2계 선형 동차 상미분방정식의 두번째 해 [The Second solution of second-order linear Homogeneous ODE]

이전 글과 이어집니다. 이제 두번째 해가 어떻게 생겼는지 직접 구해봅시다.

 

두번째 해는 첫번째 해와 연관지어 적을 수 있습니다. 여기서 연관지어 적는다는게 두 해의 관계가 상수배로 이어져서 선형 종속임을 뜻하는 것이 아닙니다. 두 해가 존재하면, 둘은 선형 독립 관계입니다. 굳이 강조해서 말하는 이유는 두번째 해의 모양이 첫번째 해의 곱처럼 묘사되어 있기 때문입니다. 그러니 적분식이 있음을 살펴보면, 절대 선형 종속이 아님을 파악할 수 있습니다. ^[각주:1]

 

정리($D.E$) 2.9
2계 선형 동차 상미분방정식 
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$ 의 해공간의 두 기저 중 첫번째 해(기저)를 $y_1(x)$라 하자. 그러면 두번째 해(기저)는
$$y_2(x)=y_1(x)\int_{}^{x}\frac{e^{-\displaystyle \int_{}^{u}P(t)dt}}{\left\{ y_1(u) \right\}^2}du$$ 으로 구할 수 있다.

 

식에서 느껴지는 압박감이 만만치 않습니다. 그러나 막상 이를 보이는 아래의 과정은 외관이 주는 공포에 비해 상당히 쉽습니다.

 

일단 이 식에 대한 설명을 먼저 하고 증명을 하겠습니다. 위 정리는 두번째 기저를 첫번째 기저만 알면 추출할 수 있다는 뜻에 우선 방점을 두는 것이 좋습니다. 아마 직접 이 식을 통해 연산을 하는 경우는 그리 많지는 않을 겁니다.

 

식에서 적분구간의 위끝만 문자로 되어있는 이유는 증명 과정에서 밝혀지는데, 아래끝은 상수가 들어가고 결국  $y_1(x)$의 상수배 차이만을 발생시키기 때문입니다. 기저의 형태가 달라지진 않는다는 것이죠.

 

증명) $(1)$이 $y_1,\,y_2$의 두 선형 독립 해를 가진다고 하자. 이 둘의 론스키안을 계산하고 미분까지 하면, 둘의 관계는 

$$W'=-p(x)W\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\frac{1}{W}\,dW=-p(x)dx\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(2)$$
와 같다. 좌변에서 $x$대신 $t$로 바꾸고 양변을 $a$부터 $x$까지 적분하면

$$\ln \left( \frac{W(x)}{W(a)} \right)=-\int_{a}^{x}p(t)dt\;\;\;\Rightarrow \;\;\;W(x)=W(a)e^{-\displaystyle \int_{a}^{x}P(t)dt}\;\;\;\;\;(3)$$
이다. 한편 론스키안은

$$W(x)=y_1y_2'-y_2'y_1=y_1^2\,\frac{d }{dx}\left( \frac{y_2}{y_1} \right)\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(4)$$
이기 때문에, $(3)$과 $(4)$를 결합하면

$$\frac{d }{dx}\left( \frac{y_2}{y_1} \right)=W(a)\frac{e^{-\displaystyle \int_{a}^{x}P(t)dt}}{y_1^2}\;\;\;\;\;(5)\;\;\;\;\;$$
이제 $(5)$의 $x$는 $u$로 바꾸고 양변을 $u$에 대하여 $b$부터 $x$까지 적분할 것이다. 좌변만 먼저 계산하면,

$$\int_{b}^{x}\frac{d }{du}\left( \frac{y_2}{y_1} \right)du=\frac{y_2(x)}{y_1(x)}-\frac{y_2(b)}{y_1(b)}$$
인데 여기서 우변의 상수항 $\displaystyle\frac{y_2(b)}{y_1(b)}$은 없다고 보류하자. (나중에 반영할 것이다.) 그러면

$$y_2(x)=y_1(x)W(a)\int_{b}^{x}\frac{e^{-\displaystyle \int_{a}^{u}P(t)dt}}{\left\{ y_1(u) \right\}^2}du$$

을 얻는다 $a,\,b$는 여기서 임의의 상수이다. 이 때 $W(a)$의 값은 상수이고 생략했던 상수항과 적분구간의 아래끝의 $a,\,b$를 모두 생략하면 식 $(1)$의 두번째 해는 

$$y_2(x)=y_1(x)\int_{}^{x}\frac{e^{-\displaystyle \int_{}^{u}P(t)dt}}{\left\{ y_1(u) \right\}^2}du$$
이다. 상수항과 구간의 아래끝을 생략하더라도 생략하지 않을 때와 $y_1(x)$의 상수배 차이만 나므로 일반해는 위와 같이 쓸 수 있고, 구체적인 문제에서는 주어진 초기조건 등을 만족하는 상수를 구하면 된다.

 

 

미분방정식 공부를 학부 수준에서 기초로 할 때는 굳이 이 정리가 필수라고 생각하진 않습니다. 이 정리는 어차피 두번째 해의 급수 형태를 작성하기 위한 발판의 역할로 사용하는 것이 좋습니다.

 

두번째 해의 급수 형태의 발판이 뭐냐? 라고 물으신다면, 수학과가 아닌 공대생이나 물리학도가 미분방정식을 공부하는 과정 속에서 앞을 가로막는 최대의 적인 특수함수를 생각하시면 됩니다. 르장드르와 베셀로 위시된 특수함수는 미분방정식을 푸는 과정에서 등장하는데, 편미분방정식의 변수분리법^[각주:2] 외에도 상미분방정식의 르장드르 방정식, 베셀 방정식^[각주:3] 으로부터 각각의 특수함수를 뽑아낼 수가 있습니다. 이 때 르장드르나 베셀 방정식의 두번째 해^[각주:4]는 첫번째 해보다 쓸 일은 적지만 구하는 과정이 무척 까다롭습니다. 그러나 그들도 2계 상미분 방정식이니 해의 존재성과 해의 모양을 어떻게 적을 수 있는지는 연구해 보는 것이 좋겠죠? 그러한 특수함수들을 다루기 위해 차근 차근 필요한 것이 이 정리라고 보시면 됩니다.

 

솔직히 말하면, 학부 수준에서 중요한 개념이긴 하지만 대부분이 모르는... 입니다.

 

 

 

1. 상당한 개념을 압축적으로 적었습니다. 그러나 이게 무슨 소린지 전혀 이해가 안간다면 앞 내용의 복습이 절실히 필요하다는 뜻입니다. [본문으로]
2. 전자기학에서 등장 [본문으로]
3. 공학수학, 수리물리학에서 등장 [본문으로]
4. 노이만 함수라고, 베셀함수를 공부하면서 어딘가에서 들어봤을 겁니다. [본문으로]