전기장, 전위의 경계조건 (Boundary condition of $\mathbf{E}, V$)

전하가 존재하는 특정 면을 기준으로 물리량의 성질이 바뀔 때 흔히 경계조건이 어떻다고 말합니다. 전기장과 전위 역시 일정한 경계조건을 가지는데, 이를 통해 전하가 분포되어 있는 면을 지나갈 때 전기장과 전위가 어떻게 달라지는지 예측할 수 있게 됩니다.

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1. 전기장의 수직성분

[그림 1] 전기장의 경계조건 그림

 

그림을 확인해봅시다. 어떤 면 위와 아래에 흐르는 전기장이 각각 붉은색의 $E_u, E_d$ 입니다. 그리고 그것들 각각의 수직성분만 뽑아내서 나타낸 것이 파란색의 $E_u^\perp ,E_d^\perp$ 입니다.

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그림과 같이 면전하 $\sigma$ 를 지닌 면 위에 넓이가 $A$이고 두께가 $h$이며 윗면 법선벡터가 $+\hat{n}$ 인 가우스 면을 잡습니다. 두께 $h$의 절반은 면 위에 있고, 나머지 절반은 면 아래에 있습니다. 그리하여 아래의 법선벡터는 $-\hat{n}$ 이 됩니다. 가우스 법칙을 사용하면

 

$$\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\frac{q_{\mathrm{enc}}}{\epsilon_0}=\frac{\sigma A}{\epsilon_0}$$

 

좌변은 따로 계산을 해주어야 하는데, 여기서 높이$h\rightarrow 0$ 의 극한을 잡게 되면 가우스 면 내부의 전하는 경계면의 위, 아래 표면 전하 밀도에 의한 전하만 남게 됩니다. 왜 높이가 0으로 가느냐? 라고 묻는다면 우리는 경계면에서 아주작은 양수만큼 위쪽, 아래쪽으로 나아가 그 둘의 차이를 보고 싶은 것이 목적이기 때문입니다. 즉 경계면을 지나는 그 찰나의 순간의 물리적 차이를 관찰하고 싶기 때문이죠. 그러면 선적분을 계산하였을 때

 

$$\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\left ( \mathbf{E}_u\cdot \hat{n}-
\mathbf{E}_d\cdot \hat{n} \right )A\;\;,\;\;\therefore \;\; \mathbf{E}_u^n-\mathbf{E}_d^n
=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$$

 

여기서 윗첨자 $\hat{n}$ 은 수직성분(normal) 이라는 뜻입니다.

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2. 전기장의 평행성분

[그림 2] 전기장의 평행성분

 

이번에는 선적분을 하기 위해 고리 모양의 경로를 잡습니다. 고리의 높이 $h$는 전하가 존재하는 면과 수직을 이루고 있으며 가로 길이가 $l$ 입니다. 마찬가지로 면 위쪽과 아래쪽의 전기장은 붉은색의 $\mathbf{E}_u,\mathbf{E}_d$ 이고 각각의 평행성분을 파란색으로 나타냈습니다. $t$ 라는 단위벡터는 경계면에 접하는 벡터입니다.

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정전기학에서 전기장은 보존 벡터장임으로, 회전(curl)의 값은 0입니다. 따라서

 

$$\nabla \times \mathbf{E}=0\;\;\mathrm{and}\;\;\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$$

 

위에서 했던 것과 마찬가지로 $\rightarrow 0$ 의 극한을 취하게 되면 가로 성분만 선적분에 기여하니

 

$$\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\left ( \mathbf{E}_u\cdot \hat{t}-
\mathbf{E}_d\cdot \hat{t} \right )l\;\;,\;\;\therefore \;\; \mathbf{E}_u^p-\mathbf{E}_d^p
=0$$

 

위첨자 $p$ 는 평행성분(parallel)을 뜻합니다.

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3. 전위는 연속적이다.

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전기장과 반대로 전위는 경계면을 지나도 달라지지 않습니다. 경계면을 옆에서 직선처럼 보이도록 시야를 바꾸고 그에 수직한 방향으로 선적분 경로를 잡습니다.

 

[그림 3]

 

$$V_u-V_d=-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$$

 

인데, $l\rightarrow 0$ 이 되면 $-\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{E}=0$ 이므로

 

$$V_u=V_d$$

 

위 결과들을 종합하면 다음과 같습니다.

 

정리($E.M$) 1.16

전기장과 전위의 경계조건은 다음과 같다.

$$\left\{\begin{matrix}
\mathbf{E}_u-\mathbf{E}_d=-\nabla V_u+\nabla V_d=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_0}\\\\ 
\displaystyle\frac{\partial V_u}{\partial n}-\frac{\partial V_d}{\partial n}=-\frac{\sigma}{\epsilon_0}
\end{matrix}\right.
\;\;\;\;\Rightarrow \;\; \frac{\partial V}{\partial n}=\nabla V\cdot \hat{n}$$

 

 

[참고문헌]

David Griffiths - Introduction to Electrodynamics, 4e