반응형 위상수학(Topology)/실수5 실수에서 닫힌집합과 폐포, 극한점(집적점)의 관계(The relation between the closed set, closure and cluster point) 극한점(집적점)의 뜻과 닫힌집합의 정의를 익히면, 폐포(closure)라는 개념을 도입해 닫힌집합을 조망할 수 있는 사전 준비가 끝났다고 볼 수 있습니다. 보통 폐포는 내부(interior)의 개념과 같이 소개되지만, 극한점의 개념 때문에 내부보다 좀 더 중요한 의미를 같습니다. 1. 폐포와 닫힌집합, 극한점(집적점)의 관계 폐포의 정의는 극한점을 설명할 때 간략하게 한 적 있으나 다시 봅시다. 정의($T.P$) 1-8) 실수에서의 폐포(closure in real number) $B\subseteq \mathbb{R}$ 이라 하자. $B$ 의 모든 밀착점을 모은 집합을 $B$의 폐포(closure)라 하고, $\overline{B}$ 로 나타낸다. 직관적으로 생각하면 폐포란 구간(2차원에서는 평면, 3.. 2024. 2. 13. 실수에서 열린집합, 닫힌집합(Open set and closed set in Real line) 밀착점, 고립점, 극한점과 같은 특별한 점들의 종류를 익힐 때는 열린구간, 닫힌구간 정도의 중고교 수학 개념만 알고 있으면 됩니다. 이제 열린구간, 닫힌구간의 개념이 좀 더 확장된 열린집합, 닫힌집합을 다룰 것인데 특히 닫힌집합을 다룰 때 특별한 점들의 지식이 큰 영양분이 될 것입니다. 1. 수직선에서 열린집합과 닫힌집합 1) 열린집합 정의($T.P$) 1-10) 실수에서 열린집합(Open set in $\mathbb{R}$) $A\subseteq\mathbb{R}$ 이 어떤 열린구간족의 합집합일 때 $A$ 를 '열린집합(open set)'이라 정의한다. 다시 말해 $A$ 가 열린집합이라는 것은 어떤 각각의 $\alpha\in I$ 에 대하여 $V_{\alpha}$ 들이 열린구간 일 때, $A=\disp.. 2024. 2. 13. 실수에서 밀착점, 극한점, 고립점 (adherent point, cluster point, isolated point in Real line) 이번 글에서는 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 이 점의 개념은 차원을 확장했을 때도 굉장히 중요한 역할을 하며 폐포의 개념을 이해하고 닫힌집합의 정의를 여러 방법으로 기술할 수 있음을 이해하는데 도움이 됩니다. 이 점들의 개념을 무심코 생략하면, 해석학이나 위상수학에서 끊임없이 학습자를 괴롭히기 때문에 확실히 정리하고 가는 것이 무조건 낫습니다. 1. 밀착점과 폐포 1) 밀착점 정의($T.P$) 1-6) $\varepsilon$-밀착점($\varepsilon$-adherent point) $E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 주어진 $x\in\mathbb{R}$ 과 $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $x$가.. 2024. 2. 13. 실수에서의 구간의 종류(intervals in Real) 열린집합과 닫힌집합을 이해할 때 열린공과 닫힌공의 개념을 통해 학습할 수도 있지만, 이를 넘어서 위상적 성질을 탐구하기이전에 몇몇 점들의 종류를 익히는 것이 좋습니다. 오늘은 $\mathbb{R}^n$ 으로 넘어가기 전에, 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 사실 이 방법을 통해 먼저 열린집합과 닫힌집합을 정의해도 되지만, 점들의 종류를 직관적으로 이해하기 이전에 간단히 이전 글에서 공을 통해 이들을 시각적으로 보는 것이 좋을 듯 하여 순서를 이와 같이 배치하였으니 참고하시기 바랍니다. ▶ 번외로 양자역학에서 축퇴(degeneracy)가 궁금하다면 이곳에서 간단하지만 매우 어렵고 불친절하게(?) 설명해 두었습니다. 1. 구간 정의($T.P$) .. 2024. 2. 13. 실수(수직선)에서 거리(Distance in the Real line) 위상수학이나 해석학, 선형대수학에서는 모두 '공간'을 다룹니다. 위상공간이 가장 추상적인 개념의 공간이고, 해석학에서는 놈(norm)과 거리(distance) 등이 특정한 방법으로 정의된, 차원이 일반화된 유클리드 공간을 다루며, 선형대수학에서는 군의 개념을 가지고 와 특별한 벡터공간을 다루게 됩니다. 현재 우리의 목표는 해석학에서 유클리드 공간을 분석하거나 위상수학에서 위상공간을 정의하는 것입니다. 전자의 작업은 차원을 $n$ 으로 확장해 나가야 할 터인데, 가장 간단한 1차원 실수 수직선의 개념부터 숙지하면 도움이 되는 것들이 많습니다. 또 아주 추상적인 개념인 위상공간을 곧바로 다루기 전에 실선을 분석하는 일은 귀중한 자산이 될 것입니다. 1. 실선에서의 거리 보통 공간에 대한 설명을 위상공간부터 .. 2024. 2. 13. 이전 1 다음 반응형
