반응형 복소해석학(Complex Analysis)5 복소지수함수, 복소삼각함수(Complex exponential function and Trigonometric function) 복소수 범위에서 지수함수와 삼각함수를 어떻게 다루는지 살펴봅시다. 이 둘은 오일러 공식으로 인해 끈끈하게 연결되어 있습니다. 1. 오일러 공식 대학교의 모든 수학에서 오일러 공식은 언제나 기본입니다. 오일러 공식(Euler's formula) $$e^{\pm i\theta}=\cos\theta \pm i\sin\theta$$ 복소수 범위에서는 다음과 같이 약간 수정된다. $$e^z=e^{x\pm iy}=e^x\left( \cos y\pm i\sin y \right)$$ 복소수 $z$ 를 지수에 삽입하면 $x\pm iy$ 로 쪼개지고, 허수단위가 붙은 $y$ 부분만 오일러 공식으로 바꾸어 주면 됩니다. 2. 삼각함수 삼각함수는 지수함수로 바꾸어 쓸 수 있지요. 미적분학에서 배우는 내용인데 복소수 범위에서도.. 2022. 8. 4. 복소수의 극 형식(Polar form of complex number) 복소수를 복소평면에서 나타내는 기본적인 표현은 실수부분과 허수부분을 직교하는 축에 찍어내는 것입니다. 하지만 그보다 좀 더 범용적으로 쓰이면서 가치있는 표현법은 복소수를 극 형식으로 나타내는 것입니다. 이는 일종의 오일러 공식으로부터 가능한 표현이라고 볼 수 있으며, 삼각함수의 사인과 코사인을 직교기저로 사용할 수 있다는 선형대수학적 사고에도 기반을 두고 있습니다. 오일러 공식이 삼각함수와 허수를 든 지수함수를 연결지어 주는 셈이라고 볼 수 있습니다. 1. 복소수의 극 형식 1) 정의 오일러 공식(Euler's Fomula) $$e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$$ 을 활용하면, 복소평면에서 $x=\mathrm{Re}(z)=r\cos\theta \;\;,\;\; y=\.. 2022. 7. 17. 복소수의 거듭제곱근과 드 무아브르의 정리(Powers and Roots of Complex number and De Moivre's Theorem) 이번 시간에는 복소수의 거듭제곱과 거듭제곱근을 다루어 보겠습니다. 복소수 $z$를 $n$제곱 해보자. $$z^n=\left( re^{i\theta} \right)^n=r^n\left( \cos \theta +i\sin\theta \right)^n=r^n\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right)$$ 이 식을 '드 무아브르의 정리(De Moivre's Theorem)'이라고 한다. 반면 복소수 $z$ 에 $\displaystyle\frac{1}{n}$ 승을 취하면 $$z^{\frac{1}{n}}=\left( re^{i\theta} \right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{r}\left( \cos\frac{\theta}{n}+i\sin\frac{\theta}{n.. 2022. 3. 15. 복소수와 복소평면(Complex number and Complex plane) 복소수는 수 체계에서 가장 큰 범위에 속하는 수입니다. 한국 고등 교육 과정에서는 고등학교 1학년 때 허수와 함께 처음 배우게 됩니다. 그러니 결국 복소수를 배운다는 것은 기존에 우리가 다루고 있었던 실수에, 허수라는 것을 도입해 확장해 나간 것이라 생각하면 좋습니다. 허수는 흔히 가상의 수라고 불리고, 실재하지 않지만 수학적으로 도입한 것이라고 많은 사람들이 말하기는 하지만 수학을 조금 더 깊게 공부하다 보면 굉장히 많은 곳에서 등장한다는 사실을 알 수 있습니다. 정확히 말하면, 일상 생활에서 살아가면서 사용하는 수학에선 사실상 허수는 필요가 없으나 수학 영역의 공부를 하다 보면 필요합니다. 원래 수 체계는 자연을 해석하기 위해 인간이 도입한 것이니 수학적 정의를 만족하는 한 자연에 그 수가 존재하.. 2022. 3. 2. 함수와 사상은 어떻게 다른 것인가? (How different the function with the mapping?) 함수의 정의는 이미 앞에서 다룬 바 있습니다. 정의는 똑같은데 가리키는 두 용어가 등장합니다. 같은 용어라 생각할 수 있는데 실은 미세한 차이점이 있습니다. 함수라는 개념은 이미 '함수(function)'이라는 용어가 있는데 왜 또 '사상(mapping)'이라는 용어를 사용하는지 말입니다. 이것에 대한 의문은 선형대수학이나 복소해석학, 또는 다변수 미적분학(특히 중적분의 변수변환에서의 야코비안(Jacobian))을 하다 보면 조금씩 풀리기 시작합니다. 결론적으로 말하자면 고등학교나 미적분학에서 그렸던 실함수들은 단순히 도함수를 구하고, 부호를 따진 뒤 그래프를 그릴 수 있습니다. 그러나 실수 변수의 개수를 늘린다거나 복소해석을 가면, 더 이상 변수가 둘 뿐인 일반 함수의 그래프를 그릴 수 없게 됩니다. .. 2021. 1. 2. 이전 1 다음 반응형
