반응형 집합론(Set Theory)/관계와 함수4 함수의 엄밀한 정의(Definition of function in Set theory) 중학교 수학에서 처음 정의하는 함수의 개념은 고등학교에서도 다시 한번 정의하고, 대학교에 와서도 사실상 거의 모든 수학 교과서에서 계속 정의를 설명하고 시작합니다. 중고교~미적분학 수준에서 일반적인 함수의 정의는 이미 여기에서 정의해 둔 적이 있습니다. 대학교 교과서를 보더라도 미적분학의 도입부에서, 집합론에 들어가서도, 그리고 그보다 고학년 과목의 도입부에서도 집합에 대한 설명은 언제나 빠지지 않는 편이지요. 요즘에는 함수가 무엇인지를 비유로 설명하는 방법도 많고, 함수란 무엇이다, 이렇게 다른 용어를 사용해서 보다 직관적인 이해를 돕기도 합니다. 대략적으로 여러분들도 '함수는 정의역의 모든 원소들을 각각 공역의 어떤 원소로 짝지어 보내는 규칙 내지는 대응'이라고 알고 있을 것입니다. 그래서 이 글을 .. 2023. 12. 15. 동치관계와 동치류(Equivalence relation, equivalence class) 데카르트 곱을 정의하고 그로부터 관계를 정의한 뒤, 동치관계와 동치류에 대해 설명해 보겠습니다. 동치관계의 개념은 앞으로 고학년에서 다룰 모든 수학의 과목에서 빈번히 등장합니다. 동치류와 동치관계의 개념을 정확히 설명하기 전에 다음 글을 꼭 기억하시기 바랍니다. 직관적인 이해를 위해 제가 만든 것입니다. 1. 관계 정의($S.T$) 3-2) 관계(Relations) 집합 $A$에서 $B$로의 '관계(relations)'란 $\mathcal{R}$ 로 표기하고, 두 집합의 데카르트 곱 $A\times B$ 의 하나의 부분집합에 해당한다. 이때 순서쌍 $(a,b)\in \mathcal{R}$ 을 $a\mathcal{R} b$ 로 나타낸다. 이는 '$a$ 가 $b$ 와 $\mathcal{R}$ 의 관계가 있다.. 2023. 10. 15. 두 집합의 데카르트 곱(Cartesian product of two sets) 집합론에서 앞부분은 여러 집합의 종류(합집합, 교집합, 차집합, 여집합 등)을 수리 논리학에 입각하여 정의하고, 그들 사이에서 성립하는 몇가지 성질들을 연구합니다. 수리 논리는 일반적인 철학에서의 논리와 거의 유사하고, 집합에 관한 개념 대부분은 중고교 수학에서 등장하는 내용이니 큰 어려움이 없습니다. 그리고 나서 처음으로 부딪히는 진짜 대학교 수학 내용은 데카르트 곱에서 관계, 동치관계라 볼 수 있습니다. 동치관계와 동치류는 집합론에서 학습하면 끊임없이 이후 학부 과목에서 마주치게 되고 기이하고 신비한 수학적 성질을 탐구하는데 훌륭한 도구로 사용됩니다. 이 개념을 제대로 이해해 봅시다. 1. 두 집합의 데카르트 곱 데카르트곱은 관계를 정의하기 위해 필요한 개념이며, 더 이상 교집합, 합집합, 차집합처럼.. 2023. 10. 14. 함수의 기본 개념 정리 ▶ 여기서 설명하는 함수는 중고교 수준과 이를 넘어 대학교 미적분학 수준에서의 함수의 정의입니다. 이 글의 내용과 함수의 정의 수준 또한 논리적으로 전혀 문제가 없습니다. 하지만 만일 독자분이 다소 어렵더라도 엄밀한 정의를 알아보길 원하거나, 본격적으로 수학과에서 학습하는 집합론, 그리고 그 이상의 고난도 과목에서 다루는 엄밀한 함수의 정의를 알아보고 싶다면 이곳을 참고해 주시기 바랍니다. 1. 함수의 정의 두 집합 $X,Y$에 대하여 $X$의 각 원소 $x$에 $Y$의 유일한 원소 $f(x)$를 대응시키는 규칙을 $X$에서 $Y$로 가는 '함수(function)' 또는 '사상(mapping)'이라 하고, $f:X\rightarrow Y$ 로 표기한다. 이 때 $X$와 $Y$를 각각 $f$의 '정의역(d.. 2020. 12. 17. 이전 1 다음 반응형
