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위상수학(Topology)14

위상수학에서 극한점, 집적점(limit point, accumulation point, cluster point) 폐포를 정의하는 하나의 방법으로 극한점의 개념을 활용할 수가 있습니다. 극한점이 무엇인지에 대해서 실직선을 설명할 때 같이 소개한 적이 있지만, 이제 위상공간에서의 일반적인 개념으로 확장해 보려고 합니다. 이전에 다루었던 교차, 근방의 개념을 알고 있어야 합니다.1. 극한점 1) 정의 정의($T.P$) 2-21) 극한점, 또는 집적점위상공간 $X$ 의 부분집합 $A$ 를 생각하자. $x\in X$ 가 $A$ 의 '극한점(limit point)' 또는 '집적점(accumulation or cluster point)'이라는 것은 $x\in \overline{A-\{ x\}}$ 인 것이다. 조금 쉽게 풀어쓰면, 모든 $x$ 의 근방이 $A$ 와 $x$ 를 제외한 점에서 교차하는 것이다. 이를 다시 .. 2024. 4. 21.
위상수학에서 내부, 폐포, 경계, 외부(Interior, closure, boundary, exterior in Topology) 계속해서 '열림'과 '닫힘'이라는 성질을 연구하였으니, 언어적으로 볼 때 이들 개념을 바탕으로 어떤 영역의 경계에 관한 설명을 하는 것임을 예상할 수 있습니다. 열림과 닫힘의 성질을 이용해 주어진 대상의 내부와 경계에 대한 논의를 할 수 있습니다.1. 집합의 내부, 폐포, 경계, 외부 1) 정의 정의($T.P$) 2-18) 내부, 폐포, 경계, 외부의 정의위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 부분집합 $A\subseteq X$ 를 생각하자.① $A$ 의 '내부(interior)'란 $A$ 에 포함된 모든 열린집합의 합집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 : $$\begin{align*} \operatorname{int}(A)=A^\circ&:=\displays.. 2024. 4. 20.
위상수학에서 닫힌집합(Closed set in topology) 여태까지는 줄곧 열린집합이 무엇인지만 설명하고, 위상의 원소를 열린집합이라고 정의하였습니다. 이는 무엇이 '열려'있다는 것인지 처음에 직관적인 납득이 어렵다는 문제를 안고 있습니다. 닫힌집합의 정의를 살펴보면서, 점점 깊이있는 학습을 하다 보면 추상적인 이 정의가 구체적으로 가시적으로 열려있다는 표현과 어떻게 연결되는지 깨닫게 됩니다. 닫힌집합의 정의 역시 처음에 보면 추상적이긴 하지만, 계속 헤아려 보면서 앞으로 나아가는 수밖에 없습니다. 또한, 열린 것과 상대적 열림이 무엇인지 맥락상의 차이가 존재했듯이, 닫힌 것과 상대적으로 닫힌 것의 미묘한 차이를 잡아챌 수 있어야 합니다. 이 글 역시, 일단 가볍게 1차원인 실수선에서의 닫힌집합 정의가 무엇인지 알고 있으면 더욱 좋습니다.  1. 닫.. 2024. 4. 18.
부분공간위상(Subspace topology) 이번 주제는 부분공간위상입니다. 기저의 의미가 선형대수학에서와 위상수학에서가 천차만별이었듯이, 부분공간이라는 비슷한 단어가 들어가 있음에도 불구하고 위상수학에서의 부분공간위상은 선형대수학에서의 그것과 또한 매우 다릅니다. 1. 부분위상 1) 정의 정의($T.P$) 2-15) 부분공간위상과 상대적 열린집합$(X,\mathcal{T})$ 를 위상공간이라 하자. 어떤 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 집합족$$\mathcal{T}_Y=\left\{ Y\cap U\mid U\in\mathcal{T} \right\}=\left\{  V\subseteq Y\mid V=Y\cap U\;\text{ for some }U\in\mathcal{T} \right\}$$ 은 $Y$ 위에서의 위상이 되며, .. 2024. 4. 17.
곱 위상(Product topology) 이미 위상공간인 두 집합이 제시되었을 때, 이들을 데카르트 곱으로 묶어 집합을 만들고 그 위에서 위상을 만들 수 있습니다. 이에 대해 알아봅시다. 1. 곱 위상 1) 정의 정의($T.P$) 2-13) 곱 위상 $(X,\mathcal{T}),(Y,\mathcal{T}')$ 을 위상공간이라고 하자. 데카르트곱 $X\times Y$ 에서의 '곱 위상(product topology)이란', 모든 각각의 열린집합 $U\subseteq X\;,\;V\subseteq Y$ 들로 이루어진 데카르트곱 $U\times V$ 를 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 로 가지는 기저 $\mathcal{B}=\displaystyle \bigcup_{U\subseteq X,V\subseteq Y}^{}(U\times V)$ .. 2024. 4. 13.
순서위상과 광선(Order topology and ray) 순서위상은, 전순서가 주어진 집합에서 위상을 부여하는 방법에 관련된 것입니다. 따라서 집합론의 전순서 개념을 필히 알고 있어야 하고, 순서위상의 개념을 이용하여 구간(interval)에 대한 정의를 할 수 있게 됩니다. 1.순서위상 1) 구간의 정의 정의($T.P$) 2-10) 구간(intervals) 전순서(선형순서)집합 $(X,\leq)$ 를 생각하자. $a① 열린구간(open interval) : $(a,b)=\{ x\in X \mid a② (오른쪽)반열린구간(half open interval) : $[a,b)]=\{ x\in X\mid a\leq x ③ (왼쪽)반열린구간(half open interval) : $(a,b]=\{ x\in X\mid a④ 닫힌구간(closed interv.. 2024. 4. 10.
위상수학에서 부분기저(Subbasis for a topology) MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}});위상수학에서 기저에 대한 학습을 하게 되면, 정의를 꼼꼼히 살펴보더라도, 기저로부터 위상이나 위상공간은 얼추 만들 수 있을 것 같기도 하나, 위상공간 $X$ 가 주어졌을 때 그럼 기저는 어떻게 찾으라는 것인지의 설명이 부실합니다. 물론, 기저가 주어졌을 때 그 기저로부터 위상공간 $X$ 나 위상 $\mathcal{T}$ 를 만드는 작업 역시 만만치는 않습니다. 실제로는 이와 같이 기저와 위상, 또는 기저와 위상공간의 관계를 들여다보는 것보다, 이 글에서 다룰 부분기저의 개념을 통해 위상이나 위상공간을 완성하는 편이 조금 더 수월합니다. 보다 정확히 말하자면, .. 2024. 4. 7.
위상수학에서 기저(Basis for a Topology) 선형대수학에서 기저는 선형결합을 통해 벡터공간을 구성하는데, 완전히 같은 선상에서 놓고 바라보기엔 차이점이 있으나 위상수학에서도 비슷한 개념으로 기저가 존재합니다. 1. 위상수학에서 기저 1) 정의 소개에 앞서, 알고 있어야 할 것들이 몇가지 있습니다. 교재마다 위상수학의 기저를 정의하는 방식이 몇가지 다른 경우가 있습니다. 이는, 결국 필요충분조건으로 나머지 것들을 정리로 취급하여 증명할 수 있기 때문에 그렇습니다. 그렇기에 어떤 명제를 정의로 삼아 서술해 나갈 것인지는 취향 차이라고 보아도 큰 문제가 없습니다. 하지만, 결국 학습을 하다 보면 기저의 정의 중 아래 정의($T.P$) 2-5-1) 은 어떤 주어진 집합족이 기저임을 '확인'하는, '점검'하는 용도로 많이 쓰이게 된다는 것을 알 수 있습니다.. 2024. 3. 17.
위상과 위상공간(Topology and Topological space) 수학이나 과학 공부를 할 때 가장 중요한 것은 어떤 개념을 학습하는 일입니다. 그런데 우리나라에서는 그 수학적, 과학적개념을 '왜' 배우는 것인지에 대한 학습이 잘 이루어지지 않을 때가 있습니다. 로그가 왜 탄생하였고 쓸모 있는 도구로 각광받았던 것인지, 뉴턴의 2법칙을 운동량과 왜 연결짓는 것인지, 내적은 무엇의 용도로 사용되는지, 자석의 자기장은 전류의 자기장과 어떤 관계가 있을지 등에 관한 것입니다. 뿐만 아니라 어떤 연산이나 행위를 왜 마음껏 사용해도 되는지에 대한 질문에도 학생의 입장에서 좀처럼 답을 구하기 어려운 것들이 있습니다. 예컨대 항등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 방정식의 근이 변화하지 않는다는 명제는 군론을 통해 선명하고 깔끔히 증명할 수 있습니다. 상대적으로 대학.. 2024. 2. 25.
실수에서 닫힌집합과 폐포, 극한점(집적점)의 관계(The relation between the closed set, closure and cluster point) 극한점(집적점)의 뜻과 닫힌집합의 정의를 익히면, 폐포(closure)라는 개념을 도입해 닫힌집합을 조망할 수 있는 사전 준비가 끝났다고 볼 수 있습니다. 보통 폐포는 내부(interior)의 개념과 같이 소개되지만, 극한점의 개념 때문에 내부보다 좀 더 중요한 의미를 같습니다. 1. 폐포와 닫힌집합, 극한점(집적점)의 관계 폐포의 정의는 극한점을 설명할 때 간략하게 한 적 있으나 다시 봅시다. 정의($T.P$) 1-8) 실수에서의 폐포(closure in real number) $B\subseteq \mathbb{R}$ 이라 하자. $B$ 의 모든 밀착점을 모은 집합을 $B$의 폐포(closure)라 하고, $\overline{B}$ 로 나타낸다. 직관적으로 생각하면 폐포란 구간(2차원에서는 평면, 3.. 2024. 2. 13.
실수에서 열린집합, 닫힌집합(Open set and closed set in Real line) 밀착점, 고립점, 극한점과 같은 특별한 점들의 종류를 익힐 때는 열린구간, 닫힌구간 정도의 중고교 수학 개념만 알고 있으면 됩니다. 이제 열린구간, 닫힌구간의 개념이 좀 더 확장된 열린집합, 닫힌집합을 다룰 것인데 특히 닫힌집합을 다룰 때 특별한 점들의 지식이 큰 영양분이 될 것입니다. 1. 수직선에서 열린집합과 닫힌집합 1) 열린집합 정의($T.P$) 1-10) 실수에서 열린집합(Open set in $\mathbb{R}$) $A\subseteq\mathbb{R}$ 이 어떤 열린구간족의 합집합일 때 $A$ 를 '열린집합(open set)'이라 정의한다. 다시 말해 $A$ 가 열린집합이라는 것은 어떤 각각의 $\alpha\in I$ 에 대하여 $V_{\alpha}$ 들이 열린구간 일 때, $A=\disp.. 2024. 2. 13.
실수에서 밀착점, 극한점, 고립점 (adherent point, cluster point, isolated point in Real line) 이번 글에서는 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 이 점의 개념은 차원을 확장했을 때도 굉장히 중요한 역할을 하며 폐포의 개념을 이해하고 닫힌집합의 정의를 여러 방법으로 기술할 수 있음을 이해하는데 도움이 됩니다. 이 점들의 개념을 무심코 생략하면, 해석학이나 위상수학에서 끊임없이 학습자를 괴롭히기 때문에 확실히 정리하고 가는 것이 무조건 낫습니다. 1. 밀착점과 폐포 1) 밀착점 정의($T.P$) 1-6) $\varepsilon$-밀착점($\varepsilon$-adherent point) $E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 주어진 $x\in\mathbb{R}$ 과 $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $x$가.. 2024. 2. 13.
실수에서의 구간의 종류(intervals in Real) 열린집합과 닫힌집합을 이해할 때 열린공과 닫힌공의 개념을 통해 학습할 수도 있지만, 이를 넘어서 위상적 성질을 탐구하기이전에 몇몇 점들의 종류를 익히는 것이 좋습니다. 오늘은 $\mathbb{R}^n$ 으로 넘어가기 전에, 실수(수직선) $\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 사실 이 방법을 통해 먼저 열린집합과 닫힌집합을 정의해도 되지만, 점들의 종류를 직관적으로 이해하기 이전에 간단히 이전 글에서 공을 통해 이들을 시각적으로 보는 것이 좋을 듯 하여 순서를 이와 같이 배치하였으니 참고하시기 바랍니다. ▶ 번외로 양자역학에서 축퇴(degeneracy)가 궁금하다면 이곳에서 간단하지만 매우 어렵고 불친절하게(?) 설명해 두었습니다. 1. 구간 정의($T.P$) .. 2024. 2. 13.
실수(수직선)에서 거리(Distance in the Real line) 위상수학이나 해석학, 선형대수학에서는 모두 '공간'을 다룹니다. 위상공간이 가장 추상적인 개념의 공간이고, 해석학에서는 놈(norm)과 거리(distance) 등이 특정한 방법으로 정의된, 차원이 일반화된 유클리드 공간을 다루며, 선형대수학에서는 군의 개념을 가지고 와 특별한 벡터공간을 다루게 됩니다. 현재 우리의 목표는 해석학에서 유클리드 공간을 분석하거나 위상수학에서 위상공간을 정의하는 것입니다. 전자의 작업은 차원을 $n$ 으로 확장해 나가야 할 터인데, 가장 간단한 1차원 실수 수직선의 개념부터 숙지하면 도움이 되는 것들이 많습니다. 또 아주 추상적인 개념인 위상공간을 곧바로 다루기 전에 실선을 분석하는 일은 귀중한 자산이 될 것입니다. 1. 실선에서의 거리 보통 공간에 대한 설명을 위상공간부터 .. 2024. 2. 13.
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