위상수학을 공부할 때 거리공간을 알아야 하는 이유 중 가장 중요한 것은 다음 글의 초석에서 적어두긴 하였으나, 일단 위상적 성질을 제껴두고 거리공간에 대한 본질적인 것부터 익히는 것이 이번 글의 목표입니다. 위상수학, 해석학, 선형대수학을 공부하면 공간에 대한 언급이 끊임없이 등장합니다. 초등학생때부터 대학교까지 공부를 하다 보면, 다른 과목들도 마찬가지이지만, 수학의 경우 좁은 개념이나 굉장히 깔끔하고 정돈된 개념을 먼저 다루다가 점차 영역을 넓혀 추상적인 개념으로 확장된다는 특징을 어렵지 않게 찾아볼 수 있습니다. 예컨대 선형대수학에서 배우는 벡터공간은 가군(module)이라는 것으로 취급할 수 있는데, 연산이 두 개이기 때문에 일반적인 군이 전혀 아닙니다. 그렇다고 선형대수학에서 당장 벡터를 다루어야 하는데 벡터공간이 가군이라는 특징 때문에 군론의 기초부터 하나하나 따지며 시작할 수가 없겠지요. 게다가, 위상공간이 직접적으로 군과 관계가 없다는 점을 고려하면 위상공간이 아닌 벡터공간도 존재합니다.
해석학, 선형대수학을 공부했다면 벡터공간, 놈 공간, 유클리드 공간에 대해서는 대략적으로라도 배우게 되었을 것입니다. 그리고 그 다음 위상수학에서 가장 추상적인 공간의 개념인 위상공간을 다룹니다. 이때, 앞의 세 공간과 위상공간 사이에 중요한 공간이 있는데 그것이 바로 거리공간입니다. 거리공간은 해석학 책이나 선형대수 책에서 잠깐 짤막하게 등장하는 경우도 있는데, 위상수
학에서 보다 구체적으로 학습하는 편입니다.
1. 거리공간
1) 정의
정의($T.P$) 3-1) 거리공간
집합 $X$ 에 대해 함수 $d: X\times X \longrightarrow \mathbb{R}$1 를 생각하자. 임의의 $x,y,z\in X$ 에 대해 만일 $d$ 가 다음의 세 조건
D1) $d(x,y)\geq 0$, 그리고 $d(x,y)=0 \;\Longleftrightarrow \; x=y$
D2) $d(x,y)=d(y,x)$
D3) 삼각부등식 : $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
을 모두 만족시키는 경우, 함수 $d$ 를 $X$ 의 '거리(metric)' 또는 '거리함수(metric function)'이라 부르고, $d(x,y)$ 는 $x$ 에서 $y$ 까지의 '거리(distance)'라고 한다. $d$ 가 정의된 집합 $X$ 는 '거리공간(metric space)'라 하며 $(X,d)$ 로 표기한다.
▶ 1차원, 즉 실직선에서의 거리(distance) 개념은 최대하계 즉 하한을 통해 정의하였음을 이미 설명한 적이 있습니다. 해당 글의 [그림 1]에서 제가 이미 설명한 적이 있지만, 번역에서 주의해야 할 것이 있습니다. 지금 $d$ 라는 함수는 'metric' 이고 $d(x,y)\in\mathbb{R}$ 은 어떤 음이 아닌 실수의 값으로 'distance'라 설명하고 있으나 둘 다 한국어로는 '거리'로 번역하고 있음을 알 수 있습니다. metric 은 어원을 생각하면 '측정이 가능한 대상' 정도로 생각해야 하며, 실제로 자 등을 통해 거리를 잴 수 있다는 느낌에서의 어떤 측정된 값은 음이 아닌 실수로 발생하고, 이것이 'distance' 에 해당합니다. 위에서 엄밀한 수학적 정의로 볼 때, metric 은 $d$ 라는 '함수'이고, distacne 는 $d$ 라는 함수에 $X$ 의 원소를 넣어 만들어진 '함숫값'의 개념으로 공역의 원소가 되는 것임을 반드시 구분할 수 있어야 합니다. 혼동을 방지하기 위해, 웬만하면 저는 metric $d$ 를 말하고자 할 때 거리함수라 표현하고, distance 인 $d(x,y)$ 를 언급할 땐 거리라 부르도록 하겠습니다.
▶ 삼각부등식이 거리공간의 공리로 제시되어있다는 점은 놈 공간에서와 비슷합니다. 실제로 이 글의 [그림 1] 즉 벤다이어그램에서 알 수 있듯이, 놈 공간의 정의를 보면 놈 공간은 거리공간임을 알 수 있습니다. 자, 여기서 미리 힌트를 알려드리자면 거리공간은 놈 공간과 굉장히 밀접한 관련성이 있고, 놈 공간은 내적공간과 밀접한 관련성이 있다는 것입니다. 거리공간을 학습하기 위해 단순히 위의 정의만을 기억하기 보다는 세 공간의 관계에 대한 글을 반드시 확인해 보시기 바랍니다.
▶ 이렇게 거리함수를 정의하면 세 조건은 나름대로 우리의 일상생활에서의 거리 개념과 잘 맞닿아 떨어집니다. $x,y,z$ 를 단순히 어떤 지점, 위치라고 생각했을 때, D3) 는 삼각형의 빗변이 다른 두 변의 길이의 합보다 같거나 작아야 한다는 개념과 일치하고, 서울에서 부산까지의 거리를 재나 부산에서 서울까지의 거리를 재나 똑같다는 점이 D2) 에 대응되며, 거리(길이)는 기본적으로 0이거나 양수여야 한다는 자명한 사실이 D1) 에 대응됩니다. 이 세 조건을 모두 만족하면 수학적으로 거리를 잴 수 있는 특성을 가진다고 정의하겠다는 것입니다.
▶ 주어진 정의를 볼 때 매우 중요한 점이 하나 있습니다. 거리함수 $d$ 는 세 조건만 만족시키면 되기 때문에 사실 어떤 고정된 집합 $X$ 가 주어졌을 때, 여러개가 존재할 수 있다는 점입니다. 예컨대 실직선에서 우리는 두 점 사이의 길이를 거리함수로 생각할 수 있지만 반드시 그것만 유일하게 존재해서 그것이 거리함수가 된다는 개념이 아니라는 뜻입니다. 예제를 봅시다.
예제 1) 실직선 $\mathbb{R}$ 에서 '표준 유클리드 거리(distance)'는 정의($T.P)$ 1-1) 에서 언급한 것처럼 다음과 같이 정의된다 : 어떤 점을 뜻하는 실수 $a$ 와, $\emptyset \neq E\subseteq \mathbb{R}$ 로 주어진 집합을 생각하자. 점 $a$ 에서 집합 $E$ 까지의 거리(distance) $d(a,E)$ 는 $x\in E$ 에 대하여 모든 거리 $\left| a-x \right|$ 의 하한(최대하계)로 정의한다. 즉, $d(a,E):=\inf\left\{ \left| a-x \right|\mid x\in E \right\}$ 이다.
이와 같이 거리를 정의하면 $d$ 가 거리함수가 됨을 보여라.
Sol) $E$ 를 그냥 단원소집합 $E=\{ y\}$ 라 생각하게 되면 $\mathbb{R}$ 에서 거리는 $d(x,y):= \left| x-y \right|$ 가 된다. 즉 차의 크기(절댓값)에 해당한다. 그러면 $d(x,y) = \left| x-y \right| \geq 0$ 이고 오직 $x=y$ 일 때만 $d(x,y)=0$ 이며, $d(x,y)=\left| x-y \right|=\left| y-x \right|=d(y,x)$ 또한 성립한다. 마지막 D3) 를 확인하기 위해서 삼각부등식을 사용하면
$$\begin{align*}
d(x,y)+d(y,z)&=\left| x-y\right|+\left| y-z \right| \underset{\text{by Triangle inequality}}{\geq}\left| x-y+y-z\right|
\\\\&
= \left| x-z\right|=d(x,z)
\end{align*}$$
가 성립한다. 따라서 1차원 실직선에서 두 점 사이의 값 차이(절댓값)으로 주어지는 거리는 거리함수의 공리를 만족한다.
하지만 아래에서 소개할 이산거리, 가중거리, p-놈 거리 등 여러 방식으로 거리함수를 정의할 수도 있다. 즉 이 방식만이 유일한 것이 아니라는 뜻이다. $_\blacksquare$
2) 여러가지 거리
아래는 중요한 거리(함수)들입니다. 아래와 같이 정의될 때 엄밀하게는 그것이 거리공간의 공리 3개를 만족하는지 보여야 합니다.
정리($T.P$) 3.1) 여러가지 종류의 거리
다음으로 주어지는 거리함수는 모두 주어진 집합에 대한 거리함수이다. 즉 주어진 집합은 거리공간이다.
① $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ 이라고 하자. 이때
$$d_u(x,y):=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}$$ 으로 정의되는 거리함수 $d_u$ 는 $\mathbb{R}^n$ 에서의 '보통거리(usual metric)' 또는 '유클리드 거리(Euclidean metric)' 또는 '$l_2$ 거리'라 한다.
② 집합 $X$ 에 대해 '이산거리(discrete metric)'는
$$d_d(x,y)= \left\{ \begin{array}{cl}
0 & (x=y) \\
1 & (x\neq y)
\end{array} \right.$$ 으로 정의되는 거리함수 $d_d$ 를 말한다. 따라서 서로 다른 점들은 모두 이 공간에서 떨어져 있다.2 이렇게 거리를 부여하면 언제나 임의의 집합이 거리공간이 될 수 있다.
③ $d_t : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \longrightarrow [0,\infty)$ 를 두 점 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n) ,\mathbf{y}=(y_1, y_2, \cdots , y_n)\in\mathbb{R}^n$ 에 대하여 $d_t(x,y):=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\left| x_i-y_i \right|$ 와 같이 정의할 때 $d_t$ 를 '택시거리(taxicab metric)' 또는 '맨해튼 거리(Manhattan distance)'3또는 '$l_1$ 거리'라 부른다.4
거리공간인지 증명) 차례대로 D1)~D3) 를 보이면 된다.
① D1) : $d_u(x,y):=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}\geq 0$ 이고 등호는 오직 각각의 모든 $i$ 에 대하여 $x_i=y_i$ 일 때, 즉 $\mathbf{x}=\mathbf{y}$ 일 때만 성립한다.
D2) $\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}=\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(y_i-x_i)^2}$ 은 자명하다.
D3) 유클리드 공간은 벡터공간, 그중에서도 내적공간이다. 따라서 내적을 바탕으로 놈을 유도할 수 있고, 그 놈을 바탕으로 거리를 유도할 수 있다.5 즉, 놈을 유도할 수 있으니 N3) 에 의하여 삼각부등식
$$\left\| x-z \right\|\leq \left\| x-y \right\|+\left\| y-z \right\|$$
가 성립하게 되고, 거리로 전환하면
$$\begin{align*}
d(x,z)&=\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2}
\\\\&= \left\| x-z \right\|
\leq \left\| x-y\right\| + \left\| y-z \right\|
=d(x,y)+d(y,z)
\end{align*}$$
가 성립하게 된다. $_\blacksquare$
② D1) : $d(x,y)=0\;\text{or}\; 1$ 이므로 모든 $x,y\in X$ 에 대하여 $d(x,y)\geq 0$ 이 성립한다. D2) 는 너무 자명하다.
D3) i) 세 점이 모두 같을 때 : $x=y=z$ 를 가정하면 $d_d(x,y)=1=d_d(y,z)$ 이므로 $d_d(x,z)=1 \leq 2=d(x,y)+d(y,z)$ 이다.
ii) 두 점만 같을 때 : $x=y \neq z$ 를 생각하자. $d_d(x,z)=1$ 이 성립하므로 $d_d(x,z)=1 \leq d_d(x,y)+d_d(y,z) = 0+ 1$ 가 성립한다. $x=z\neq y$ 인 상황을 고려하고 $d_d(x,z)=0$ 인 경우를 보더라도 $d_d(x,z)\leq d_d(x,y)+d_d(y,z) = 1+1 = 2$ 가 성립한다.
iii) 세 점이 모두 다를 때 : $d_d(x,z)=1\leq d_d(x,y)+d_d(y,z)=1+1=2$ 가 성립한다.
③ D1) 두 점 $x=(x_1,x_2)$ 과 $y=(y_1, y_2)$ 를 생각해보자. 절댓값 성질에 의하여 $d_t(x,y) =\left| x_1-y_1 \right|+\left| x_2-y_2 \right| \geq 0$ 임이 자명하고, 오직 $x_1=y_1$ 이고 $x_2=y_2$ 즉 $x=y$ 일 때만 등호가 성립한다.
D2) 차의 절댓값에 관하여 자연스럽게 대칭성이 성립하므로 $d(y,x)=d(x,y)$ 가 성립한다.
D3) 세 점 $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2), z=(z_1,z_2)$ 에 대하여 삼각부등식이 성립하는지 확인해보자. 삼각부등식의 전형적인 꼴 $\left| a-c \right|\leq \left| a-b \right|+\left| b-c \right|$ 을 적용하면,
$\left| x_1-z_1 \right|\leq \left| x_1-y_1 \right|+ \left| y_1-z_1 \right| $ 와 $\left| x_2-z_2 \right|\leq \left| x_2-y_2 \right|+ \left| y_2-z_2 \right|$ 를 얻는다. 변변끼리 더하게 되면
$$\begin{align*}
\left| x_1-z_1 \right| + \left| x_2-z_2 \right| &\leq
\left( \left| x_1-y_1 \right|+ \left| y_1-z_1 \right| \right)+
\left( \left| x_2-y_2 \right|+ \left| y_2-z_2 \right| \right) \\\\
&\Longleftrightarrow d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
\end{align*}$$
으로부터 맨해튼 거리는 거리함수이다. $_\blacksquare$
3) 집합에서의 거리
정의($T.P$) 3-2) 거리공간에서 유계, 지름
거리공간 $(X,d)$ 에 대해 부분집합 $\emptyset \neq A\subseteq X$ 를 생각하자.
① 집합 $A$ 가 '유계집합(bounded set)' 이라는 것은 집합 $\{ d(x,y)\mid x,y\in A\}$ 가 위로 유계일 때, 즉 상계를 가지는 것이다.
② 집합 $A$ 의 지름은 $D(A):= \sup \left( \{d(x,y)\mid x,y\in A\}\right)$ 으로 정의한다. 공집합의 지름은 $D(\emptyset) = 0$ 으로 정의한다.
③ 집합 $X$ 가 유계일 때, $(X,d)$ 는 '유계 거리공간(bounded metric space)'라고 한다.
④ $x\in X$ 와 $A$ 사이의 거리(distance)는 $d(x,A)$ 로 표시하며
$$d(x,A) := \inf \left( \{ d(x,y) \mid y\in A\} \right)$$ 로 정의한다.
거리공간에서 유계를 따지는 것은 일반적인 집합에서의 유계의 성질과 매끄럽게 이어집니다. 거리는 정의상 음수가 될 수 없어서 최솟값이 0으로 고정되어 있기 때문에, 거리공간의 부분집합이 유계집합이기 위해서는 거리들로 이루어진 집합이 상계를 가지기만 하면 된다고 볼 수 있습니다. 이때 상한값이 존재하기까지하면 지름을 정의 가능합니다.
④ 에서의 정의는 실수선에서의 거리에 대한 정의인 정의($T.P$) 1-1) 과 거의 같습니다. 그때는 실수선이니 유클리드 거리를 사용했지만, 보다 일반적으로 거리공간에서 집합 $A$ 와 점 $x\in X$ 사이의 거리를 정의할 때는 $d(x,y\in A)$ 의 하한을 사용한다고 보면 됩니다.
예제 2) $\mathbb{R}^2$ 위에 단위 정사각형 $S$ 를 다음과 같이 정의하자 :
$$S := \{ x= (x_1, x_2)\mid i=1,2\;,\; 0\leq x_i \leq 1\}$$
이때 보통거리 $d_u$, 이산거리 $d_d$, 택시거리 $d_t$ 에 따른 집합 $S$ 의 지름을 각각 구하여라.
Sol) 가로와 세로의 길이가 각각 $1$ 인 정사각형을 생각하면 된다. 이때 각각의 방식으로 정의된 $d_u(x,y), d_d(x,y), d_t(x,y)$ 의 상한값이 얼마인지를 찾으면 간단하다. 보통거리의 경우 $\sqrt{2}$ 일 것이고, 이산거리인 경우 서로 다른 두 점이 존재하니 $1$ 이 되며, 택시거리의 경우 가로변과 세로변을 한 번씩 타고 가면 되기에 $2$ 이다. $\blacksquare$
2. 공간들의 위계
참고로 학부 수준에서 자주 등장하는 공간들의 위계 순서를 나타내면 다음과 같습니다. 보면 알 수 있듯이, 고등학교 수학이나 미적분학 수준에서 가장 많이 사용되는 유클리드 공간은 놈도, 거리도, 벡터도 만들 수 있는 가장 특수한 공간임을 알 수 있습니다. 반면 위상공간은 공간의 종류 중 가장 추상적인 개념인데, 거리공간도 나름대로 공간들끼리 비교해 보았을 때 꽤나 추상적인 편에 속합니다.
보조정리($T.P$) 3.1)
놈 공간을 $N$, 거리공간을 $M$, 벡터공간을 $V$, 내적공간을 $I$, 위상공간을 $X$, 유클리드공간을 $\mathbb{R}^n $ 이라고 하면,
$$\mathbb{R}^n \subseteq I \subseteq N\subseteq M\subseteq X$$ 이고,
$$\mathbb{R}^n\subseteq I\subseteq V$$ 이다. 여기서 벡터공간과 위상공간의 경우 항상 벡터공간이 위상공간이라고 표현하는 것과 그 역의 표현 모두 가능하지 않다. 벡터공간에는 위상이 부여될 수도 있고 부여되지 않을 수도 있다는 것이다.
[참고문헌]
Fred H. Croom, Principles of Topology
- 여기서 $d$ 의 공역은 사실상 아래의 D1) 조건으로 인해 음이 아닌 실수의 집합, $[0,\infty)$ 으로 잡아 정의하는 경우도 있음. [본문으로]
- 이산위상에서 점들이 모두 독립적으로 떨어져 있는 것이 가능하다는 점과 일맥상통한다. [본문으로]
- 맨해튼의 찻길은 격자점 형식으로 구성되어 있어서, 반드시 $x$ 축 또는 $y$ 축에 평행한 방향으로만 택시가 움직일 수 있다는 제한조건과 유사하기 때문에 붙은 이름. [본문으로]
- 택시거리는 $X=\mathbb{R}^n$ 일 때만 정의할 수 있는 것은 아니다. 일반적인 공간에서도 사용할 수는 있으나, 간단한 상황을 고려하기 위해 유클리드 공간을 집합으로 잡은 것. [본문으로]
- 사실 이 논리에 의하면 유클리드 공간은 내적을 줄 수 있으니 놈과 거리를 순차적으로 모두 줄 수 있어서 D1)~D3) 를 모두 보이지 않아도 되긴 합니다. 유클리드 공간은 매우 성질이 좋은 공간이라 이러한 논리를 적용할 수도 있다는 것입니다. 하지만, 그래도 D1)~D3) 를 한 번 확인해 본 것이고 이왕 이러한 설명도 할 겸 D3) 를 증명할 때 놈이라는 점을 이용해 삼각부등식을 활용하는 것입니다. [본문으로]
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