2계 선형 동차 상미분방정식의 해공간의 기저가 2개임을 증명 [Prove that the Second-order Linear ODE has at most two basis of its solution basis]

상미분방정식의 order는 1,2계까지만 다루는 것이 정석입니다. 사실상 1,2계가 대부분이고 특수함수들도 2계에서 발생합니다. 또한, 2계까지를 학습한다면, 자연스레 $n$계 상미분 방정식까지 확장시켜 논의해보는 것이 가능하기 때문입니다. 오늘은 2계 선형 상미분방정식의 마지막 내용, 곧 해의 개수가 2개이며 3개 이상이 될 수 없음을 보일 것이고, 첫번째 해를 구했다면 두번째 해도 첫번째 해를 이용해 구할 수 있음을 정리할 것입니다.

 

여기서 주의할 것이 있습니다. 대부분의 교과서에서 앞서 설명한대로 '해의 개수'라 적어두었지만 정확히 말하면 '해공간의 기저'가 2개이지, 원래 미분방정식의 해는 무수히 많음을 곱씹어 보아야 합니다. 그래서 일반해는 선형결합으로 쓰는 것이고요. 즉 기본해 집합의 원소가 2개 뿐임을, 해공간의 기저가 2개 뿐임을 보인다는 뜻입니다. 따라서 해공간의 기저가 무엇인지 모른다면 당장 이 포스팅은 큰 도움이 되지 않을 것이니, 선형대수학과 미분방정식에 관한 기본 내용을 점검하고 들어오는 것이 좋습니다.

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1. 2계 선형 상미분방정식의 해공간의 기저

 

정리($D.E$) 2.8
2계 선형 동차 상미분방정식
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$ 은 2개의 선형 독립인 해를 갖는다. 이 두 해는 해공간의 기저로 기능한다.

 

이 정리는 경험적으로 2계 선형 동차 상미분방정식을 여러번 풀면서 깨달을 수 있지만, 증명을 함으로서 $n$계에 대한 자연스런 직관적 확장이 가능하기 때문에 점검하고 간다고 생각하면 됩니다.

 

증명) 선형 독립인 해가 3개라고 해보자. 3개라고 하였을 때 모순이 발생한다는 사실을 이끌어내 귀류법으로 증명하고 이를 바탕으로 $n(\ge 3)$개가 될 수 없음을 보일 것이다.

$(1)$이 선형 독립인 3개의 해 $y_1,\, y_2, \,y_3$를 가진다고 가정하자. 이들 중 임의의 2개 $y_j,\,y_k$의 론스키안은 $W_{jk}=y_iy_k'-y_j'y_k$ 이고 이것을 미분하면 $W_{jk}'=y_jy_k''-y_j''y_k$ 이다.

$(1)$의 양변을 $y$로 나누고 $q(x)$를 넘겨 정리하면, $y_j,\,y_k$는 $(1)$의 두 해이므로

$$\frac{y_j''}{y_j}+p(x)\frac{y_j'}{y_j}=\frac{y_k''}{y_k}+p(x)\frac{y_k'}{y_k}=-q(x)$$
첫번째, 두번째 항에 $y_jy_k$를 곱하여 정리하면

$$\left( y_jy_k''-y_j''y_k \right)+p(x)\left( y_iy_k'-y_j'y_k \right)=0$$
$$\Rightarrow \;\; W_{jk}'=-p(x)W_{jk}$$

이를 이용해 3개 해에 대해 론스키안을 계산하자. 2행을 Minor(소행렬)로 잡아 여인수 전개를 통해 행렬식을 구하면

$$\begin{align*}
W=\begin{vmatrix}
y_1 &y_2  &y_3  \\
 y_1'& y_2' & y_3' \\
 y_1''&y_2'' & y_3''
\end{vmatrix}&=-y_1'W_{23}'+y_2'W_{13}'-y_3'W_{12}'\\\\&=p(x)\left( y_1'W_{23}-y_2'W_{13}+y_3'W_{12} \right)
\\\\&=-p(x)\begin{vmatrix}
y_1 &y_2  &y_3  \\
 y_1'& y_2' & y_3' \\
 y_1'&y_2' & y_3'
\end{vmatrix}\\\\&=0
\end{align*}$$
따라서 $W=0$ 이므로 세 해는 선형 종속이다. 즉 2계 동차 선형 상미분방정식은 최대 2개의 선형 독립인 해를 갖는다.