반응형 전자기학(Electromagnetics)/정전기학12 전기쌍극자 모멘트의 뜻과 이에 의한 전기장과 퍼텐셜(Electric field and potential of Electric dipole) 전하량이 같고 부호가 다른 양전하와 음전하 두 전하의 쌍을 전기 쌍극자라고 부르는데, 물리와 화학에서 간간히 등장합니다. 물론 두 과목에서의 접근법이 다릅니다. 화학에서는 반데르발스 힘과 같은 분자간 힘과 더불어 영구 전기 쌍극자 모멘트를 갖는 분자들이 어떤 방향으로 쌍극자를 만들어서 편극되거나 전자가 치우친 방향이 어느 쪽인지 등을 알아내는 것에 관심이 있다면, 물리에서는 쌍극자가 만드는 전기장과 전위에 방점을 둡니다. 이처럼 전기쌍극자는 그 자체만으로도 만들어진 전기장과 퍼텐셜이 신비롭지만, 특히 다중극 전개를 함에 있어서 가장 중요한 역할을 수행하게 됩니다. 오늘 할 일은 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 퍼텐셜을 고민해 보는 것입니다. 1. 전기 쌍극자 1) 정의 크기가 같고 부호가 반대인 두 전하 .. 2022. 2. 21. 전자기학에서의 유일성 정리 (Uniqueness Theorem in Electromagenetics) 라플라스 방정식이 영역 내에 극값을 가지지 않고, 평균값의 성질을 갖는다는 특징을 저번 포스팅에서 밝혔습니다. 그런데 라플라스 방정식을 풀어 해를 정확히 정하려면 방정식 외에 경계조건(Boundary condition)이 주어져야 합니다. 유일성 정리(Uniqueness Theorem)은 라플라스 방정식에 적절한 경계조건이 주어지면 퍼텐셜을 하나의 값으로 완전히 정할 수 있다는 내용에 관한 정리입니다. 정리($E.M$) 2.3 The solution to Laplace's Eqaution in some volume $\mathcal{V}$ is uniquely determined of $V$(=potential) if specified on the boundary surface $S$. 어떤 부피영역 $.. 2021. 1. 19. 전위와 라플라스 방정식 (Electric potential and Laplace Equation) 전자기학에서는 특히 전위(V, potential)에 대한 라플라스 방정식을 풀 일이 허다합니다. 그것은 주어진 전하분포에 대해 그것이 만드는 전기장을 셈하고 싶기 때문입니다. 전위를 구하려면, 전기장의 정의 또는 가우스 법칙을 이용하여 전기장을 구하고 전기장과 전위의 관계식을 풀어내는 방법이 있고 추가적으로 라플라스 방정식이나 포아송 방정식이 있습니다. 앞선 두 방법을 여태까지 사용했으니, 이제부터 라플라스 방정식을 풀게 될 것입니다. 그런데 짚고 넘어가야 할 것이 바로 라플라스 방정식의 특징으로, 이 방정식의 해가 존재하는지 또 존재한다면 몇 개 존재하는지, 어떤 조건 하에서 존재하는지 등에 관한 것입니다. 이러한 결과를 고찰하는 문제들은 수학적으로 일반적인 상황에서 증명하는 것이 매우 어렵습니다... 2021. 1. 19. 도체 내부에서의 전기장 (Electric field inside of the Conductor) 도체, 반도체, 부도체는 물질을 전기 전도성에 따라 분류한 것이라 할 수 있습니다. 반도체는 2021년 현재에도 호황이며, 나아가 차세대에도 꾸준히 각광받을 기업의 강력한 기술이자, 보배입니다. 그러나 아쉽게도, 반도체의 과학적 원리를 정확히 이해하기 위해서는 전자기학을 넘어 양자역학이 필요합니다. 반도체를 배우기 위해서는 도체와 부도체(절연체)에 대한 이해가 필요한데, 그 중 가장 간단해서 먼저 배우는 것이 바로 도체입니다. 도체와 이것의 전기 전도성에 대해서는 그다지 열심히 설명하지 않더라도 이 글을 보고 계신 분들이라면 대략적으로 알 것이라 생각합니다. 도체는 기본적으로 열 및 전기 전도성이 뛰어나고, 원자 내부에만 속박되어 있지 않은 자유전자가 존재하며, 원자가 띠의 일부가 비어있어 이 공간에서 .. 2021. 1. 12. 점전하 분포의 에너지 (The Energy of a point charge distribution) 전위를 다루면서 점전하 1개에 대하여 이를 이동시킬 때 작용된 전기력, 혹은 외력에 의한 일의 크기를 전위와 연관시켜 나타낼 수 있음을 정리($E.M$) 1.11 에서 배웠습니다. 오늘은 이를 바탕으로 전하가 여러개 있을 때 전하를 움직이기 위한 일의 크기 및 에너지를 집중적으로 다루어 보겠습니다. 1. 흩어진 점전하 분포의 에너지 한 점전하를 다른 점전하들이 모여있는 곳에 끌고 오려면 얼마나 일을 해주어야 할 지 생각해봅시다. 위 그림처럼 $q_1, q_2, q_3$ 순서로 끌고 온다고 하였을 때, 맨 처음 $q_1$을 끌고 올 땐 아무 전하가 없으니 일이 필요하지 않은데, 두번째로 $q_2$ 를 끌고 올 때는 $q_1$ 의 영향을 받아서 $$W_2=q_2V_1(\mathbf{r}_2)=\frac{q_.. 2021. 1. 12. 전기장, 전위의 경계조건 (Boundary condition of $\mathbf{E}, V$) 전하가 존재하는 특정 면을 기준으로 물리량의 성질이 바뀔 때 흔히 경계조건이 어떻다고 말합니다. 전기장과 전위 역시 일정한 경계조건을 가지는데, 이를 통해 전하가 분포되어 있는 면을 지나갈 때 전기장과 전위가 어떻게 달라지는지 예측할 수 있게 됩니다. 1. 전기장의 수직성분 그림을 확인해봅시다. 어떤 면 위와 아래에 흐르는 전기장이 각각 붉은색의 $E_u, E_d$ 입니다. 그리고 그것들 각각의 수직성분만 뽑아내서 나타낸 것이 파란색의 $E_u^\perp ,E_d^\perp$ 입니다. 그림과 같이 면전하 $\sigma$ 를 지닌 면 위에 넓이가 $A$이고 두께가 $h$이며 윗면 법선벡터가 $+\hat{n}$ 인 가우스 면을 잡습니다. 두께 $h$의 절반은 면 위에 있고, 나머지 절반은 면 아래에 있습.. 2021. 1. 12. 전위, 전기 퍼텐셜 (Electric Potential) 중력과 달리 전기력에서의 퍼텐셜($\neq$퍼텐셜에너지)과 달리 다재다능한 친구로서 용도가 매우 넓습니다. 중력의 경우 중력퍼텐셜이란 개념은 편미분방정식을 풀거나 고전역학을 공부하지 않으면 배우지도 않을 뿐더러 전기 퍼텐셜만큼 쓸모있진 않습니다. 왜냐하면, 중력장(=중력가속도)은 지구나 태양같은 크기가 큰 물체 하나에 대해서 생기는 경우만을 보통 다루는데 이 지구나 태양의 질량은 고정적이므로, 중력장을 한 번 구하면 더 이상 구할 필요가 없기 때문입니다. 그렇다면 전기역학에서는 왜 퍼텐셜이 중요할까요? 이는 고전역학과 달리 아주 작은 세계의 전하들의 흐름을 관찰하는 것이라 이들이 만드는 전기장은 전하의 개수, 전자의 분포 등을 고려하면 매우 많은 경우의 수가 있습니다. 따라서 이들에 의한 전기장을 구한다.. 2021. 1. 8. 전기 퍼텐셜 에너지와 전기력이 한 일 (Work by Electric force and Electric Potential Energy) 전기장의 뜻과 발산 및 회전, 가우스 법칙을 거쳐 전기력이 보존력임을 분명히 밝혔습니다. 그렇다면 전기장이 보존 벡터장이므로 이에 대응되는 스칼라함수와 퍼텐셜에너지 개념을 자연스럽게 이끌어 낼 수 있습니다. 전기학에서 전기장의 스칼라함수는 전위(Electric potential)이고 대응되는 퍼텐셜에너지는 전기 퍼텐셜 에너지(Electric potential energy)라 부릅니다. 일의 개념과 섞어 이들을 낱낱이 분석해보도록 합시다. 오늘 할 내용은 전위(Electric potential)을 공부하기 위한 발판으로 삼으면 됩니다. 1. 전기 퍼텐셜 에너지 (Electric Potential Energy) 물리학의 '일'에서 가장 중요한 것, 가장 먼저 따져야 하는 것은 무엇일까요? 바로 일을 하는 '.. 2021. 1. 8. 전기장의 발산과 회전 (The Divergence and the Curl of Electric Field) 오늘은 미분연산자를 가지고 맥스웰 방정식의 첫번째, 두번째 식이기도 한 진공에서의 전기장의 발산과 회전을 셈해 볼 것입니다. 여기서부터는 각종 벡터 미적분에 관한 도구들을 적극적으로 활용하게 되며, 학부 전자기학 과목의 수준이라 일반물리학의 범위를 넘어섭니다. 1. 전기장의 발산 3차원에서 부피전하가 만드는 전기장에 관한 일반적인 식에 대해 발산을 계산해 봅시다. $$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\eta^2}\,\hat{\eta}\,d\tau' \\\\\\ \nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left ( \nabla \cdot \frac.. 2021. 1. 8. 가우스 법칙의 뜻과 미분꼴, 적분꼴 가우스 법칙 (Gauss's Law) 수학에 있어서만큼 천재성을 논할 때 언제나 빠지지 않는 요한 카를 프레드리히 가우스(1777~1855, Johann Carl Friedrich Gauss)는 수학공부를 하면서 잊을만 하면 등장하면 위대한 수학자입니다. 그가 발견해내고 증명한 수학적 도구들은 아직까지도 이공계 학생들에게 고통을 가하고 있으며, 동시에 훌륭한 무기가 되어주기도 합니다. 오늘의 주제는 가우스가 물리학 영역에서도 영향력을 발휘했는데, 그것은 바로 미적분이라는 도구로 자연의 대칭성을 표현한 가우스 법칙이며 이것의 이해가 목표입니다. 가우스 법칙은 계의 대칭적 성질을 이용해 전기장을 손쉽게 계산할수 있도록 해줍니다.이는 전자기학 전체에서 매우 중요하고 요긴하게 쓰일 뿐만 아니라 그 의미도 놀랍습니다. 수학적 도구를 쓰기는 하나 어렵.. 2021. 1. 7. 쿨롱의 법칙과 전기력, 전기장 (Coulomb's Law and Electric Force, Electric Field) 1784년 쿨롱(Charles Augustin de Coulomb, 1736-1806)은 비틀림 저울을 이용해서 대전 입자들 사이에 작용하는 힘을 연구합니다. 이 과정은 생각보다 많이 어렵지는 않아서 대학 1학년 일반 물리학 실험에서 다들 한 번쯤 해보게 되는데, 쿨롱은 이 결과가 점전하들 사이에 대해서 작용하는 힘은 인력(attractive force)과 척력(repulsive force) 두 종류가 있고, 힘의 크기는 두 전하의 전하량 곱과 거리의 제곱에 반비례한다는 사실을 알게 됩니다. 정리($E.M$) 1.1 [쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)] 두 점전하 $q,Q$ 사이의 거리가 $\boldsymbol{\eta}$ 일 때 이들이 서로에게 작용하는 힘은 두 전하들의 곱에 비례하고 그들 사이 .. 2021. 1. 3. 전자기학에서 쓰이는 분리벡터와 좌표계 1. INTRODUCTION 전기와 자기를 연구하는 전자기학은 거시세계와 미시세계를 왕복하며 고전역학과 양자역학 사이의 다리를 잇는 역할을 하면서도, 인간에 의해 거의 완벽히 정립된 이론에 속하며 현대 사회에서 단연코 가장 많이 쓰인다고 할 수 있을 정도로 우리 주변에서 지대한 영향을 미치고 있는 현상들과 밀접한 끈을 유지하고 있습니다. 대한민국 고교 과정의 물리1, 물리2에서 전자기학이 빠진 적이 없을 정도로 어느 정도 정성적인 접근이 가능한 분야이지만 앞으로 마주할 전자기학의 대부분은 수학으로 기술하게 됩니다. 전자기학에서 그 유명한 맥스웰 방정식 조차 미적분에 관련된 식으로 깔끔히 정리됩니다. 수학과 달리, 물리학은 대부분의 경우 수식 없이 글(소통에 사용되는 언어)로도 의미를 표현하는 가능.. 2021. 1. 3. 이전 1 다음 반응형
