초른의 보조정리(Zorn's lemma)

이번 글에서는 독일의 수학자 Max Zorn 에 의해 명명된 조른, 또른 초른의 보조정리를 다룹니다. 독일어로 읽으면 Zorn 은 '초른'에 가깝게 발음되고, 영어로 이르면 존슨 앤드 존슨 할 때 그 존슨이라고 읽게 됩니다. 초른의 보조정리는 선택공리나 하우스도르프 원리, 정렬이론에 비해서는 그나마 타 과목에서 활용도가 높다고 볼 수 있습니다. 넷 중 고학년 과목에서 가장 쓸 일이 많습니다. 그때마다 증명을 하지는 않고 집합론에서만 설명을 하니 증명까지는 아니더라도 내용은 기억할 가치가 있습니다. 이는 이 정리를 이용해서 여러가지 신비한 원리나 증명 불가능해 보였던 대상의 존재성을 규명할 수 있기 때문입니다.

 

심지어 양자역학에서는 파동함수를 표현하기 위해 선형대수의 언어를 사용하는데, 사실상 학부 수준의 선형대수뿐만 아니라 함수해석학의 개념이 등장하게 됩니다. 그래서 무한차원을 다루는 경우가 많은데 이때 이 정리도 불쑥 나타나서 특수한 궁금증을 해소시킬 수도 있답니다.

 

[그림 1] Zorn's 의 영어 발음은 존슨앤존슨과 발음이 같다.

 

여태까지 이어왔던 흐름을 살펴보면 초른의 보조정리를 유도하기 위해서는 상계와 극대의 개념이 필요하고, 선택공리를 받아들인 다음 하우스도르프 극대원리가 참임을 알고 있어야 합니다.

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1. 초른의 보조정리

 

정리($S.T$) 5.2) 초른의 보조정리
모든 사슬이 상계를 갖는 부분순서집합 $(A,\leq)$ 를 생각하자. 그러면 $A$ 는 극대원소를 갖는다.

증명) 부분순서집합 $(A,\leq)$ 의 모든 사슬들로 이루어진 집합족을 $\mathcal{T}$ 라 하자. 하우스도르프 극대원리에 따라 $(\mathcal{T},\subseteq)$ 는 극대원소를 갖고 이를 $B$ 라 하자. 가정에 따라 부분순서집합 $(A,\leq)$ 의 사슬이 상계를 갖고 이를 $u$ 라고 하면, $u$ 는 $B$ 의 상계이고, 보이고 싶은 것은 $u$ 가 $A$ 의 극대원소인 것이다.

만일 $x\geq u$ 인 $x\in A$ 가 존재하면, $B\cup \{ x\}$ 는 $(A,\leq)$ 의 여전히 사슬인 것은 자명한데 $B\subset B\cup \{ x\}$ 인 경우 $B$ 가 $\mathcal{T}$ 의 극대라는 사실에 모순이다. 그러므로 $x\in B$ 가 되어, $B\cup \{ x\} = B$ 즉 이미 $x\in B$ 인 것이다. 그러므로 $x\leq u$ 이다. 이로부터 $x=u$ 가 되므로 $u$ 는 $(A,\leq)$ 의 극대원소이다. $_\blacksquare$

 

 

초른의 보조정리가 의미하는 것은 다음과 같습니다. 우선 하우스도르프 극대원리에 의하면 부분순서집합 $(A,\leq)$ 에서 사슬들로 이루어진 집합 $\mathcal{T}$ 에 포함관계 $\subseteq$ 을 주면 $(\mathcal{T},\subseteq)$ 는 부분순서집합이 되고, 여기에는 극대원소가 된다는 것입니다. $(\mathcal{T},\subseteq)$ 에서 극대원소 $B$ 란, 모든 $A$ 의 원소를 포함하는 집합이 될 것입니다.

 

예를 들어 계속 예시로 들었던 부분순서집합 $(\mathcal{P}(X),\leq)$ 의 경우, 이들의 사슬로 이루어진 집합을 $\mathcal{T}$ 라 하였을 때 $\mathcal{T}$ 극대원소는 $B=\left\{ \emptyset,\left\{ a \right\},\left\{ b \right\} ,\left\{ a,b \right\}\right\}$ 가 됩니다. 이 $B$ 는 임의의 $\mathcal{T}$ 의 원소를 모두 부분집합 관계로 포함하기 때문입니다. 여기까지는 하우스도르프 극대원리의 내용입니다.

 

이때 $B$ 의 상계는 $\{ a,b\}$ 밖에 없죠? 이 상계에 해당하는 원소가 위의 증명에서 $u$ 에 해당하는 것이고, 추가로 $x\geq u$ 가 존재한다고 가정하는 순간 $x=u$ 의 가능성밖에 없어지기 때문에 $u$ 가 최소상계가 된다는 논리입니다. 그런데 이 최소상계 $u=\{ a,b\}$ 는 $\mathcal{P}(X)$ 의 입장에서 보면 $\mathcal{P}(X)$ 의 극대원소 입니다. 이건 이 글의 예제 1)의 5)에서 다룬 바 있습니다.

 

 

초른의 보조정리의 결과를 추후 고학년 과목에서 적용하는 경우가 있는데, 예를 들면 임의의 벡터공간은 반드시 기저를 갖는다는 것에 해당합니다. 임의의 벡터공간이니 벡터공간의 차원이 무한차원이어도 상관이 없다는 것이죠. 이 결과는 대학원 수학 과목이나 물리학에서 요긴하게 써먹을 수 있을텐데.. 곰곰히 생각해 보시면 좋을 것 같습니다.

 

 

 

[참고문헌]

You-Feng Lin, Shwu-Yeng T,Lin - Set thoery