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집합론(Set Theory)/공리계6

정렬정리(정렬원리)와 자연수의 정렬성(Well-ordering theorem, Well-ordering principle) 정렬정리, 정렬원리, 정렬이론 등으로 번역되는 이것은 선택공리를 통해 차례로 하우스도르프 극대원리, 초른의 보조정리를 유도했을 때 초른의 보조정리로부터 따라 나오는 결과입니다. 그리고 다시 정렬정리를 믿으면 선택공리를 도출할 수 있는 순환 관계를 완성할 수 있습니다. 집합론의 공리계에서 선택공리를 받아들였을 때 가장 믿기 난해한 정리가 바로 이 마지막 정렬정리에 해당합니다. 이것은 다른 정리와 유사하게 존재성만을 보장하기 때문에, 실제 그것이 예시로서 있는지 확인이 어렵기 때문입니다. 출발해 보도록 합시다. 1. 정렬집합 정의($S.T$) 5-8) 정렬집합(Well-ordered set) 전순서집합 $(A,\leq)$ 가 '정렬되었다(well-ordered)' 또는 '정렬집합(well-ordered se.. 2024. 2. 12.
초른의 보조정리(Zorn's lemma) 이번 글에서는 독일의 수학자 Max Zorn 에 의해 명명된 조른, 또른 초른의 보조정리를 다룹니다. 독일어로 읽으면 Zorn 은 '초른'에 가깝게 발음되고, 영어로 이르면 존슨 앤드 존슨 할 때 그 존슨이라고 읽게 됩니다. 초른의 보조정리는 선택공리나 하우스도르프 원리, 정렬이론에 비해서는 그나마 타 과목에서 활용도가 높다고 볼 수 있습니다. 넷 중 고학년 과목에서 가장 쓸 일이 많습니다. 그때마다 증명을 하지는 않고 집합론에서만 설명을 하니 증명까지는 아니더라도 내용은 기억할 가치가 있습니다. 이는 이 정리를 이용해서 여러가지 신비한 원리나 증명 불가능해 보였던 대상의 존재성을 규명할 수 있기 때문입니다. 심지어 양자역학에서는 파동함수를 표현하기 위해 선형대수의 언어를 사용하는데, 사실상 학부 수준의.. 2024. 2. 7.
하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximality principle) 이제 선택공리를 통해 하우스도르프 극대원리를 증명해 봅시다. 이 명제의 증명을 위해 필요한 개념과 보조정리가 있어서 그를 먼저 확인할 것입니다. 다만 이 보조정리는 사실상 집합론에서 가장 어려운 증명으로 손꼽아도 무리가 아닐 정도로 호흡도 길고 논리가 복잡합니다. 길이로 따지면 제가 블로그에서 한 여느 증명보다도 긴 것 같네요. 다만 이러한 복잡하고 긴 증명을 하지 않으려면 조금 더 고급 수학 과목의 지식을 가져와야 합니다. 집합론 수준에서는 이러한 증명이 최선이라 보시면 됩니다. 썸네일은 앞으로 유머삼아 만드려고 합니다. '하우스'가 꼭대기에 있음을 상징하는 그림입니다. 1. 허용가능함 정의($S.T$) 5-7) 허용가능함 어떤 $a\in A$ 를 생각하자. $B\subseteq A$ 인 집합 $B$가.. 2024. 2. 7.
선택공리(Axiom of Choice) 수학에서는 참인 명제를 바탕으로 다른 참인 명제를 연역논증을 통해 증명합니다. 얻게 된 새로운 명제들을 쌓아 올려 중요도가 높은 명제인 정리를 증명하기도 하고 다른 수학 분야와 연관성을 찾기도 합니다. 이러한 논증을 위해서는 누구나 모두 동일하는, 참이라는 명제가 기반으로서 필요합니다. 그러한 명제를 '공리'라고 합니다. 기하학의 공리에는 예컨대 '모든 직각은 합동이다'나 '선분을 확장하면 직선이 된다' 등이 있습니다. 이들은 수학을 하는 사람들이라면, 증명없이 참이라고 받아들이자는 것입니다. 집합론은 모든 수학 과목을 다룸에 있어 초석이 되는 집합이나 명제, 논리에 대한 공리를 만드는 틀을 다루는 과목입니다. 그렇기에 공리들을 계속 만들어가는데, 선택공리라는 것이 등장합니다. 선택공리는 ZFC 공리계의.. 2024. 2. 2.
집합론에서 유계, 상한, 하한, 극대, 극소 보통 유계, 상한, 하한과 같은 용어는 수열의 극한을 접하면서 미적분학에서 해석학에서 주로 사용되고, 극대와 극소 역시 함수의 극값에서 사용하는 용어이긴 하지만 집합론에서 부분순서집합에 대해서 사용되는 용어이기도 합니다. 이때 상계와 하계, 상한과 하한은 수열이나 함수에서의 사용하는 용어와 본질적으로도, 외적으로도 큰 차이가 없습니다. 그런데 극대 극소원소라는 개념은 함수의 그래프에서의 그것들과 약간 다른 점이 있습니다. 미적분학이나 해석학에서 극대나 극소는 국소적인 부분에서(local) 최대 또는 최소를 말하는데, 이 집합론에서의 극대와 극소는 어떤 국소적인 범위라기 보다는 최대·최소의 개념에 가깝습니다. 하지만 그렇다고 또 이 개념이 집합의 모든 원소에 대해서 순서가 최대이거나 최소라는 개념과는 또 .. 2024. 1. 28.
부분순서집합과 전순서집합(Partially ordered set, Total ordered set = chain) 집합론의 거의 마지막 챕터는 ZF공리계에 C, 즉 선택공리(Axiom of choice)를 도입하여 순서대로 하우스도르프 극대 원리(Hausdorff Maximality principle), 초른의 보조정리(Zorn's lemma), 정렬원리(Well-ordering theorem)를 증명 가능하고, 다시 정렬원리에서 선택공리로 들어온다는 것을 보임으로서 ZFC 공리계를 완성하는 작업에 대해 소개하고 있습니다. 집합론에는 여러 수리철학적인 주제들이 등장하는데, 그 중 빼놓을 수 없는 것이 바로 선택공리지요. ZFC 공리계는 연속체 가설과 무모순이라는 사실이 밝혀졌고, 괴델의 불완전성 정리에 의하면 ZFC 공리계라는 어떤 공리계 내에서 증명가능하지 않은 명제가 알려져 있음이 증명되었습니다. 그래서 ZFC .. 2023. 12. 20.
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