'위상수학(Topology)' 카테고리의 글 목록

위상수학에서 컴팩트성, 콤팩트성, 옹골성(Compact, compactness in the topology) 컴팩트성은 학부 수준의 수학을 공부할 때 정말 까다롭고 난해한 관문 중 하나입니다. 해석학 후반부에서 등장하긴 하지만 유클리드 공간의 컴팩트성에 제한된 것이고 제대로 된 깊이를 느끼려면 위상수학까지 달려와야 합니다. 또한 위상수학에서도 위상에 대한 기본 지식과 실직선의 특징을 낱낱히 분석했어야 정확한 뜻을 알 수 있는 수준에 도달하는 것이 가능합니다.컴팩트성을 이해할 때 핵심이 되는 개념은 위상 자체보다도 '덮개'를 잘 찾는 것입니다. 제시된 집합이 어떤 유한집합으로 덮어지는지에 초점을 맞추어 상상하는 것이 학습과 이해에 있어 나름의 도움이 될 것이라 믿습니다. 1. 덮개, 부분덮개, 컴팩트 정의(

$T.P$ ) 6-1) 덮개위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자.① 위상공간

$X$ 의 덮.. 2024. 8. 29.

하우스도르프 공간과 위상공간에서 수열의 수렴(Hausdorff space and the convergence of a sequence in the topological space) 하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요합니다. 하우스도르프는 독일의 수학자로 위상수학에 많은 기여를 한 인물입니다. 수학을 공부하면 집합론에서 마주치는 하우스도르프 극대 원리에서 이 인물의 이름을 처음 마주하게 되지요. 하우스도르프는 독일의 유대인 가정에서 태어났고 라이프치히 대학에서 수학과 철학을 공부했습니다. 그러나 안타깝게도 나치 독일 시절 유대인으로서 핍박과 어려움을 겪었고, 끝내 비극적인 죽음을 마주하게 됩니다. 현대 수학에서는 위상수학에서 그의 이름이 붙은 것도 많고 그의 손길이 구석구석 닿은 부분들이 정말 많습니다. 그들 중 하나인 하우스도르프 공간이 오늘 우리가 살펴볼 것입니다. 하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요하다고 적어놓았지요. 이것은 컴팩트성을 할 때나 분리공리 .. 2024. 8. 26.

거리공간에서 함수의 연속(Continuity in the Metric space) 이제 거리공간을 두 개 잡아두고, 함수를 도입해서 하나의 거리공간에서 다른 거리공간으로 가는 연속함수에 대해 살펴보려고 합니다. 해석학에서 주로 관찰 대상이 되는 함수는 미분이나 적분이 가능한 것이지만, 위상수학에서는 주로 관찰하는 함수는 연속함수에 해당하므로 과목 전반에 걸쳐 연속함수의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 1. 거리공간에서 함수의 연속 1) 정의 거리공간에서 함수의 연속은 다음과 같이 정의합니다. 미적분학에서 해석학에서 했었던

$\mathbb{R}$ 에서의 함수의 연속성을 확장하면 거리공간에서의 정의와 부드럽게 연결될 수 있습니다. 정의(

$T.P$ ) 3-13) 거리공간에서 함수의 연속두 거리공간

$(X,d)$ 와

$(Y,d')$ 에 대해 함수 $f: X\longrightar.. 2024. 7. 30.

거리공간에서 닫힌집합과 폐포, 내부, 경계(Closed set and closure, interior, boundary in the Metric topological space) 이제 거리공간에서 위상적 성질을 대부분 살펴보았으니, 마지막으로 영역에 관한 용어들을 소개하겠습니다. 1. 거리공간에서 영역 1) 근방, 내부, 폐포의 정의 정의(

$T.P$ ) 3-10) 거리공간에서 근방거리공간

$(X,d)$ 의 점

$x\in X$ 에 대해 어떤 집합이

$x$ 의 '근방(neighborhood)'일 필요충분조건은 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 것이다. 여기서

$r>0$ 은 열린공의 반지름이다.① 열린집합(열린공)

$U=B_d(x,r)$ 가

$x$ 의 근방 :

$(X,d)$ 위에서의 열린집합

$U=B_d(x,r)$ 가

$x$ 를 포함하고 있는 경우②

$A\subseteq X$ 가

$x$ 의 근방 :

$U=B_d(x,r)\subseteq A$ 인 열린집합

$U=B_d(x,r)$ 가 $x\.. 2024. 7. 24.

거리공간에서 극한점과 수열의 수렴(Limit point and convergent sequence in the Metric space) 지금 우리는 거리공간의 위상적 성질을 탐구하고 있습니다. 이제 무시무시한 극한점의 개념이 또 등장했는데, 극한점의 개념은 실직선에서 들여다 보았을 때 이해하기 가장 간편하기 때문에 실직선에서의 극한점 개념을 반드시 숙지하고 넘어왔으면 합니다. 사실 거리공간에서의 극한점도 실수에서의 극한점 개념을 약간 확장한 것과 전혀 다름이 없기 때문에 그를 알고 있다면 날먹할 수 있습니다. 거리공간 버전으로 옷만 갈아 입는다, 이렇게 생각해도 문제가 없습니다. 그럼 거의 비슷한데 왜 이런 짓거리를 또 하냐고 물을 수 있겠지요. 거리공간에서는 극한점 자체의 개념이 중요하기보다도, 수열의 수렴과 엮어서 몇가지 뜻깊은 개념을 건설할 수 있다는 것이 저의 답변입니다. 그 개념으로는 '코시수열(Cauchy sequence)'와.. 2024. 7. 23.

칸토어의 축소구간 정리와 실수에서 하이네-보렐 정리(Cantor's nested interval Theorem and Heine-Borel Theorem in Real) 하이네-보렐 정리는 위상수학에서 매우 중요한 정리 중 하나입니다. 가장 유명하면서도 널리 알려져 있으며 상징성이 대단한 정리라고 볼 수 있는데, 커리큘럼상으로는 해석학의 위상 부분에서 먼저 마주하기도 합니다. 하지만 오직 실수에서의 위상적 성질만 다루면서 하이네-보렐 정리를 완벽하게 이해하기는 무척 어렵습니다. 그리하여 실수선에서 먼저 위상적 접근으로 하이네-보렐 정리를 익히고, 이를 확장해서 위상공간에서의 개념 또는 유클리드 공간에서의 개념으로 받아들이는 것이 좋습니다. 해석학에서는 하이네-보렐 정리를 설명할 때 보렐 덮개 보조정리(Borel-covering lemma)를 필요로 하는 경우가 있으나, 우리는 그러한 복잡하고 알 수 없는 미묘한 방법을 선택하기 이전에 실수에서 보다 직관적으로 그러한 .. 2024. 7. 16.

거리공간의 위상적 성질(Topological properties on the metric space) 위상수학을 공부할 때 가장 핵심적인 공간을 하나 뽑으라면 저는 거리공간을 택할 것 같습니다. 몇가지 이유가 있지만 가장 원초적인 까닭은 다음과 같습니다. 위상공간 자체는, 이를 선명하게 이미지를 그려 '상상화'하는 것이 원래 무척 어렵고 불가능에 가깝습니다. 그러나 거리공간은 위상공간 다음으로 큰 범주의 공간인데 거리공간부터(놈 공간, 유클리드 공간 등등은) 열린 '공'의 개념으로 열린집합을 이미지화, 구체화하는 것이 가능합니다. 다시말해 직관적인 이해가 가능하려면 벤다이어그램을 그린다든지, 일상에서의 용어 개념과 연결지어 찰떡같고 번쩍이는 그런 상황들이 몇개 떠올라야 하는데, 가장 추상적인 위상공간은 도대체 무엇을 말하는지 떠올리는게 어렵지만 거리공간부터는 가능하다는 뜻입니다. 예를 들어 위상수학을 공.. 2024. 7. 2.

실직선에서의 연결 부분공간과 중간값의 정리(Connected subspaces of the Real line and the Intermediate Value Theorem) 연결성과 분리에 대한 기초 작업이 끝나게 되면, 우선 실수에서의 연결성을 먼저 들여다보는 작업이 필요합니다. 실수의 연결성을 살펴볼 때는 연결공간의 기초 개념들을 마구 사용하기 때문에 연결성에 대한 글을 반드시 먼저 참고하시기 바랍니다. 그리고 나아가 실수의 연결성을 학습하면 중간값의 정리를 가장 추상적으로 증명하는 것이 가능합니다. 1. 실수의 연결성 우선 실수의 연결성을 가장 먼저 다루는 것으로 시작하겠습니다. 정리(

$T.P$ ) 4.10) 실수는 연결집합이다.

$\mathbb{R}$ 은 연결되어 있다. 즉 연결공간, 연결집합이다.증명)

$\mathbb{R}$ 이 연결되어 있지 않다고 가정하여 귀류법을 사용하자. 그러면

$\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합

$U,V$ 가 존재하여 $U,V\neq \e.. 2024. 6. 15.

위상수학에서 연결공간과 분리(Connected space and separation in topology) 위상동형에 대한 간단한 정의를 기억하게 되었다면 다음으로 공간의 연결성과 옹골성(compact)을 차례대로 학습하고, 위상동형의 개념을 몫 공간에 대한 개념과 연결짓게 되면 본격적으로 위상수학에 대한 감이 잡히게 됩니다. 이번 글에서는 연결성을 다룰 것이며 연결성의 개념은 앞 부분에 비해서 많이 어렵지 않기 때문에 여태까지 배운 내용만 잊지 않았다면 천천히 학습하는 것이 가능합니다. 1. 분리성 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 4-1) 위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자.

$X$ 의 공집합이 아닌 두 부분집합

$U,V\in\mathcal{T}$ 에 대해

$U\cap V = \emptyset$ 이고

$X=U\cup V$ 가 성립하는 경우,

$X$ 는 '분리되어 있다(separated)' 또.. 2024. 6. 12.

위상동형사상, 위상적 동치(homeomorphism, topological equivalent) 이제 위상수학에서 흔히 언급되는, 대상을 늘이거나 구겨도 위상적 동형이라는 명제에 대한 이해를 다루어 보기 시작하려고 합니다. 여태까지 배운 기초 개념들을 동원하여 위상동형사상에 대해 알아보도록 하겠습니다. 특히 연속성의 개념이 무척 중요합니다. 1. 열린함수, 닫힌함수(열린사상, 닫힌사상) 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-30) 열린함수와 닫힌함수(또는 열린사상과 닫힌사상)위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 와

$(Y,\mathcal{T}')$ 에 대해 함수

$f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자.1)

$X$ 에서의 임의의 열린집합

$U$ 를 생각할 때,

$f(U)$ 가 항상

$Y$ 에서 열린집합인 함수

$f$ 를 '열린함수(open function)'이라 한다. 즉, 이는 $U\i.. 2024. 6. 11.

거리공간의 정의(Metric space) 위상수학을 공부할 때 거리공간을 알아야 하는 이유 중 가장 중요한 것은 다음 글의 초석에서 적어두긴 하였으나, 일단 위상적 성질을 제껴두고 거리공간에 대한 본질적인 것부터 익히는 것이 이번 글의 목표입니다. 위상수학, 해석학, 선형대수학을 공부하면 공간에 대한 언급이 끊임없이 등장합니다. 초등학생때부터 대학교까지 공부를 하다 보면, 다른 과목들도 마찬가지이지만, 수학의 경우 좁은 개념이나 굉장히 깔끔하고 정돈된 개념을 먼저 다루다가 점차 영역을 넓혀 추상적인 개념으로 확장된다는 특징을 어렵지 않게 찾아볼 수 있습니다. 예컨대 선형대수학에서 배우는 벡터공간은 가군(module)이라는 것으로 취급할 수 있는데, 연산이 두 개이기 때문에 일반적인 군이 전혀 아닙니다. 그렇다고 선형대수학에서 당장 벡터를 다루어.. 2024. 5. 13.

위상공간에서 함수의 연속의 정의(Continuous function in topology) 위상수학은 모든 수학 중에서 가장 추상적이고 포괄적이며 일반적인 대상을 다루는 것이라고 볼 수 있습니다. 함수의 연속 개념은 고등학생때부터 줄곧 배워왔던 개념이지만, 위상수학에까지 와야 가장 포괄적인 정의를 만나볼 수 있습니다. 이를 이해하기 위해서는 극한과 연속에 대한 해석학 수준의 개념, 다시 말해 엡실론-델타 논법에 대한 이해와 약간의 차원을 높였을 때 그것이 어떻게 되는지에 대한 개념이 선수적으로 필요합니다. 1. 함수의 연속 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-24) 위상공간에서 연속에 대한 정의1두 위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 와

$(Y,\mathcal{T}')$ 사이의 함수

$f:X\longrightarrow Y$ 와 점

$x\in X$ 를 생각하자. 함수

$f$ 가

$a$ 에서 '.. 2024. 4. 25.

위상수학에서 극한점, 집적점(limit point, accumulation point, cluster point) 극한점(limit point), 집적점(cluster point or accumulation point)라 불리는 이 친구는 사실 위상수학과 해석학의 딱 중간에 걸쳐 있는 가교 역할을 하는 무시무시한 친구입니다. 몇 번 마주쳐서 공부를 해보신 분들이라면 이 극한점의 개념은 난이도가 어렵지 않아 보이면서도 은근히 까다롭게 뇌에 과부하를 걸리게 만들고 알듯 말듯 헷갈리는 개념이라는 것을 많이 느꼈을 것이라 생각합니다. 실제로 극한점은 위상수학에서 폐포를 정의하거나 닫힌집합과 열린집합을 구분하는데 쓰이긴 하지만, 폐포를 정의하는 방법은 여러가지이고 닫힌집합과 열린집합을 구분하는 일에 꼭 극한점을 끌여들여야 할 필요는 없다고 느낄 수 있습니다. 그래서, 숨겨진 극한점의 정수는 사실 해석학에서의 개념입니다. 극한.. 2024. 4. 21.

위상수학에서 내부, 폐포, 경계, 외부(Interior, closure, boundary, exterior in Topology) 계속해서 '열림'과 '닫힘'이라는 성질을 연구하였으니, 언어적으로 볼 때 이들 개념을 바탕으로 어떤 영역의 경계에 관한 설명을 하는 것임을 예상할 수 있습니다. 열림과 닫힘의 성질을 이용해 주어진 대상의 내부와 경계에 대한 논의를 할 수 있습니다.1. 집합의 내부, 폐포, 경계, 외부 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-18) 내부, 폐포, 경계, 외부의 정의위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 와 부분집합

$A\subseteq X$ 를 생각하자.①

$A$ 의 '내부(interior)'란

$A$ 에 포함된 모든 열린집합의 합집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 : $$\begin{align*} \operatorname{int}(A)=A^\circ&:=\displaystyle \.. 2024. 4. 20.

위상수학에서 닫힌집합(Closed set in topology) 여태까지는 줄곧 열린집합이 무엇인지만 설명하고, 위상의 원소를 열린집합이라고 정의하였습니다. 이는 무엇이 '열려'있다는 것인지 처음에 직관적인 납득이 어렵다는 문제를 안고 있습니다. 닫힌집합의 정의를 살펴보면서, 점점 깊이있는 학습을 하다 보면 추상적인 이 정의가 구체적으로 가시적으로 열려있다는 표현과 어떻게 연결되는지 깨닫게 됩니다. 닫힌집합의 정의 역시 처음에 보면 추상적이긴 하지만, 계속 헤아려 보면서 앞으로 나아가는 수밖에 없습니다. 또한, 열린 것과 상대적 열림이 무엇인지 맥락상의 차이가 존재했듯이, 닫힌 것과 상대적으로 닫힌 것의 미묘한 차이를 잡아챌 수 있어야 합니다. 이 글 역시, 일단 가볍게 1차원인 실수선에서의 닫힌집합 정의가 무엇인지 알고 있으면 더욱 좋습니다. 1. 닫.. 2024. 4. 18.

부분공간위상(Subspace topology) 이번 주제는 부분공간위상입니다. 기저의 의미가 선형대수학에서와 위상수학에서가 천차만별이었듯이, 부분공간이라는 비슷한 단어가 들어가 있음에도 불구하고 위상수학에서의 부분공간위상은 선형대수학에서의 그것과 또한 매우 다릅니다. 1. 부분위상 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-15) 부분공간위상과 상대적 열린집합

$(X,\mathcal{T})$ 를 위상공간이라 하자. 어떤

$Y\subseteq X$ 에 대하여, 집합족

$\mathcal{T}_Y=\left\{ Y\cap U\mid U\in\mathcal{T} \right\}=\left\{ V\subseteq Y\mid V=Y\cap U\;\text{ for some }U\in\mathcal{T} \right\}$ 은

$Y$ 위에서의 위상이 되며, '부분공간위상(.. 2024. 4. 17.

곱 위상(Product topology) 이미 위상공간인 두 집합이 제시되었을 때, 이들을 데카르트 곱으로 묶어 집합을 만들고 그 위에서 위상을 만들 수 있습니다. 이에 대해 알아봅시다. 1. 곱 위상 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-13) 곱 위상

$(X,\mathcal{T}),(Y,\mathcal{T}')$ 을 위상공간이라고 하자. 데카르트곱

$X\times Y$ 에서의 '곱 위상(product topology)이란', 모든 각각의 열린집합

$U\subseteq X\;,\;V\subseteq Y$ 들로 이루어진 데카르트곱

$U\times V$ 를 기저원소

$B\in\mathcal{B}$ 로 가지는 기저

$\mathcal{B}=\displaystyle \bigcup_{U\subseteq X,V\subseteq Y}^{}(U\times V)$ .. 2024. 4. 13.

순서위상과 광선(Order topology and ray) 순서위상은, 전순서가 주어진 집합에서 위상을 부여하는 방법에 관련된 것입니다. 따라서 집합론의 전순서 개념을 필히 알고 있어야 하고, 순서위상의 개념을 이용하여 구간(interval)에 대한 정의를 할 수 있게 됩니다. 1.순서위상 1) 구간의 정의 정의(

$T.P$ ) 2-10) 구간(intervals) 전순서(선형순서)집합

$(X,\leq)$ 를 생각하자.

$a① 열린구간(open interval) :$ (a,b)=\{ x\in X \mid a② (오른쪽)반열린구간(half open interval) :

$[a,b)]=\{ x\in X\mid a\leq x ③ (왼쪽)반열린구간(half open interval) :$ (a,b]=\{ x\in X\mid a④ 닫힌구간(closed interval) : $.. 2024. 4. 10.

위상수학에서 부분기저(Subbasis for a topology) MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [['

$','$ '], ['\$','\$']]}});위상수학에서 기저에 대한 학습을 하게 되면, 정의를 꼼꼼히 살펴보더라도, 기저로부터 위상이나 위상공간은 얼추 만들 수 있을 것 같기도 하나, 위상공간

$X$ 가 주어졌을 때 그럼 기저는 어떻게 찾으라는 것인지의 설명이 부실합니다. 물론, 기저가 주어졌을 때 그 기저로부터 위상공간

$X$ 나 위상

$\mathcal{T}$ 를 만드는 작업 역시 만만치는 않습니다. 실제로는 이와 같이 기저와 위상, 또는 기저와 위상공간의 관계를 들여다보는 것보다, 이 글에서 다룰 부분기저의 개념을 통해 위상이나 위상공간을 완성하는 편이 조금 더 수월합니다. 보다 정확히 말하자면, .. 2024. 4. 7.

위상수학에서 기저(Basis for a Topology) 선형대수학에서 기저는 선형결합을 통해 벡터공간을 구성하는데, 완전히 같은 선상에서 놓고 바라보기엔 차이점이 있으나 위상수학에서도 비슷한 개념으로 기저가 존재합니다. 1. 위상수학에서 기저 1) 정의 소개에 앞서, 알고 있어야 할 것들이 몇가지 있습니다. 교재마다 위상수학의 기저를 정의하는 방식이 몇가지 다른 경우가 있습니다. 이는, 결국 필요충분조건으로 나머지 것들을 정리로 취급하여 증명할 수 있기 때문에 그렇습니다. 그렇기에 어떤 명제를 정의로 삼아 서술해 나갈 것인지는 취향 차이라고 보아도 큰 문제가 없습니다. 하지만, 결국 학습을 하다 보면 기저의 정의 중 아래 정의(

$T.P$ ) 2-5-1) 은 어떤 주어진 집합족이 기저임을 '확인'하는, '점검'하는 용도로 많이 쓰이게 된다는 것을 알 수 있습니다.. 2024. 3. 17.

위상과 위상공간(Topology and Topological space) 수학이나 과학 공부를 할 때 가장 중요한 것은 어떤 개념을 학습하는 일입니다. 그런데 우리나라에서는 그 수학적, 과학적개념을 '왜' 배우는 것인지에 대한 학습이 잘 이루어지지 않을 때가 있습니다. 로그가 왜 탄생하였고 쓸모 있는 도구로 각광받았던 것인지, 뉴턴의 2법칙을 운동량과 왜 연결짓는 것인지, 내적은 무엇의 용도로 사용되는지, 자석의 자기장은 전류의 자기장과 어떤 관계가 있을지 등에 관한 것입니다. 뿐만 아니라 어떤 연산이나 행위를 왜 마음껏 사용해도 되는지에 대한 질문에도 학생의 입장에서 좀처럼 답을 구하기 어려운 것들이 있습니다. 예컨대 항등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 방정식의 근이 변화하지 않는다는 명제는 군론을 통해 선명하고 깔끔히 증명할 수 있습니다. 상대적으로 대학.. 2024. 2. 25.

실수에서 닫힌집합과 폐포, 극한점(집적점)의 관계(The relation between the closed set, closure and cluster point) 극한점(집적점)의 뜻과 닫힌집합의 정의를 익히면, 폐포(closure)라는 개념을 도입해 닫힌집합을 조망할 수 있는 사전 준비가 끝났다고 볼 수 있습니다. 보통 폐포는 내부(interior)의 개념과 같이 소개되지만, 극한점의 개념 때문에 내부보다 좀 더 중요한 의미를 같습니다. 1. 폐포와 닫힌집합, 극한점(집적점)의 관계 폐포의 정의는 극한점을 설명할 때 간략하게 한 적 있으나 다시 봅시다. 정의(

$T.P$ ) 1-13)

$\mathbb{R}$ 에서의 폐포(closure in real number)

$B\subseteq \mathbb{R}$ 이라 하자.

$B$ 의 모든 밀착점을 모은 집합을

$B$ 의 폐포(closure)라 하고,

$\overline{B}$ 로 나타낸다.직관적으로 생각하면 폐포란 구간(.. 2024. 2. 13.

실수에서 열린집합, 닫힌집합(Open set and closed set in Real line) 밀착점, 고립점, 극한점과 같은 특별한 점들의 종류를 익힐 때는 열린구간, 닫힌구간 정도의 중고교 수학 개념만 알고 있으면 됩니다. 이제 열린구간, 닫힌구간의 개념이 좀 더 확장된 열린집합, 닫힌집합을 다룰 것인데 특히 닫힌집합을 다룰 때 특별한 점들의 지식이 큰 영양분이 될 것입니다. 1. 수직선에서 열린집합과 닫힌집합 1) 열린집합 정의(

$T.P$ ) 1-11) 실수에서 열린집합(Open set in

$\mathbb{R}$ )

$A\subseteq\mathbb{R}$ 이 어떤 열린구간족의 합집합일 때

$A$ 를 '열린집합(open set)'이라 정의한다. 다시 말해

$A$ 가 열린집합이라는 것은 어떤 각각의

$\alpha\in I$ 에 대하여

$V_{\alpha}$ 들이 열린구간 일 때, $A=\disp.. 2024. 2. 13.

실수에서 밀착점, 극한점, 고립점 (adherent point, cluster point, isolated point in Real line) 이번 글에서는 실수(수직선)

$\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 이 점의 개념은 차원을 확장했을 때도 굉장히 중요한 역할을 하며 폐포의 개념을 이해하고 닫힌집합의 정의를 여러 방법으로 기술할 수 있음을 이해하는데 도움이 됩니다. 이 점들의 개념을 무심코 생략하면, 해석학이나 위상수학에서 끊임없이 학습자를 괴롭히기 때문에 확실히 정리하고 가는 것이 무조건 낫습니다. 1. 밀착점과 폐포 1) 밀착점 정의(

$T.P$ ) 1-6)

$\varepsilon$ -밀착점(

$\varepsilon$ -adherent point)

$E\subseteq \mathbb{R}$ 에 대하여 주어진

$x\in\mathbb{R}$ 과

$\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자.

$x$ 가.. 2024. 2. 13.

실수에서의 구간의 종류(intervals in Real) 열린집합과 닫힌집합을 이해할 때 열린공과 닫힌공의 개념을 통해 학습할 수도 있지만, 이를 넘어서 위상적 성질을 탐구하기이전에 몇몇 점들의 종류를 익히는 것이 좋습니다. 오늘은

$\mathbb{R}^n$ 으로 넘어가기 전에, 실수(수직선)

$\mathbb{R}$ 에서의 몇몇 점들에 대한 개념을 확인해 보도록 하겠습니다. 사실 이 방법을 통해 먼저 열린집합과 닫힌집합을 정의해도 되지만, 점들의 종류를 직관적으로 이해하기 이전에 간단히 이전 글에서 공을 통해 이들을 시각적으로 보는 것이 좋을 듯 하여 순서를 이와 같이 배치하였으니 참고하시기 바랍니다. ▶ 번외로 양자역학에서 축퇴(degeneracy)가 궁금하다면 이곳에서 간단하지만 매우 어렵고 불친절하게(?) 설명해 두었습니다. 1. 구간 정의(

$T.P$ ) .. 2024. 2. 13.

실수(수직선)에서 거리(Distance in the Real line) 위상수학이나 해석학, 선형대수학에서는 모두 '공간'을 다룹니다. 위상공간이 가장 추상적인 개념의 공간이고, 해석학에서는 놈(norm)과 거리(distance) 등이 특정한 방법으로 정의된, 차원이 일반화된 유클리드 공간을 다루며, 선형대수학에서는 군의 개념을 가지고 와 특별한 벡터공간을 다루게 됩니다. 현재 우리의 목표는 해석학에서 유클리드 공간을 분석하거나 위상수학에서 위상공간을 정의하는 것입니다. 전자의 작업은 차원을

$n$ 으로 확장해 나가야 할 터인데, 가장 간단한 1차원 실수 수직선의 개념부터 숙지하면 도움이 되는 것들이 많습니다. 또 아주 추상적인 개념인 위상공간을 곧바로 다루기 전에 실선을 분석하는 일은 귀중한 자산이 될 것입니다. 1. 실선에서의 거리 보통 공간에 대한 설명을 위상공간부.. 2024. 2. 13.

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위상수학(Topology)26

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