반응형 복소해석학(Complex Analysis)6 복소수 범위에서 로그함수와 지수표현(Complex logarithms and exponential representation) 이제 로그함수입니다. 실수만을 고려하다 복소수로 수 체계를 확장했을 때, 가장 까다로운 것이 바로 이 로그함수입니다. 아마도, 여러분들은 고등학교 수학에서 로그의 진수(argument)에는 항상 양수만이 들어갈 수 있음을 배웠습니다. 복소수에서는 그 규칙이 깨지며 진수에는 양수와 음수, 그리고 $i$ 를 포함한 식까지 전부 들어갈 수 있습니다. 다만 $0$ 이 들어갈 수는 없습니다. 아무튼 음수의 삽입을 허용하려면 아무래도 몇가지 규칙이 필요하겠지요? 그 때문에 약간 익숙하지 않을 수 있지만 아주 어려운 것은 결코 아니기에 또 한 번 열심히 달려가 봅시다.1. 복소수 범위에서 로그함수 1) 자연상수, 자연로그의 정확한 정의? 우선 몇가지 짚고 넘어갈 것이 있으니 이들을 살펴봅시다. 고등학교 수학에서 $\.. 2024. 7. 13. 복소지수함수, 복소삼각함수(Complex exponential function and Trigonometric function) 복소수 범위에서 지수함수와 삼각함수를 어떻게 다루는지 살펴봅시다. 이 둘은 오일러 공식으로 인해 끈끈하게 연결되어 있습니다.1. 오일러 공식 대학교의 모든 수학에서 오일러 공식은 언제나 기본입니다. 정리($C.N$) 1.7) 오일러 공식(Euler's formula)실수 각에 대하여 오일러 공식은 $$e^{\pm i\theta}=\cos\theta \pm i\sin\theta$$ 와 같다. 복소수 범위에서는 다음과 같이 약간 수정할 수 있다.$$e^z=e^{x\pm iy}=e^x\left( \cos y\pm i\sin y \right)$$ 복소수 $z$ 를 지수에 삽입하면 $x\pm iy$ 로 쪼개지고, 허수단위가 붙은 $y$ 부분만 오일러 공식으로 바꾸어 주면 됩니다.예제 1) $e^{2-i\pi}$ .. 2022. 8. 4. 복소수의 극 형식(Polar form of complex number) 복소수를 복소평면에서 나타내는 기본적인 표현은 실수부분과 허수부분을 직교하는 축에 찍어내는 것입니다. 하지만 그보다 좀 더 범용적으로 쓰이면서 가치있는 표현법은 복소수를 극 형식으로 나타내는 것입니다. 이는 일종의 오일러 공식으로부터 가능한 표현이라고 볼 수 있으며, 삼각함수의 사인과 코사인을 직교기저로 사용할 수 있다는 선형대수학적 사고에도 기반을 두고 있습니다. 오일러 공식이 삼각함수와 허수를 든 지수함수를 연결지어 주는 셈이라고 볼 수 있습니다.1. 복소수의 극 형식 1) 정의 정의($C.N$) 1-4) 복소수의 극 형식복소수 $z=x+yi$ 에 대응하는 복소평면상의 점 $(x,y)$ 의 극 좌표를 $(r,\theta)$ 라 하자. 그러면 $x=r\cos \theta $ 이고 $y=r\sin \th.. 2022. 7. 17. 복소수의 거듭제곱근과 드 무아브르의 정리(Powers and Roots of Complex number and De Moivre's Theorem) 이번 시간에는 복소수의 거듭제곱과 거듭제곱근을 다루어 보겠습니다. 약간 난이도가 올라가면서도 복소해석의 후반부에 등장하는 매우 중요한 적분 테크닉에 다시 등장할만큼 중요한 개념이고 이것 자체가 복소수가 갖는 유별난 특징이기 때문에 머리에 힘을 좀 주는 것이 필요합니다. 1. 복소수의 $n$ 제곱근 1) 드 무아브르의 정리 정리($C.N$) 1.4) 드 무아브르의 정리복소수 $z$ 를 $n$ 제곱 하면,$$z^n=\left( re^{i\theta} \right)^n=r^n\left( \cos \theta +i\sin\theta \right)^n=r^n\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right)$$ 을 얻는다. 여기서 $\left( \cos\theta+i\sin\theta \.. 2022. 3. 15. 복소수와 복소평면(Complex number and Complex plane) 복소수는 수 체계에서 가장 큰 범위에 속하는 수입니다. 한국 고등 교육 과정에서는 고등학교 1학년 때 허수와 함께 처음 배우게 됩니다. 그러니 결국 복소수를 배운다는 것은 기존에 우리가 다루고 있었던 실수에, 허수라는 것을 도입해 확장해 나간 것이라 생각하면 좋습니다. 허수는 흔히 가상의 수라고 불리고, 실재하지 않지만 수학적으로 도입한 것이라고 많은 사람들이 말하기는 하지만 수학을 조금 더 깊게 공부하다 보면 굉장히 많은 곳에서 등장한다는 사실을 알 수 있습니다. 정확히 말하면, 일상 생활에서 살아가면서 사용하는 수학에선 사실상 허수는 필요가 없으나 수학 영역의 공부를 하다 보면 필요합니다. 원래 수 체계는 자연을 해석하기 위해 인간이 도입한 것이니 수학적 정의를 만족하는 한 자연에 그 수가 존재하는.. 2022. 3. 2. 함수와 사상은 어떻게 다른 것인가? (How different the function with the mapping?) 이번 학습 카테고리는 복소해석학입니다. 복소해석학은 전반적인 여타 학부 과목에 비해서 어렵지 않은 편이고 해석학의 이름이 붙어 해석학을 아주 빠듯하게 알고 있어야 할 것처럼 보이지만 실상을 보면 그러한 수준은 아닙니다. 해석학에 비해 훨씬 쉬운 편이고, 미적분학 정도의 선수과목으로도 시작할 수있습니다. 하지만 응용 범위는 매우 막대하고 위력적이기 때문에, 공업수학이나 수리물리학에서 깊게 배우는 분야이기도 합니다. 그런데 복소수를 시작할 때 가장 먼저 전달하고 싶은 것이 있습니다. 정의는 거의 똑같아 보이는데, 서로 다른 두 용어가 등장합니다. 같은 용어라 생각할 수 있는데 실은 미세한 차이점이 있습니다. 바로 함수와 사상이라는 것인데, 함수라는 개념은 이미 '함수(function)'이라는 용어가 있는데 .. 2021. 1. 2. 이전 1 다음
