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집합론(Set Theory)17

정렬정리(정렬원리)와 자연수의 정렬성(Well-ordering theorem, Well-ordering principle) 정렬정리, 정렬원리, 정렬이론 등으로 번역되는 이것은 선택공리를 통해 차례로 하우스도르프 극대원리, 초른의 보조정리를 유도했을 때 초른의 보조정리로부터 따라 나오는 결과입니다. 그리고 다시 정렬정리를 믿으면 선택공리를 도출할 수 있는 순환 관계를 완성할 수 있습니다. 집합론의 공리계에서 선택공리를 받아들였을 때 가장 믿기 난해한 정리가 바로 이 마지막 정렬정리에 해당합니다. 이것은 다른 정리와 유사하게 존재성만을 보장하기 때문에, 실제 그것이 예시로서 있는지 확인이 어렵기 때문입니다. 출발해 보도록 합시다. 1. 정렬집합 정의($S.T$) 5-8) 정렬집합(Well-ordered set) 전순서집합 $(A,\leq)$ 가 '정렬되었다(well-ordered)' 또는 '정렬집합(well-ordered se.. 2024. 2. 12.

초른의 보조정리(Zorn's lemma) 이번 글에서는 독일의 수학자 Max Zorn 에 의해 명명된 조른, 또른 초른의 보조정리를 다룹니다. 독일어로 읽으면 Zorn 은 '초른'에 가깝게 발음되고, 영어로 이르면 존슨 앤드 존슨 할 때 그 존슨이라고 읽게 됩니다. 초른의 보조정리는 선택공리나 하우스도르프 원리, 정렬이론에 비해서는 그나마 타 과목에서 활용도가 높다고 볼 수 있습니다. 넷 중 고학년 과목에서 가장 쓸 일이 많습니다. 그때마다 증명을 하지는 않고 집합론에서만 설명을 하니 증명까지는 아니더라도 내용은 기억할 가치가 있습니다. 이는 이 정리를 이용해서 여러가지 신비한 원리나 증명 불가능해 보였던 대상의 존재성을 규명할 수 있기 때문입니다. 심지어 양자역학에서는 파동함수를 표현하기 위해 선형대수의 언어를 사용하는데, 사실상 학부 수준의.. 2024. 2. 7.

하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximality principle) 이제 선택공리를 통해 하우스도르프 극대원리를 증명해 봅시다. 이 명제의 증명을 위해 필요한 개념과 보조정리가 있어서 그를 먼저 확인할 것입니다. 다만 이 보조정리는 사실상 집합론에서 가장 어려운 증명으로 손꼽아도 무리가 아닐 정도로 호흡도 길고 논리가 복잡합니다. 길이로 따지면 제가 블로그에서 한 여느 증명보다도 긴 것 같네요. 다만 이러한 복잡하고 긴 증명을 하지 않으려면 조금 더 고급 수학 과목의 지식을 가져와야 합니다. 집합론 수준에서는 이러한 증명이 최선이라 보시면 됩니다. 썸네일은 앞으로 유머삼아 만드려고 합니다. '하우스'가 꼭대기에 있음을 상징하는 그림입니다. 1. 허용가능함 정의($S.T$) 5-7) 허용가능함 어떤 $a\in A$ 를 생각하자. $B\subseteq A$ 인 집합 $B$가.. 2024. 2. 7.

선택공리(Axiom of Choice) 수학에서는 참인 명제를 바탕으로 다른 참인 명제를 연역논증을 통해 증명합니다. 얻게 된 새로운 명제들을 쌓아 올려 중요도가 높은 명제인 정리를 증명하기도 하고 다른 수학 분야와 연관성을 찾기도 합니다. 이러한 논증을 위해서는 누구나 모두 동일하는, 참이라는 명제가 기반으로서 필요합니다. 그러한 명제를 '공리'라고 합니다. 기하학의 공리에는 예컨대 '모든 직각은 합동이다'나 '선분을 확장하면 직선이 된다' 등이 있습니다. 이들은 수학을 하는 사람들이라면, 증명없이 참이라고 받아들이자는 것입니다. 집합론은 모든 수학 과목을 다룸에 있어 초석이 되는 집합이나 명제, 논리에 대한 공리를 만드는 틀을 다루는 과목입니다. 그렇기에 공리들을 계속 만들어가는데, 선택공리라는 것이 등장합니다. 선택공리는 ZFC 공리계의.. 2024. 2. 2.

집합론에서 유계, 상한, 하한, 극대, 극소 보통 유계, 상한, 하한과 같은 용어는 수열의 극한을 접하면서 미적분학에서 해석학에서 주로 사용되고, 극대와 극소 역시 함수의 극값에서 사용하는 용어이긴 하지만 집합론에서 부분순서집합에 대해서 사용되는 용어이기도 합니다. 이때 상계와 하계, 상한과 하한은 수열이나 함수에서의 사용하는 용어와 본질적으로도, 외적으로도 큰 차이가 없습니다. 그런데 극대 극소원소라는 개념은 함수의 그래프에서의 그것들과 약간 다른 점이 있습니다. 미적분학이나 해석학에서 극대나 극소는 국소적인 부분에서(local) 최대 또는 최소를 말하는데, 이 집합론에서의 극대와 극소는 어떤 국소적인 범위라기 보다는 최대·최소의 개념에 가깝습니다. 하지만 그렇다고 또 이 개념이 집합의 모든 원소에 대해서 순서가 최대이거나 최소라는 개념과는 또 .. 2024. 1. 28.

부분순서집합과 전순서집합(Partially ordered set, Total ordered set = chain) 집합론의 거의 마지막 챕터는 ZF공리계에 C, 즉 선택공리(Axiom of choice)를 도입하여 순서대로 하우스도르프 극대 원리(Hausdorff Maximality principle), 초른의 보조정리(Zorn's lemma), 정렬원리(Well-ordering theorem)를 증명 가능하고, 다시 정렬원리에서 선택공리로 들어온다는 것을 보임으로서 ZFC 공리계를 완성하는 작업에 대해 소개하고 있습니다. 집합론에는 여러 수리철학적인 주제들이 등장하는데, 그 중 빼놓을 수 없는 것이 바로 선택공리지요. ZFC 공리계는 연속체 가설과 무모순이라는 사실이 밝혀졌고, 괴델의 불완전성 정리에 의하면 ZFC 공리계라는 어떤 공리계 내에서 증명가능하지 않은 명제가 알려져 있음이 증명되었습니다. 그래서 ZFC .. 2023. 12. 20.

기수의 거듭제곱(Exponentiation of cardinal number) 이제 기수의 거듭제곱을 정의하려고 합니다. 거듭제곱이면 $b^a$ 와 같은 형태인데, 이는 $b$ 가 $a$ 번 곱해졌음을 뜻합니다. 그렇다면 기수가 $b^a$ 의 값을 가진다는 것은 어떤 뜻일까요? 1. 기수의 거듭제곱 정의($S.T$) 4-10) 기수의 거듭제곱 $a,b$ 가 기수이고 집합 $A$ 와 $B$ 의 기수가 각각 $a,b$ 라 하자. $a\neq 0$ 일 때, $B^A$ 는 $A$ 에서 $B$ 로 가는 모든 함수의 집합으로 정의하여 $B^A:=\left\{ f\mid f:A\rightarrow B \right\}$ 로 표기한다. 이때, 기수의 거듭제곱을 $b^a:=\left| B^A \right|=\left| \left\{ f\mid f:A\rightarrow B \right\} \righ.. 2023. 12. 17.

함수의 엄밀한 정의(Definition of function in Set theory) 중학교 수학에서 처음 정의하는 함수의 개념은 고등학교에서도 다시 한번 정의하고, 대학교에 와서도 사실상 거의 모든 수학 교과서에서 계속 정의를 설명하고 시작합니다. 중고교~미적분학 수준에서 일반적인 함수의 정의는 이미 여기에서 정의해 둔 적이 있습니다. 대학교 교과서를 보더라도 미적분학의 도입부에서, 집합론에 들어가서도, 그리고 그보다 고학년 과목의 도입부에서도 집합에 대한 설명은 언제나 빠지지 않는 편이지요. 요즘에는 함수가 무엇인지를 비유로 설명하는 방법도 많고, 함수란 무엇이다, 이렇게 다른 용어를 사용해서 보다 직관적인 이해를 돕기도 합니다. 대략적으로 여러분들도 '함수는 정의역의 모든 원소들을 각각 공역의 어떤 원소로 짝지어 보내는 규칙 내지는 대응'이라고 알고 있을 것입니다. 그래서 이 글을 .. 2023. 12. 15.

기수의 덧셈과 곱셈(Addition and product of cardinal number) 이제 기수끼리의 덧셈과 곱셈을 해보려고 합니다. 무한집합의 기수를 연산할 때는 실수의 덧셈과 곱셈과는 차이가 있다는 점을 주의해야 합니다. 오늘의 키워드는 '서로소'입니다. 1. 기수의 덧셈 정의($S.T$) 4-7) 기수의 덧셈(Addition of cardinality) $a,b$ 를 기수라 하자. 이때 두 기수의 합을 $a+b:=\left| A\cup B \right|$ 로 정의하고, 여기서 두 집합 $A,B$ 는 서로소이며 각각의 기수는 $\left| A \right|=a\;,\;\left| B \right|=b$ 이다. 그러니까 기수의 덧셈을 하려면 더하기 전 두 집합이 서로소여야 합니다. 주어진 두 기수 $a,b$ 에 대하여 이를 기수로 갖는 서로소인 두 집합을 반드시 택할 수 있다고 장담할 .. 2023. 11. 27.

칸토어의 정리(Cantor's Theorem) 여태까지 비가산집합의 예시를 몇 개 다루었는데, 실수보다 큰 기수를 갖는 무한집합을 보지는 못했습니다. 기수에 대한 기본적인 개념을 습득하면 이제 칸토어의 정리로 넘어갈 수 있고, 나중에 이를 활용해서 실수보다 더 큰 기수를 가지는 집합이 있는지를 확인해볼 수 있습니다. 1. 칸토어의 정리 정리($S.T$) 4.18) 칸토어의 정리(Cantor's Theorem) 다음 두 명제를 모두 칸토어의 정리라고 한다. 둘은 동치이다. ① 임의의 집합 $X$ 에 대해서, $X$ 의 기수는 $X$ 의 멱집합(=$X$ 의 모든 부분집합들을 원소로 같는 집합)의 기수보다 항상 작다. 즉, $$\left| X \right| < \left| \mathcal{P}(X) \right|=2^{\left| X \right|}$$ .. 2023. 11. 26.

집합의 기수와 칸토어-슈뢰더-베른슈타인 정리(Cardinal number of set and Cantor-Schröder-Bernstein Theorem) 이제 기수를 도입하여 무한집합 사이의 가산집합, 비가산집합에 대해 나눌 것이고, 가산집합의 가부번집합 중에서, 또 비가산집합들 중에서도 무한집합의 크기나 힘의 차이가 있는지를 알아볼 것입니다. 예를 들어 자연수 집합보다 작은 가부번집합이 있을까요? 실수 집합보다 큰 비가산집합이 있을까요? 유리수보다는 클 것 같고 실수보다는 작을 것 같은 무한집합이 있을까요? 이러한 답을 찾아보기 위해 기수라는 개념이 필요합니다. 1. 기수의 정의와 공리 정의($S.T$) 4-4) 기수의 공리 집합 $A$ 에 대한 '기수(cardinal number or cardinality)'는 다음의 공리를 만족시키는 수로 정의한다. A1) 모든 집합 $A$ 는 그 집합 자신에 부여되는 기수를 부여받고, $\mathrm{Card}A$.. 2023. 11. 26.

칸토어의 대각선 논법으로 실수가 비가부번집합임을 보이기(Real number is nondenumerable by using Cantor's diagonal method) 칸토어의 대각법은 수학에서 몇가지 중요한 정리들을 증명하는데 사용됩니다. 매우 참신한 아이디어라 이를 어떻게 떠올렸을지 참 신기한 생각이 많이 듭니다. 오늘은 칸토어의 대각법을 이용해서 실수 집합이 무한집합이며 가부번집합이 아님을 증명할 것입니다. 결과를 먼저 설명하면 여태까지 자연수, 정수, 유리수가 가부번집합임을 보였는데, 실수는 비가부번 즉 비가산집합이고, 무리수 집합 역시 그러합니다. 공교롭게도 이 수학 개념이 2024년 수능특강 독서의 과학/기술 2번째 지문으로 수록되어 있습니다. 수학적으로 증명을 하는 과정은 고등학생에게 대단한 도전이 될 수 있습니다. 그럼에도 제가 고등학생 수준으로 약간 눈높이를 낮추어 영상을 만든 것이 있습니다. 이곳을 참고하시기 바랍니다. 1. 실수는 비가산집합이다. 정.. 2023. 11. 25.

가부번집합과 가산집합(Denumerable and countable set) 무한집합에 대한 논의를 마쳤기 때문에 이제 본격적으로 집합의 원소를 어떻게 셀 지에 대해 연구해 보려고 합니다. 1. 집합의 대등 정의($S.T$) 4-2) 집합의 대등 두 집합 $X,Y$ 에 대하여 일대일대응 $f:X\rightarrow Y$ 가 존재할 때, $X$와 $Y$는 '대등(Equipotent)'하다고 하며 $X\sim Y$ 로 나타낸다. $f:X\rightarrow Y$ 에 대해 $X$ 와 $Y$ 가 대등하면, 간단히 $f:X\sim Y$ 로 표기한다. 일대일 대응을 만들 수 있는 두 집합 사이의 관계를 대등이라고 정의합니다. 예를 하나 들어보자면 $\mathbb{N}$ 과 $\mathbb{N}-\left\{ 1 \right\}$ 은 같은 집합이 아니지만, 일대일대응인 함수를 만들 수 있으므.. 2023. 11. 25.

유한집합과 무한집합(Finite and Infinite sets) 집합 $A$의 원소의 개수를 중고교 수학에서 $n(A)$ 라 표기합니다. 그리고 원소의 개수는 유한집합에 대해 셀 수 있다고 말합니다. 무언가의 개수를 셀 수 있다는 말을 하기 위해서는, 일단 개수에는 한계가 존재해야 하고, 정확히 몇 개인지 자연수를 통해서 나타내야 합니다. 예를 들어서 개수를 셀 때 3.5개나 $\sqrt{2}$ 개라는 표현은 좀처럼 사용하지 않습니다. 그러면 무한집합에 대해서는 어떠할까요? 무한집합의 원소의 개수는 셀 수 없는 것처럼 보입니다. 끝이 없기 때문이죠. 하지만 이러한 직관이 수학적으로 꼭 옳지 않을 수 있다는 사실에 대해 분석해 보려고 합니다. 예를 들어, 수직선에서 $[0,100]$을 생각해봅시다. 자연수의 개수와 정수의 개수는 분명이 셀 수 있고 유한합니다. 하지만 .. 2023. 11. 16.

동치관계와 동치류(Equivalence relation, equivalence class) 데카르트 곱을 정의하고 그로부터 관계를 정의한 뒤, 동치관계와 동치류에 대해 설명해 보겠습니다. 동치관계의 개념은 앞으로 고학년에서 다룰 모든 수학의 과목에서 빈번히 등장합니다. 동치류와 동치관계의 개념을 정확히 설명하기 전에 다음 글을 꼭 기억하시기 바랍니다. 직관적인 이해를 위해 제가 만든 것입니다. 1. 관계 정의($S.T$) 3-2) 관계(Relations) 집합 $A$에서 $B$로의 '관계(relations)'란 $\mathcal{R}$ 로 표기하고, 두 집합의 데카르트 곱 $A\times B$ 의 하나의 부분집합에 해당한다. 이때 순서쌍 $(a,b)\in \mathcal{R}$ 을 $a\mathcal{R} b$ 로 나타낸다. 이는 '$a$ 가 $b$ 와 $\mathcal{R}$ 의 관계가 있다.. 2023. 10. 15.

두 집합의 데카르트 곱(Cartesian product of two sets) 집합론에서 앞부분은 여러 집합의 종류(합집합, 교집합, 차집합, 여집합 등)을 수리 논리학에 입각하여 정의하고, 그들 사이에서 성립하는 몇가지 성질들을 연구합니다. 수리 논리는 일반적인 철학에서의 논리와 거의 유사하고, 집합에 관한 개념 대부분은 중고교 수학에서 등장하는 내용이니 큰 어려움이 없습니다. 그리고 나서 처음으로 부딪히는 진짜 대학교 수학 내용은 데카르트 곱에서 관계, 동치관계라 볼 수 있습니다. 동치관계와 동치류는 집합론에서 학습하면 끊임없이 이후 학부 과목에서 마주치게 되고 기이하고 신비한 수학적 성질을 탐구하는데 훌륭한 도구로 사용됩니다. 이 개념을 제대로 이해해 봅시다. 1. 두 집합의 데카르트 곱 데카르트곱은 관계를 정의하기 위해 필요한 개념이며, 더 이상 교집합, 합집합, 차집합처럼.. 2023. 10. 14.

함수의 기본 개념 정리 ▶ 여기서 설명하는 함수는 중고교 수준과 이를 넘어 대학교 미적분학 수준에서의 함수의 정의입니다. 이 글의 내용과 함수의 정의 수준 또한 논리적으로 전혀 문제가 없습니다. 하지만 만일 독자분이 다소 어렵더라도 엄밀한 정의를 알아보길 원하거나, 본격적으로 수학과에서 학습하는 집합론, 그리고 그 이상의 고난도 과목에서 다루는 엄밀한 함수의 정의를 알아보고 싶다면 이곳을 참고해 주시기 바랍니다. 1. 함수의 정의 두 집합 $X,Y$에 대하여 $X$의 각 원소 $x$에 $Y$의 유일한 원소 $f(x)$를 대응시키는 규칙을 $X$에서 $Y$로 가는 '함수(function)' 또는 '사상(mapping)'이라 하고, $f:X\rightarrow Y$ 로 표기한다. 이 때 $X$와 $Y$를 각각 $f$의 '정의역(d.. 2020. 12. 17.

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