이제 거리공간에서 위상적 성질을 대부분 살펴보았으니, 마지막으로 영역에 관한 용어들을 소개하겠습니다.

1. 거리공간에서 영역
1) 근방, 내부, 폐포의 정의
정의(T.P) 3-10) 거리공간에서 근방
거리공간 (X,d) 의 점 x∈X 에 대해 어떤 집합이 x 의 '근방(neighborhood)'일 필요충분조건은 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 것이다. 여기서 r>0 은 열린공의 반지름이다.
① 열린집합(열린공) U=Bd(x,r) 가 x 의 근방 : (X,d) 위에서의 열린집합 U=Bd(x,r) 가 x 를 포함하고 있는 경우
② A⊆X 가 x 의 근방 : U=Bd(x,r)⊆A 인 열린집합 U=Bd(x,r) 가 x∈U=Bd(x,r) 인 경우
정의(T.P) 3-11) 거리공간에서 내부, 폐포
거리공간 (X,d) 와 A⊆X 를 생각한다.
① A⊆X 가 x 의 근방인 경우, x∈A⊆X 는 A 의 '내점(interior)'이라고 한다. 이때 A 의 모든 내점으로 이루어진 집합을 A 의 '내부(interior)' 이라고 하고 이를 조건제시법으로 나타내면
int(A)=A∘:={x∈A∣∃r>0s.t.Bd(x,r)⊆A}
② A⊆X 의 '폐포(closure)'란 ¯A=A∪A′ 로 표기하여 정의한다. 이는 A 와 A 의 극한점을 모두 모은 집합이다.
전반적으로 거리공간에서 내부와 폐포의 개념은 실직선에서와 형태가 유사함을 알 수 있습니다. 내점은 단순히 A 에 포함된 점이면서 그 점을 중심으로 하는 열린공을 적어도 하나 만들 수 있어야 합니다. 하지만 이것은 단순히 기하적으로 그림을 떠올려 봤을 때 A 내부에 포함된 점이라고 생각해도 별난 지장은 없습니다.
그 다음으로 폐포의 정의를 살펴보면 내부점과 극한점의 합집합임을 알 수 있습니다. 본디 극한점은 내부점+경계점을 뜻합니다. 그러면 내부점과 극한점을 합한다는 것은 그냥 극한점이라고 표현해도 충분하지 않은가, 하는 의문이 들 수 있습니다. 이에 대해서는 아래에서 곧 다루겠지만, 미리 결론을 설명하자면 어떤 집합 A⊆(X,d) 가 만일 닫힌집합이라면 극한점 = 내부점+경계점이고 A 안에 이미 내부점+경계점이 다 들어있게 됩니다. 그러나 만일 이것이 열린집합이라면 극한점 = 내부점+경계점이지만 A 안에는 경계점이 포함되어 있지 않으므로 ¯A=A∪A′ 이라고 써야 합니다. 즉, 만일 A′⊆A 가 되어 ¯A=A 가 성립하는 경우를 두고 A 가 닫힌집합이 될 필요충분조건이라고 볼 수 있겠지요. 이 설명은 전부 아래에서 다 증명하게 되지만, 미리 틀을 잡아보자는 생각에서 언급하였습니다.
또한 만일 위상공간을 먼저 학습하고 거리공간을 학습하는 경우, 위상공간에서의 내부와 폐포 정의를 떠올릴 수 있습니다. 거리공간은 반드시 위상공간이기에, 위의 표현을 위상공간 버전으로 기술할 수 있고, 그 경우 예컨대 내부의 개념은
int(A)=A∘:=⋃{Bd(x,r)∣Bd(x,r)⊆AandBd(x,r)is open in X}=⋃{Bd(x,r)∣Bd(x,r)⊆AandBd(x,r)∈T,Bd(x,r)⊆X}={x∈A∣∃r>0s.t.Bd(x,r)⊆A}
등과 같이 나타낼 수 있는 셈입니다. 하지만 이 글은 위상공간을 아직 학습하기 전에 실수의 성질 정도만 알고 있는 상황에서 거리공간을 이해해보자는 관점으로 쓰고 있는 셈이기 때문에, 실수에서와 같이 내부와 폐포 개념을 정의했음에 주의합시다. 1
2. 성질
정의를 마쳤으니 이제 내부, 폐포의 성질을 하나 하나 뜯어볼 것이고, 이것을 열린집합 및 닫힌집합과 교묘히 연결하는 작업을 수행할 것입니다.
1) 내부의 성질
정리(T.P) 3.9) 거리공간에서 내부의 성질
A⊆(X,d) 에 대하여 다음이 성립한다.
① int(A)=A∘ 은 열린집합이다.
② int(A)=A∘ 은 A 에 속하는 열린집합 중 가장 큰 열린집합이다. 다시말해, 임의의 U⊆A 인 X 에서의 열린집합 U 에 대하여, U⊆int(A)=A∘ 이라는 뜻이다.
따름정리(T.P) 3.9.1)
거리공간 (X,d) 에 대하여 A⊆X 가 열린집합일 필요충분조건은 A=int(A)=A∘ 인 것이다.
증명) ① 거리공간의 위상적 성질인 정리(T.P) 3.2)-② 에 의하면 열린집합의 합집합은 열린집합이라는 점에서 유도된다.
② 귀류법을 사용하기 위해 A∘ 보다 A 에 속하는 열린집합 중 더 큰 열린집합이 있다고 하고 그것을 B 라 하자. 그러면 A∘⊊B⊆A 이며 B 는 열린집합이다. 그러면 p∈(B−A∘) 인 p∈A 가 존재한다. 가정에 의하면 p∈B 이고 B 는 열린집합이고 B⊆A 이므로, A 에 포함된 열린집합 B 가 존재하여 p∈B 이니 p 는 A 의 내점이다. 내부에 정의에 의하면 A 의 모든 내점은 A∘ 에 포함되어야 한다. 그러면 p∈(B−A∘) 는 이에 모순이므로 주어진 명제는 참이다. ◼
따름정리의 증명) 필요조건은 위 정리 ① 과 같다.충분조건을 증명한다는 것은 A⊆X 가 열린집합일 때 A=A∘ 을 보인다는 것이다. ② 에 의하여 A∘⊂A 는 자명하다. A⊂A∘ 을 보이기 위해 임의의 x∈A 를 선택하자. 그러면 가정에 의해 A 는 열린집합이므로 x 를 포함하는 어떤 열린공 Bd(x,r)∋x 을 잡을 수 있다. 이런 열린공들을 전부 모아 합집합 한 것이 A∘ 의 정의이므로 x∈Bd(x,r)⊆A∘ 에서 x∈A∘ 이다. ◼
2) 폐포-닫힌집합 관계와 닫힌집합의 성질
아래 정리가 담고 있는 성질은 실직선에서도 성립했고 정리(T.P) 1.7) 로 다룬 바 있습니다.
정리(T.P) 3.10) 폐포-닫힌집합 관계
거리공간 (X,d) 에 대하여 A⊆X 가 닫힌집합일 필요충분조건은 A 가 A 의 밀착점을 전부 포함하는 것이다. 그런데, 닫힌공에 고립점은 존재할 수 없으며 또 역으로 고립점과 극한점이 별도로 존재할 때 이들이 동시에 하나의 닫힌공에 포함되지 못하므로 위 정리에서 밀착점 대신 집적점(극한점)으로 서술하여도 충분하다.
따름정리(T.P) 3.10.1)
거리공간 (X,d) 에 대하여 A⊆X 가 닫힌집합일 필요충분조건은 A=¯A 인 것이다.
증명) ⟹ : A=¯Bd(x,r) 가 닫힌집합이라고 하고 x∈¯Bd(x,r) 를 ¯Bd(x,r) 의 집적점이라고 하자. 얻어야 하는 결론은 x∈¯Bd(x,r) 이지만 귀류법을 사용하기 위해 x∉¯Bd(x,r) 이라 가정하고 모순을 보일 것이다. 그러면 X−¯Bd(x,r) 은 x 를 포함하면서 열린집합이 되는데, ¯Bd(x,r) 의 점을 전혀 포함하지 않는 열린공을 포함하게 된다. 이는 x 가 ¯Bd(x,r) 의 집적점이라는 사실에 모순이다.
⟸ : A=¯Bd(x,r) 가 자신의 모든 집적점을 포함하고 있다고 하자. X−¯Bd(x,r) 가 열린집합임을 보이면 된다. A⊊X 인 경우를 생각하자. 그러면 어떤 2y∈(X−¯Bd(x,r)) 가 존재하니 가정에 의해 y 는 A 의 집적점은 아니다. 그러면 어떤 ε>0 이 존재하여 열린공 Bd(x,ε) 이 y 를 포함하게 되며 Bd(x,ε)∩A=∅ 을 만족하게 된다. 그런데 열린공의 합집합은 열린공이므로 이러한 y 들을 모은 집합 X−¯Bd(x,r) 는 열린집합이다. 따라서 ¯Bd(x,r) 는 닫힌집합이 된다. ◼
따름정리의 증명) 위 정리에 의하여 A⊆X 가 닫힌집합이면 A 의 밀착점을 전부 포함한다. 따라서 A 는 내부점과 경계점을 전부 포함하므로 A=¯A 이다. 역으로 폐포가 자기 자신과 같다면 그 집합 A 는 자신의 모든 극한점을 포함하고 있다는 뜻이 된다. 위 정리에 적시된 바와 같이 고립점을 고려하지 않아도 되므로 이는 A 가 닫힌집합임을 뜻한다. ◼
정리(T.P) 3.11)
거리공간 (X,d) 와 A⊆X 를 생각한다.
① A 의 폐포 ¯A 는 닫힌집합이다.
② A 를 포함하는 닫힌집합은 ¯A 을 포함하며, 고로 ¯A 는 A 를 포함하는 닫힌집합 중에 가장 작은 집합이다.
증명) ① 의 증명은 정리(T.P) 3.10) 의 내용에 해당하므로 생략한다.
② C 가 X 에서의 닫힌집합이라고 하고 A⊆C 라 하자. C 가 닫힌집합이라는 것은, 정리(T.P) 3.10) 에 의하여 C 자신의 모든 극한점을 C 가 포함하고 있다는 뜻과 같다. 그러면 A 의 극한점은 (C 의 극한점이기도 하기 때문에) 전부 C 에 포함되어 있는 것이고, 고로 ¯A⊆C 가 성립한다. 그런데 C 는 닫힌집합이므로 따름정리(T.P) 3.10.1) 에 의하면 C=¯C 이다. 둘을 종합하면 ¯A⊆¯C 라 할 수 있다. 따라서 A 를 포함하는 임의의 닫힌집합 C 는 ¯A⊆¯C=C 라 할 수 있으므로, ¯A 는 A 를 포함하는 X 에서의 닫힌집합 중 가장 작은 집합이라 할 수 있다. ◼
정리(T.P) 3.12)
거리공간 (X,d) 와 A⊆X 에 대해 A 가 닫힌집합일 필요충분조건은, A 의 원소로 구성되어 있으며 수렴하는 수열이 있을 때 그 극한값이 항상 A 에 포함되는 것이다.
증명) ⟹ : A 가 닫힌집합임을 가정하고 y∈X 로 수렴하며 A 의 원소로 이루어진 수열을 {yn}∞n=1 라 하자. 이때 lim 을 보이면 된다.
i) \{ y_n\}_{n=1}^{\infty} 이 무한집합인 경우 : 정리(T.P) 3.8) 의 ① 과 ③ 의 동치성에 의하여 이 수열의 극한값 y\in X 는 A 의 어떤 집적점으로 수렴한다. 가정에 의해 A 가 집적점이니, y\in A 이다.
ii) \{ y_n\}_{n=1}^{\infty} 이 유한집합인 경우 : 극한값이 y 라는 것은 유한개의 항을 제끼고 나면 이 수열이 y,y,y,\cdots 으로 유지된다는 뜻이다. 그렇게 되기 시작하는 항을 N 번째 항이라 잡는다면 n\geq N 일 때 y_n=y 이 수열의 극한값이다. 그런데 이 수열은 A 의 원소로 만들었기 때문에, y\in A 이다.
\Longleftarrow : A 의 수렴하는 어떤 수열이 존재하고 그 수열의 극한값이 A 의 원소라고 가정하자. 이때 존재할 x\in X 를 A 의 극한점이라 하자. 정리(T.P) 3.8) 의 ① 과 ③ 의 동치성에 의하면 A 에 포함된 서로 다른 원소로 구성되어 있으며 x\in X 로 수렴하는 수열이 존재한다. 가정에 의하면 x\in A 이고, 수열은 서로 다른 두 극한점을 가지지 않으므로 모든 A 의 극한점은 반드시 A 의 원소에 해당한다. 이는 정리(T.P) 3.10) 에 의하여 A 가 닫힌집합임을 뜻한다. _\blacksquare
3. 경계
1) 정의
정의(T.P) 3-12) 거리공간에서 경계
거리공간 (X,d) 에 대해 A\subseteq X 를 생각하자. A 의 '경계(boundaty)'란 \partial A:=\overline{A}\cap \overline{X-A} 로 정의한다. x\in \partial A 인 점 x\in X 는 A 의 '경계점(boundaty point)'이라 부른다.
경계점에 대해서는 다음의 성질이 성립한다.
정리(T.P) 3.13) 경계에서 성립하는 성질들
거리공간 (X,d) 에 대하여 A\subseteq X 와 점 x 를 생각하자. 다음은 모두 동치다(TFAE).
① x\in \partial A \;\; \Longleftrightarrow \;\; x\in \partial A
② x\in (\overline{A}-A^\circ)
③ x\in X 를 포함하는 임의의 열린공 B_d(x,\varepsilon) 을 잡았을 때 B_d(x,\varepsilon)\cap A \neq \emptyset 이고 B_d(x,\varepsilon)\cap X-A \neq \emptyset 이다.
④ d(x,A)=d(x,X-A)=0
위의 내용은 실직선과 거리공간에서 배웠던 모든 개념들을 차례로 생각해보면 증명하고 받아들이기가 무지 쉽기 때문에 굳이 증명을 하지 않겠습니다. 물리적으로 '경계'의 의미에 잘 부합하는지 스스로 생각해 보면 좋을 것 같습니다.
예제 1) n 차원 유클리드 공간 \mathbb{R}^n 에서 \partial B(a,r) = \partial B[a,r] = \{ x\in \mathbb{R} \mid d(a,x)=r\} 에 해당한다. 즉 열린공과 닫힌공의 경계는 원주를 말하므로 중심 a 에서 거리 r 을 반지름으로 하는 원 위의 점들을 가리킨다. _\blacksquare
[참고문헌]
Fred H Croom, principles of Topology
- 왜냐하면 어차피 위상공간은 가장 추상적이고 넓은 의미의 공간이므로 위상공간에서 내부, 폐포, 경계, 외부 따위의 용어 정의만 기억하면 그것을 \mathbb{R} 이든 거리공간이든 더 작은 규모의 공간으로 끌고 와서 적용해도 모두 들어 맞습니다. 하지만 위상공간에 대한 글은 모두 다 적어두었기 때문에, 지금 이 글에서는 그런 톱다운 방식보다는 구체적이고 세분화된 공간에서부터 바텀업 형식으로 위상공간에 도달하고자 하는 것을 염두해 두고 있는 셈입니다. [본문으로]
- A=X 이면 어차피 X 는 거리공간으로 클로펜집합이니 딱히 할 것이 없다. [본문으로]
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