해 설명한 미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유 미분방정식에서는 해를 나타낼 때 선형결합을 정말 많이 활용합니다. 본격적으로 이를 접하는 .. 2020. 12. 14.
미분방정식에서 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유 미분방정식에서는 해를 나타낼 때 선형결합을 정말 많이 활용합니다. 본격적으로 이를 접하는 단계는 2계 선형 미분방정식에서일 텐데, 실은 편미분 방정식을 가도 일반해는 죄다 선형결합으로 씁니다. 그런데 처음 배울 때 그렇게 쓰는 이유를 정확히 알지 못할 가능성이 있습니다. 바로 선형대수학 때문이죠. 선형결합 및 방정식에 대한 이론을 알아야 이 까닭을 파헤칠 수 있습니다. 그러나 어렵고 낯선 개념을 요구하는 것이 아니니 마음 굳게 먹고 하나하나 이해하려 노력하면 어렵지 않을 것입니다. 1. 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유에 대한 가장 많은 하자가 있는 답변 : 대입하면 그것도 성립한다! 실제로 이렇게 알고 있는 분들이 많습니다. '선형결합한 식도 대입하면 성립하니까, 그렇게 해를 쓰나보다' 하는 것이죠. 틀.. 2020. 12. 14.
1계 선형 미분방정식의 해에 대한 논의 (Discussion about the solution of Fisrt-order linear ODE) 1계 선형 비동차 미분방정식 $$y'+p(x)y=q(x)$$ 를 적분인자 $\alpha(x)$를 도입하여 풀었을 때 최종적인 해는 항이 2개로 구성됩니다. $$y=\frac{1}{\alpha(x)}\left ( \int_{x_0}^{x}\alpha(t)q(t)dt +C \right )=e^{-I} \left ( \int_{x_0}^{x}e^Iq(t)dt+C \right )$$ 놀라운 것은 이를 놓고 보면 우리는 비동차 방정식($q(x)\neq 0$) 을 푼 것인데 최종해는 두 항 중 괄호 안의 상수 $C$에 해당하는 항이 동차 방정식($q(x)=0$) 에 해당하는 해라는 것입니다. 이는 특정 상황에서만 성립하는 것이 아니라, 위 식이 일반적인 식의 형태이기 때문에 항상 성립한다는 놀라운 결과입니다. 정리.. 2020. 12. 14.
분리 가능한 미분방정식 (Separable Equaion) 방정식의 한 쪽에는 $y$에 관한 항만 있고, 다른 쪽에는 $x$에 관한 항만 있게 변형할 수 있는 형태의 미분 방정식을 '분리 가능한 방정식(Seperable Equation)' 이라고 합니다. ​ 미분방정식의 목적은 결국 $y=\cdots$ 과 같이 어떠한 꼴로 식을 만드는 것이고, 처음 식에 $dy$가 포함되어 있기 때문에, 결국 적분을 해서 $dy$를 $y$로 바꾸는 과정이 필요할 것입니다. ​ 분리 가능한 방정식은 $dy$와 $dx$를 각각의 변으로 나누고, $y$와 $x$에 관한 항들을 $dy,dx$가 있는 항에 남겨 양변을 동시 적분해서 원하는 식을 얻을 수 있는 꼴을 가지고 있습니다. 그래서 항만 잘 조절하고, 적분을 해주면 끝나서 상당히 쉽게 답을 얻습니다. 핵심은 $y'$ 이 등장했을 .. 2020. 12. 14.
1계 선형 미분방정식을 적분인자를 이용해 풀기 (Linear First-order ODEs using integrating factor method) 과학과 공학에서 자연현상을 기술하는 많은 현상은 미분방정식을 통해 간결하게 표현됩니다. 이들 중 학부과정에서 많이 마주치는 것은 2계 선형 미분방정식입니다. 이를 풀려면 1계 선형 미분방정식에 대한 이해를 필요로 합니다. 고계 미분방정식으로 나아가기 위한 손풀기 단계라 생각하고 차근차근 원리를 헤아려 봅시다. 이 포스팅은 1계 선형 미분방정식을 풀고 해를 구하는 것에만 집중하며, 이 해의 특성에 대한 심도있는 논의는 여기서 진행하고 있습니다. 해당 글은 본 포스팅을 학습한 뒤에 확인할 것을 권장합니다. 1. 1계 선형 미분방정식(Linear First-Order ODEs) ​ 정리($D.E$) 2.1 1계 선형 미분방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다. $$y'+p(x)y=q(x)$$ 이것의 해는 $$y.. 2020. 12. 14.
미분방정식에서 동차, 비동차의 뜻(Homogeneous and Inhomogeneous in the Differential Equations) 수학에서 'Homogeneous'가 포함된 용어는 꽤나 빈번히 등장합니다. 고등학교 수학의 중복조합의 기호 H도 Homogeneous의 앞글자를 딴 것이고, 대학에 와서는 미분방정식과 선형대수학 등 수학의 전반적인 분야에서 굉장히 많이 등장합니다. 실생활에서 언어로서 영어를 사용할 때는 균일하거나 같은 종류를 의미하여 동성애를 뜻하는 단어이기도 하지요. ​ 미분방정식에 들어가면 이 Homogeneous 란 용어가 상당히 중요한데, 그 뜻을 제대로 파악하지 못하면 큰 혼란이 생길 수 있습니다. 원서들을 보면 Homogeneous라는 단어들이 쏟아져 나오는 바람에 미분방정식 시작부터 숨통을 조여올 수 있는데, 미분방정식이 균일하다, 동종이다, 이런식으로 번역하면 전혀 그 뜻을 헤아릴 수 없기 떄문입니다. 그.. 2020. 12. 11.
미분방정식의 종류, order와 degree, 선형과 비 미분방정식을 시작하기 전에 관련된 기본용어를 짚어보고 넘어가 봅시다. 1. 미분방정식(Differential Equation) 미분을 포함하는 방정식을 '미분방정식'이라 하고, 이 방정식에 편미분이 있으면 '편미분 방정식(Partial Differential Equations, PDE)', 없으면 '상미분 방정식(Ordinary Differential Equations, ODE)' 라고 한다. ex) 상미분 방정식의 예로는 RLC 감쇠진동을 나타내는 미분방정식이 있다. $$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$ ex) 편미분 방정식의 예로는 '(시간 비의존)슈뢰딩거 방정식'이 있다. $$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi +V\Ps.. 2020. 11. 28.
미분방정식이란?? (Introduction of Differential Equations) 미분방정식은 일반적으로 함수에서 사용했던 변수들 $x,y$가 동일하게 등장하여, 독립변수 $x$ 와 종속변수 $y$ 에 더하여 미분식 $\frac{dy}{dx}$ 이나 그보다 더 높은 고계도함수 $y''$ 등이 포함되어 있는 방정식입니다. 나아가 전체 변수의 개수가 3개 이상이 되어 다변수함수 또는 편미분이 섞여 있는 경우가 있습니다. 공학과 물리, 화학을 살펴보면 상당히 많은 미분방정식들이 존재합니다. 뉴턴의 제 2법칙인 $ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $ 는 힘을 운동량에 대한 시간 변화율로 표현할 수 있다는 점에서 미분방정식이고, 단순히 가속도벡터 $a$ 를 변위 $x$ 의 시간에 대한 2차 미분으로 해석해도 역시 미분방정식이 됩니다. 이외에도 용수철이 늘어나는 운동을 기술하는 훅의 법.. 2020. 11. 28.
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