전위, 전기 퍼텐셜 (Electric Potential)

중력과 달리 전기력에서의 퍼텐셜($\neq$퍼텐셜에너지)과 달리 다재다능한 친구로서 용도가 매우 넓습니다. 중력의 경우 중력퍼텐셜이란 개념은 편미분방정식을 풀거나 고전역학을 공부하지 않으면 배우지도 않을 뿐더러 전기 퍼텐셜만큼 쓸모있진 않습니다. 왜냐하면, 중력장(=중력가속도)은 지구나 태양같은 크기가 큰 물체 하나에 대해서 생기는 경우만을 보통 다루는데 이 지구나 태양의 질량은 고정적이므로, 중력장을 한 번 구하면 더 이상 구할 필요가 없기 때문입니다.

 

그렇다면 전기역학에서는 왜 퍼텐셜이 중요할까요? 이는 고전역학과 달리 아주 작은 세계의 전하들의 흐름을 관찰하는 것이라 이들이 만드는 전기장은 전하의 개수, 전자의 분포 등을 고려하면 매우 많은 경우의 수가 있습니다. 따라서 이들에 의한 전기장을 구한다는 것이 쉬운 일이 아닙니다. 그런데 전위를 이용하면 전기장을 셈하기 간편하기에 전기장 전위를 애용하는 것입니다. 게다가 전기장은 벡터지만, 전위는 스칼라이므로, 아무래도 스칼라의 연산이 훨씬 간편할 것이라는 예상도 해볼 수 있습니다.

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1. 전위의 정의

 

1) 정의

 

전위, 전기 퍼텐셜(Electric Potential)은 다음과 같이 정의한다.
$$V=-\int_{O}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$$ 여기서 적분의 아래끝 $O$는 전위의 기준점이며 무한히 먼 곳으로 $V=0$ 이 되는 지점이다.

 

전위는 앞으로 그 자체의 표현 혹은 전기 퍼텐셜 또는 더욱 간단히 퍼텐셜이라고 지칭할 것입니다. 

 

 

2) 정의에 관한 의문

 

전위의 정의는 몇가지 의문이 들만한 특이한 점들이 있습니다. 이를 살펴봅시다.

 

 

① 왜 저런 이상한 적분으로 정의하는가?

 

전위가 도입된 까닭은 이러합니다. 전기력은 보존력이고 전기장의 회전은 0인데, 닫힌 곡선을 따라 전기장을 선적분한 값이 0이라는 뜻으로 보존력의 개념을 떠올려보면 전기장은 보존장이라 어떤 스칼라함수의 그래디언트로 표현될 것임을 알 수 있습니다. 이 스칼라 함수를 '전위(電位)'라 부르는데, 단순히 스칼라의 역할만 하는 것이 아니라 물리적 의미를 파헤쳐 보니까 '전기적 위치에너지, 전기퍼텐셜(Electric potential)' 이란 뜻을 가지고 있어서 이의 준말이 바로 전위입니다.

 

이를 증명해 봅시다. 위 박스 내용만 봐서는 전위가 전기장의 스칼라함수라는 사실을 전혀 알 수 없습니다. 그러나 다음과 같이 두 지점에 대해 전위차를 셈하면

 

$$\left \{ V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a}) \right \}=-\int_{O}^{\mathbf{b}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
+\int_{O}^{\mathbf{a}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
=-\int_{O}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
-\int_{\mathbf{a}}^{O}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}
=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\;\;\;\cdots \;\;\;(2)$$

 

근데 두 지점 사이의 전위차는 선적분의 기본정리로 깔끔히 표현할 수 있죠?

 

$$V(\mathbf{b})-V(\mathbf{a})=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\left ( \nabla V \right )\cdot d\mathbf{l}\;\;\;\cdots \;\;\;(1)$$

 

그러므로 $(1)=(2)$ 로부터 다음의 관계성을 기억해야 합니다.

 

정리($E.M$) 1.12

전기장과 전위는 보존장과 스칼라함수 사이의 관계로, 다음과 같다.
$$\mathbf{E}=-\nabla V\;\; \Rightarrow \;\;
\mathbf{E}=E_x\mathbf{i}+E_y\mathbf{j}+E_z\mathbf{k}=\frac{\partial V}{\partial x}\mathbf{i}
+\frac{\partial V}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\mathbf{k}$$

 

즉 전위를 박스처럼 정의하면 후술할 다양한 전기적 성질을 보유할 뿐 아니라 전기장의 스칼라함수라는 기가 막힌 연관성을 토해내는 것입니다.

 

 

② 음의 부호는 왜 필요한가?

 

음의 부호를 도입하는 것이 일반적으로 통용되는 이유는 첫째로 힘과 퍼텐셜에너지의 관계 때문이고, 둘째로는 양전하의 전위를 양수로 만드는 것이 편리하기 때문입니다.

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첫번째 내용이란, 보존력이 일을 하면 퍼텐셜에너지가 감소하기 때문에 보존력과 퍼텐셜에너지 사이의 관계는 음의 부호를 붙여주어야 합니다.

 

$$\mathbf{F}=-\nabla U$$

 

전기력 또한 보존력이기 때문에 전기력과 퍼텐셜에너지의 관계에도 음의 부호가 들어가는 것이고, 양변을 $q$로 나누었을 때 전기장과 퍼텐셜의 관계가 나옵니다. 이로부터 음의 부호를 반영해 정의식에 삽입한 것입니다.

 

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}\;\;,\;\;U=qV\;\;\Rightarrow \;\; \mathbf{E}=-\nabla V $$

 

만약 음의 부호를 쓰지 않는다면, 에너지나 힘의 관계에서 한 쪽이 증가할 때 다른 한쪽이 증가하는지, 감소하는지는 알려주지 않는 식이 되고 단지 보존장과 스칼라함수의 관계만 갖는다는 내용 정도를 알려주는 식에 그치는 셈입니다.

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그리고 두번째 내용, 즉 양전하의 전위를 양수로 만든다는 것은 원점에 있는 점전하가 만드는 전위를 계산해보면 쉽게 알 수 있습니다.

 

$$V(\mathbf{r})=-\int_{O}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\int_{\infty}^{\mathbf{r}}
\frac{1}{r'^2}\,dr'=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r}>0$$

 

 

3) 전압

 

퍼텐셜은 단순 그 값도 중요하지만 두 퍼텐셜의 차이가 유용하게 쓰이지요. 그것이 바로 전위의 차이며 '전압(Voltage)'라 불리는 양입니다. 전위의 표기는 $V$로 쓰고 전압은 전위차이므로 $\Delta V$ 로 표기합니다. 그러나 전위차를 셈할 때 한 전위가 0(=기준)이고 다른 한 전위가 $V$라면 전위차도 $V$라 쓰는 경우가 많습니다.

 

 

4) 전위의 성질

 

정리($E.M$) 1.13

① 전위는 단위 전하의 전기적 위치에너지 
$$V=\frac{U}{q}=\frac{W}{q}$$ 를 뜻한다. 여기서 $W$는 외력이 한 일이다.

② 전위가 같은 지점을 이은 선을 등전위선, 면을 등전위면이라고 한다.

③ 전위차는 기준점을 어떻게 잡더라도 똑같다. 예컨대 $V'(\mathbf{r})=V(\mathbf{r})+k=-\displaystyle\int_{O}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$ 이라 한다면 $V'(b)-V'(a)=V(b)-V(a)\;\;,\;\;\nabla V'=\nabla V$ 이다.

④ 전위는 중첩원리를 따른다. 즉 $V=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}V_i= V_1+V_2+\cdots +V_n$ 이 성립한다.

⑤ 전위의 단위는 '볼트(Volt)'를 쓴다. $\left [ \mathrm{N\cdot m/C} \right ]=\left [ \mathrm{J/C} \right ]=\left [ \mathrm{V} \right ]$

 

 

5) 등전위면

 

등전위면 또는 등전위선은 전위가 같은 면 또는 선을 연결한 선입니다. 2차원에서는 등전위선이 존재하고, 3차원 그림으로 나타내면 등전위면이 존재한다고 할 수 있지요.

 

[그림 1] 등전위선과 등전위면

 

미적분학에서 배웠듯이, 어떤 스칼라 함수의 그래디언트는 그 스칼라 함수와 수직이라는 관계를 가집니다. 그래서 등전

위면을 보면 알 수 있는데 전기장을 나타내는 전기력선은 반드시 등전위면에 수직입니다.

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2. 전위로 표현한 Gauss 법칙

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가우스 법칙은 전기장 E에 관한 식으로 썼는데, E와 V의 관계를 고려하면 가우스 법칙을 전위에 관한 식으로도 쓸 수 있습니다.

 

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}=\nabla \cdot (\nabla V)=-\nabla^2 V $$

 

음의 부호를 넘겨서 정리하면 '포아송 방정식(poissons' equation)' 과 '라플라스 방정식(Laplace equation)' 을 얻습니다.

 

$$\nabla^2 V=-\frac{\rho}{\epsilon_0} \;\;\;(\mathrm{Poisson's \;Equation}) \\\\\\
\nabla^2 V=0 \;\;\;(\mathrm{Laplace \;Equation})$$

 

포아송 방정식은, 전하밀도 ρ를 알고 있을 때 전위 V를 알아내기 위해 세우는 방정식입니다.

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이보다 더 중요한 라플라스 방정식은, 어떤 원천전하가 만들어내는 전기적 효과를 그 주위에서 알고 싶을 때 원천전하가 놓여 있지 않은 주위의 어떤 지점을 선택해, 그곳에는 전하가 없어서 전하밀도(=포아송 방정식의 우변 분자)가 0이기에 우변이 0이다, 이렇게 식을 두고 푸는 방정식에 해당합니다. 추후 변수분리법을 이용해 무진장 많이 접하게 될 것입니다.

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3. 여러가지 분포에 의한 전위

이산적으로 전하 무리가 떨어져 있을 때, 이들이 만드는 전위는 중첩원리를 써서 구할 수 있습니다. 일반적인 점전하에 의한 전위는

 

$$V(\mathbf{r})=-\int_{O}^{\mathbf{r}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\eta}$$

 

중첩원리를 쓰면,

 

정리($E.M$) 1.14

이산적(Discrete)으로 떨어져 있는 점전하들이 만드는 전기장의 공식은
$$V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{\eta_i} $$

 

 

연속분포일 때는 면전하밀도, 선전하밀도, 부피전하밀도를 이용해 다음과 같이 적분식을 세울 수 있습니다.

 

정리($E.M$) 1.15

연속 분포 전하에 의한 전위
$$V(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{1}{\eta}\,dq$$
① 선전하에 의한 전위
$$V(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\lambda(\mathbf{r}')}{\eta}\,dl'$$
② 면전하에 의한 전위
$$V(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\sigma(\mathbf{r}')}{\eta}\,da'$$
③ 부피전하에 의한 전위
$$V(\mathbf{r})=\displaystyle\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \,\frac{\rho(\mathbf{r}')}{\eta}\,d\tau'$$

 

 

 

[참고문헌]
David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e

University Physics with Modern Physics, Pearson, Hugh D. Young, Roger A. Freedman