복소수는 수 체계에서 가장 큰 범위에 속하는 수입니다. 한국 고등 교육 과정에서는 고등학교 1학년 때 허수와 함께 처음 배우게 됩니다. 그러니 결국 복소수를 배운다는 것은 기존에 우리가 다루고 있었던 실수에, 허수라는 것을 도입해 확장해 나간 것이라 생각하면 좋습니다.
허수는 흔히 가상의 수라고 불리고, 실재하지 않지만 수학적으로 도입한 것이라고 많은 사람들이 말하기는 하지만 수학을 조금 더 깊게 공부하다 보면 굉장히 많은 곳에서 등장한다는 사실을 알 수 있습니다. 정확히 말하면, 일상 생활에서 살아가면서 사용하는 수학에선 사실상 허수는 필요가 없으나 수학 영역의 공부를 하다 보면 필요합니다. 원래 수 체계는 자연을 해석하기 위해 인간이 도입한 것이니 수학적 정의를 만족하는 한 자연에 그 수가 존재하는지, 존재하지 않는지를 따지는 것은 큰 의미가 없습니다. 그러니 이제부터는 복소수가 엄연히 정의할 수 있고, 수학적으로 다룰 수 있다는 사실을 인정하고 들어갑시다.
본 포스팅에서 복소수와 복소 평면은 고등 교육과정에서 등장하는 허수와 복소수에 대한 기초적 사실을 어느 정도 알고 있다는 것을 전제로 진행하도록 하겠습니다.
1. 복소수와 복소평면
1) 정의와 도입
복소수는 실수와 허수의 합의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 말합니다. 간단히 다음과 같이 나타냅니다.
정의($C.N$) 1-1) 복소수와 복소수집합
복소수 집합은 $\mathbb{C}$ 로 나타내며, 그 원소를 '복소수(Complex number)' 이라 부르고 그 꼴은
$$z=x+yi\;\;\;\mathrm{or}\;\;\;z=a-bi$$이다. 여기서 $x,\,a$ 는 '실수부분(Real part)'라 하고. $y,\,b$ 는 '허수부분(Imaginary part)'이라 부른다. 각각을 $\mathrm{Re}(z)\;,\;\mathrm{Im}(z)$ 라 표기한다. 둘은 모두 실수임에 유의하자.
실수부분과 허수부분은 모두 실수임에 유의해야 합니다. 허수부분도 실수에 해당하는 것입니다. (순)허수는 $i$ 에 해당합니다.
정리($C.N$) 1.1) 복소수의 기본 대수적 성질
① 합과 곱에 대한 교환법칙 : $z_1+z_2=z_2+z_1$, $z_1z_2=z_2z_1$
② 합과 곱에 대한 결합법칙 : $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$, $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$
③ 분배법칙 : $z(z_1+z_2)=zz_1+zz_2$
④ 항등원 : $z+0=0+z=z$, $z\cdot 1=1\cdot z=z$
⑤ 덧셈에 대한 역원 : $z+(-z)=0$
⑥ 곱셈에 대한 역원 : $z^{-1}=\left( \displaystyle \frac{x}{x^2+y^2},\displaystyle \frac{-y}{x^2+y^2} \right)$
⑦ 삼각부등식 : $\left| z_1+z_2 \right|\leq \left| z_1 \right|+\left| z_2 \right|$ , $\left| z_1-z_2 \right|\geq \left| \left| z_1 \right|-\left| z_2 \right| \right|$
기본적으로 복소수는 체(field) 입니다. 복소해석학을 위해 체론을 알아야 하는 것은 아니지만 복소수 집합은 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등원과 역원이 모두 존재한다는 점은 특별히 증명하지 않겠습니다.
예제 1) 복소수의 곱셉에 대한 역원이 $z^{-1}=\left( \displaystyle \frac{x}{x^2+y^2},\displaystyle \frac{-y}{x^2+y^2} \right)$ 와 같이 나타나는 까닭을 찾아라.
Sol) $zz^{-1}=1$ 을 만족하는 $z$ 의 역원 $z^{-1}$ 을 찾으면 된다. $z=(x,y)$ 이라 하고 $z^{-1}=(u,v)$ 라 하면 $(x,y)(u,v)=1+0\cdot i = (1,0)$ 이 성립해야 한다. 이를 풀어쓰면 $xu-yv=1$ 과 $yu+xv=0$ 이 된다. 이는 연립방정식이고 해를 구하면 $u=\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}$ 이고 $v=\displaystyle \frac{-y}{x^2+y^2}$ 을 얻는다. 단, 분모가 $0$ 이 되지 않아야 하므로 $z\neq 0$ 이다. $_\blacksquare$
예제 2) 두 복소수 $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ 에 대하여 $z_1z_2=0\;\;\Longleftrightarrow \;\; z_1=0\;\text{or}\;z_2=0$ 가 성립함을 보여라.
Sol) 귀류법을 사용하기 위해 $z_1z_2=0$ 이고 $z_1\neq 0$ 이라고 가정하자. 그러면 역원 $z_1^{-1}$ 이 존재하여
$$z_2=z_2\cdot 1=z_2(z_1^{-1}z_1)=(z_1^{-1}z_1)z_2 = z_1^{-1}(z_1z_2)=z_1{-1}\cdot 0=0$$
이 되어 모순이다. $_\blacksquare$
2) 복소수의 크기와 편각
정의($C.N$) 1-2) 복소수의 크기와 편각
'복소평면(Complex plane)'은 가로축에 실수 부분, 세로축에 허수 부분을 찍어 만들어낸 2차원 평면이다. 그러므로 점 $P(x,y)$ 는 $z=x+yi$ 를 복소평면에서 나타내는 점이다. 이 때 원점에서 점 $P$까지의 거리 $r$을 복소수의 크기 또는 '모듈러스(modulus)'라 부른다.
$$r=\mathrm{mod}\,z=\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}=z\overline{z}=zz^*$$ 또한 가로축과 가로축에서 원점 및 점 $P$ 사이를 잇는 직선이 이루는 각은 주어진 복소수 $z$의 '편각(argument)' 이라 한다.
정의($C.N$) 1-3) 켤레복소수
복수소 $z=x+iy$ 의 '켤레복소수(complex conjugate)'란 $\overline{z}$ 또는 $z^*$ 로 나타내고, 그 값은 $\overline{z}=z^*=x-yi$ 로 정의한다.
이러한 수들은 우리가 알던 일반 좌표평면과 다르게 점을 찍을 수 있습니다. 대수학적 관점에서 보면 실수부분과 허수부분은 기저입니다.
$\overline{z}$는 $z$의 켤레복소수(conjugate)를 가리키는 것으로 $z$의 켤레란 허수 부분의 부호만을 바꾼 것입니다. 고등학교 수학에 나오는 내용이니 따로 적진 않겠습니다. 또한 수학에서 켤레복소수는 주로 $\overline{z}$ 로 적으나 물리학에선 $z^*$ 로 많이 나타냅니다. 선형대수학에서 수반연산자는 $T^*$ 라 적고 $T^*=T$ 이면 '자기 수반(self adjoint)'라 적지만 물리학에선 수반연산자를 $T^{\dagger}$ 로 표기하고 $T^{\dagger}=T$ 를 '허미션 또는 에르미트(Hermitian)'라 쓰는 것과 유사합니다.
정리($C.N$) 1.2) 켤레복소수의 연산
① $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_2}\pm\overline{z_1}$ 이고 $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\overline{z_2}$
② $\overline{\left( \displaystyle \frac{z_1}{z_2} \right)}=\displaystyle \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
③ $z\overline{z}=\left| z \right|^2$
④ $\left| z_1\pm z_2 \right|^2=\left| z_1\right|^2\pm \mathrm{Re} (z_1\overline{z_2})+\left| z_2 \right|^2$
증명) ④만 증명해보자. 나머지는 매우 쉬워서 생략한다. $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ 라 하면
$$\begin{align*}
\left| z_1\pm z_2 \right|^2&=\left| (a\pm c)+(b\pm d)i \right|^2=(a\pm c)^2+(b\pm d)^2
\\\\&=\left( a^2+c^2 \right)+\left( b^2+d^2 \right)\pm 2(ac+bd)
\\\\&=\left| z_1 \right|^2+\left| z_2 \right|^2\pm 2\mathrm{Re} (z_1\overline{z_2})
\end{align*}$$
마지막에 $2\mathrm{Re} (z_1\overline{z_2})=2(ac+bd)$ 의 관계를 썼다. 이것이 성립하는 이유도 노가다를 통해 단순 계산하면 바로 알 수 있으니 생략한다. $_\blacksquare$
복소수의 크기와 편각 개념을 익히게 되면, 복소수로 도형을 나타내는 방정식을 건설할 수 있음을 알 수 있습니다.
예제 3) $\left| z-1+3i \right|=2$ 가 나타내는 도형이 무엇인가?
Sol) $z-1+3i=z-(1-3i)$ 와 같이 생각하면, 점 $(1,-3)$ 으로부터의 거리가 $2$ 에 해당하는 점 $(x,y)$ 의 집합임을 알 수 있다. 이것은 중심이 $(1,-3)$ 이고 반지름의 길이가 $2$ 인 원을 뜻한다. 일반적으로 $\left| z-z_o \right|=R$ 와 같은 식은 중심이 $z_0$ 이고 반지름이 $R$ 인 원의 방정식을 의미한다. $_\blacksquare$
[참고문헌]
Complex variables and applications, James Ward Brown & Ruel V. Churchill, 9e
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