거리공간에서 닫힌집합과 폐포, 내부, 경계(Closed set and closure, interior, boundary in the Metric topological space)

이제 거리공간에서 위상적 성질을 대부분 살펴보았으니, 마지막으로 영역에 관한 용어들을 소개하겠습니다.

 

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1. 거리공간에서 영역

 

1) 근방, 내부, 폐포의 정의

 

정의($T.P$) 3-10) 거리공간에서 근방
거리공간 $(X,d)$ 의 점 $x\in X$ 에 대해 어떤 집합이 $x$ 의 '근방(neighborhood)'일 필요충분조건은 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 것이다. 여기서 $r>0$ 은 열린공의 반지름이다.
① 열린집합(열린공) $U=B_d(x,r)$ 가 $x$ 의 근방 : $(X,d)$ 위에서의 열린집합 $U=B_d(x,r)$ 가 $x$ 를 포함하고 있는 경우
② $A\subseteq X$ 가 $x$ 의 근방 : $U=B_d(x,r)\subseteq A$ 인 열린집합 $U=B_d(x,r)$ 가 $x\in U=B_d(x,r)$ 인 경우

정의($T.P$) 3-11) 거리공간에서 내부, 폐포
거리공간 $(X,d)$ 와 $A\subseteq X$ 를 생각한다.
① $A\subseteq X$ 가 $x$ 의 근방인 경우, $x\in A\subseteq X$ 는 $A$ 의 '내점(interior)'이라고 한다. 이때 $A$ 의 모든 내점으로 이루어진 집합을 $A$ 의 '내부(interior)' 이라고 하고 이를 조건제시법으로 나타내면
$$\mathrm{int}(A)=A^\circ:=\left\{ x\in A\mid \exists\; r>0\;\;\text{s.t.} \;\; B_d(x,r)\subseteq A \right\}$$
② $A\subseteq X$ 의 '폐포(closure)'란 $\overline{A}=A\cup A'$ 로 표기하여 정의한다. 이는 $A$ 와 $A$ 의 극한점을 모두 모은 집합이다.

 

전반적으로 거리공간에서 내부와 폐포의 개념은 실직선에서와 형태가 유사함을 알 수 있습니다. 내점은 단순히 $A$ 에 포함된 점이면서 그 점을 중심으로 하는 열린공을 적어도 하나 만들 수 있어야 합니다. 하지만 이것은 단순히 기하적으로 그림을 떠올려 봤을 때 $A$ 내부에 포함된 점이라고 생각해도 별난 지장은 없습니다. 

 

그 다음으로 폐포의 정의를 살펴보면 내부점과 극한점의 합집합임을 알 수 있습니다. 본디 극한점은 내부점+경계점을 뜻합니다. 그러면 내부점과 극한점을 합한다는 것은 그냥 극한점이라고 표현해도 충분하지 않은가, 하는 의문이 들 수 있습니다. 이에 대해서는 아래에서 곧 다루겠지만, 미리 결론을 설명하자면 어떤 집합 $A\subseteq (X,d)$ 가 만일 닫힌집합이라면 극한점 = 내부점+경계점이고 $A$ 안에 이미 내부점+경계점이 다 들어있게 됩니다. 그러나 만일 이것이 열린집합이라면 극한점 = 내부점+경계점이지만 $A$ 안에는 경계점이 포함되어 있지 않으므로 $\overline{A}=A\cup A'$ 이라고 써야 합니다. 즉, 만일 $A'\subseteq A$ 가 되어 $\overline{A}=A$ 가 성립하는 경우를 두고 $A$ 가 닫힌집합이 될 필요충분조건이라고 볼 수 있겠지요. 이 설명은 전부 아래에서 다 증명하게 되지만, 미리 틀을 잡아보자는 생각에서 언급하였습니다.

 

또한 만일 위상공간을 먼저 학습하고 거리공간을 학습하는 경우, 위상공간에서의 내부와 폐포 정의를 떠올릴 수 있습니다. 거리공간은 반드시 위상공간이기에, 위의 표현을 위상공간 버전으로 기술할 수 있고, 그 경우 예컨대 내부의 개념은

 

$$\begin{align}
\mathrm{int}(A)=A^\circ&:=\displaystyle \bigcup_{}^{}\left\{ B_d(x,r)\mid B_d(x,r)\subseteq A\;\text{and}\; B_d(x,r)\;\text{is open in }X \right\}
\\&=\displaystyle \bigcup_{}^{}\left\{ B_d(x,r)\mid B_d(x,r)\subseteq A\;\text{and}\; B_d(x,r)\in\mathcal{T}\;,\;B_d(x,r)\subseteq X \right\}
\\&=\left\{ x\in A\mid \exists\; r>0\;\;\text{s.t.} \;\; B_d(x,r)\subseteq A \right\}
\end{align}$$

 

등과 같이 나타낼 수 있는 셈입니다. 하지만 이 글은 위상공간을 아직 학습하기 전에 실수의 성질 정도만 알고 있는 상황에서 거리공간을 이해해보자는 관점으로 쓰고 있는 셈이기 때문에, 실수에서와 같이 내부와 폐포 개념을 정의했음에 주의합시다.^[각주:1]

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2. 성질

 

정의를 마쳤으니 이제 내부, 폐포의 성질을 하나 하나 뜯어볼 것이고, 이것을 열린집합 및 닫힌집합과 교묘히 연결하는 작업을 수행할 것입니다.

 

 

1) 내부의 성질

 

정리($T.P$) 3.9) 거리공간에서 내부의 성질
$A\subseteq (X,d)$ 에 대하여 다음이 성립한다.
① $\mathrm{int}(A)=A^\circ$ 은 열린집합이다.
② $\mathrm{int}(A)=A^\circ$ 은 $A$ 에 속하는 열린집합 중 가장 큰 열린집합이다. 다시말해, 임의의 $U\subseteq A$ 인 $X$ 에서의 열린집합 $U$ 에 대하여, $U\subseteq \mathrm{int}(A)=A^\circ$ 이라는 뜻이다.

따름정리($T.P$) 3.9.1)
거리공간 $(X,d)$ 에 대하여 $A\subseteq X$ 가 열린집합일 필요충분조건은 $A=\mathrm{int}(A)=A^\circ$ 인 것이다.

증명) ① 거리공간의 위상적 성질인 정리($T.P$) 3.2)-② 에 의하면 열린집합의 합집합은 열린집합이라는 점에서 유도된다.
② 귀류법을 사용하기 위해 $A^\circ$ 보다 $A$ 에 속하는 열린집합 중 더 큰 열린집합이 있다고 하고 그것을 $B$ 라 하자. 그러면 $A^\circ \subsetneq B\subseteq A$ 이며 $B$ 는 열린집합이다. 그러면 $p\in (B-A^\circ)$ 인 $p\in A$ 가 존재한다. 가정에 의하면 $p\in B$ 이고 $B$ 는 열린집합이고 $B\subseteq A$ 이므로, $A$ 에 포함된 열린집합 $B$ 가 존재하여 $p\in B$ 이니 $p$ 는 $A$ 의 내점이다. 내부에 정의에 의하면 $A$ 의 모든 내점은 $A^\circ$ 에 포함되어야 한다. 그러면 $p\in (B-A^\circ)$ 는 이에 모순이므로 주어진 명제는 참이다. $_\blacksquare$


따름정리의 증명) 필요조건은 위 정리 ① 과 같다. 충분조건을 증명한다는 것은 $A\subseteq X$ 가 열린집합일 때 $A=A^\circ$ 을 보인다는 것이다. ② 에 의하여 $A^\circ \subset A$ 는 자명하다. $A\subset A^\circ$ 을 보이기 위해 임의의 $x\in A$ 를 선택하자. 그러면 가정에 의해 $A$ 는 열린집합이므로 $x$ 를 포함하는 어떤 열린공 $B_d(x,r)\ni x$ 을 잡을 수 있다. 이런 열린공들을 전부 모아 합집합 한 것이 $A^\circ$ 의 정의이므로 $x\in B_d(x,r)\subseteq A^\circ$ 에서 $x\in A^\circ$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

2) 폐포-닫힌집합 관계와 닫힌집합의 성질

 

아래 정리가 담고 있는 성질은 실직선에서도 성립했고 정리($T.P$) 1.7) 로 다룬 바 있습니다.

 

정리($T.P$) 3.10) 폐포-닫힌집합 관계
거리공간 $(X,d)$ 에 대하여 $A\subseteq X$ 가 닫힌집합일 필요충분조건은 $A$ 가 $A$ 의 밀착점을 전부 포함하는 것이다. 그런데, 닫힌공에 고립점은 존재할 수 없으며 또 역으로 고립점과 극한점이 별도로 존재할 때 이들이 동시에 하나의 닫힌공에 포함되지 못하므로 위 정리에서 밀착점 대신 집적점(극한점)으로 서술하여도 충분하다.

따름정리($T.P$) 3.10.1)
거리공간 $(X,d)$ 에 대하여 $A\subseteq X$ 가 닫힌집합일 필요충분조건은 $A=\overline{A}$ 인 것이다.

증명) $\Longrightarrow$ : $A=\overline{B}_d(x,r)$ 가 닫힌집합이라고 하고 $x\in \overline{B}_d(x,r)$ 를 $\overline{B}_d(x,r)$ 의 집적점이라고 하자. 얻어야 하는 결론은 $x\in \overline{B}_d(x,r)$ 이지만 귀류법을 사용하기 위해 $x\notin \overline{B}_d(x,r)$ 이라 가정하고 모순을 보일 것이다. 그러면 $X-\overline{B}_d(x,r)$ 은 $x$ 를 포함하면서 열린집합이 되는데, $\overline{B}_d(x,r)$ 의 점을 전혀 포함하지 않는 열린공을 포함하게 된다. 이는 $x$ 가 $\overline{B}_d(x,r)$ 의 집적점이라는 사실에 모순이다.

$\Longleftarrow$ : $A=\overline{B}_d(x,r)$ 가 자신의 모든 집적점을 포함하고 있다고 하자. $X-\overline{B}_d(x,r)$ 가 열린집합임을 보이면 된다. $A\subsetneq X$ 인 경우를 생각하자.^[각주:2] 그러면 어떤 $y\in (X-\overline{B}_d(x,r))$ 가 존재하니 가정에 의해 $y$ 는 $A$ 의 집적점은 아니다. 그러면 어떤 $\varepsilon >0$ 이 존재하여 열린공 $B_d(x,\varepsilon)$ 이 $y$ 를 포함하게 되며 $B_d(x,\varepsilon)\cap A=\emptyset$ 을 만족하게 된다. 그런데 열린공의 합집합은 열린공이므로 이러한 $y$ 들을 모은 집합 $X-\overline{B}_d(x,r)$ 는 열린집합이다. 따라서 $\overline{B}_d(x,r)$ 는 닫힌집합이 된다. $_\blacksquare$


따름정리의 증명) 위 정리에 의하여 $A\subseteq X$ 가 닫힌집합이면 $A$ 의 밀착점을 전부 포함한다. 따라서 $A$ 는 내부점과 경계점을 전부 포함하므로 $A=\overline{A}$ 이다. 역으로 폐포가 자기 자신과 같다면 그 집합 $A$ 는 자신의 모든 극한점을 포함하고 있다는 뜻이 된다. 위 정리에 적시된 바와 같이 고립점을 고려하지 않아도 되므로 이는 $A$ 가 닫힌집합임을 뜻한다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($T.P$) 3.11)
거리공간 $(X,d)$ 와 $A\subseteq X$ 를 생각한다.
① $A$ 의 폐포 $\overline{A}$ 는 닫힌집합이다.
② $A$ 를 포함하는 닫힌집합은 $\overline{A}$ 을 포함하며, 고로 $\overline{A}$ 는 $A$ 를 포함하는 닫힌집합 중에 가장 작은 집합이다.

증명) ① 의 증명은 정리($T.P$) 3.10) 의 내용에 해당하므로 생략한다.
② $C$ 가 $X$ 에서의 닫힌집합이라고 하고 $A\subseteq C$ 라 하자. $C$ 가 닫힌집합이라는 것은, 정리($T.P$) 3.10) 에 의하여 $C$ 자신의 모든 극한점을 $C$ 가 포함하고 있다는 뜻과 같다. 그러면 $A$ 의 극한점은 ($C$ 의 극한점이기도 하기 때문에) 전부 $C$ 에 포함되어 있는 것이고, 고로 $\overline{A}\subseteq C$ 가 성립한다. 그런데 $C$ 는 닫힌집합이므로 따름정리($T.P$) 3.10.1) 에 의하면 $C=\overline{C}$ 이다. 둘을 종합하면 $\overline{A}\subseteq \overline{C}$ 라 할 수 있다. 따라서 $A$ 를 포함하는 임의의 닫힌집합 $C$ 는 $\overline{A}\subseteq \overline{C}=C$ 라 할 수 있으므로, $\overline{A}$ 는 $A$ 를 포함하는 $X$ 에서의 닫힌집합 중 가장 작은 집합이라 할 수 있다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($T.P$) 3.12)
거리공간 $(X,d)$ 와 $A\subseteq X$ 에 대해 $A$ 가 닫힌집합일 필요충분조건은, $A$ 의 원소로 구성되어 있으며 수렴하는 수열이 있을 때 그 극한값이 항상 $A$ 에 포함되는 것이다.

증명) $\Longrightarrow $ : $A$ 가 닫힌집합임을 가정하고 $y\in X$ 로 수렴하며 $A$ 의 원소로 이루어진 수열을 $\{ y_n\}_{n=1}^{\infty}$ 라 하자. 이때 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n=y$ 을 보이면 된다.

i) $\{ y_n\}_{n=1}^{\infty}$ 이 무한집합인 경우 : 정리($T.P$) 3.8) 의 ① 과 ③ 의 동치성에 의하여 이 수열의 극한값 $y\in X$ 는 $A$ 의 어떤 집적점으로 수렴한다. 가정에 의해 $A$ 가 집적점이니, $y\in A$ 이다.

ii) $\{ y_n\}_{n=1}^{\infty}$ 이 유한집합인 경우 : 극한값이 $y$ 라는 것은 유한개의 항을 제끼고 나면 이 수열이 $y,y,y,\cdots$ 으로 유지된다는 뜻이다. 그렇게 되기 시작하는 항을 $N$ 번째 항이라 잡는다면 $n\geq N$ 일 때 $y_n=y$ 이 수열의 극한값이다. 그런데 이 수열은 $A$ 의 원소로 만들었기 때문에, $y\in A$ 이다.

$\Longleftarrow $ : $A$ 의 수렴하는 어떤 수열이 존재하고 그 수열의 극한값이 $A$ 의 원소라고 가정하자. 이때 존재할 $x\in X$ 를 $A$ 의 극한점이라 하자.  정리($T.P$) 3.8) 의 ① 과 ③ 의 동치성에 의하면 $A$ 에 포함된 서로 다른 원소로 구성되어 있으며 $x\in X$ 로 수렴하는 수열이 존재한다. 가정에 의하면 $x\in A$ 이고, 수열은 서로 다른 두 극한점을 가지지 않으므로 모든 $A$ 의 극한점은 반드시 $A$ 의 원소에 해당한다. 이는 정리($T.P$) 3.10) 에 의하여 $A$ 가 닫힌집합임을 뜻한다. $_\blacksquare$

 

 

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3. 경계

 

1) 정의

 

정의($T.P$) 3-12) 거리공간에서 경계
거리공간 $(X,d)$ 에 대해 $A\subseteq X$ 를 생각하자. $A$ 의 '경계(boundaty)'란 $\partial A:=\overline{A}\cap \overline{X-A}$ 로 정의한다. $x\in \partial A$ 인 점 $x\in X$ 는 $A$ 의 '경계점(boundaty point)'이라 부른다.

 

경계점에 대해서는 다음의 성질이 성립한다.

 

정리($T.P$) 3.13) 경계에서 성립하는 성질들
거리공간 $(X,d)$ 에 대하여 $A\subseteq X$ 와 점 $x$ 를 생각하자. 다음은 모두 동치다(TFAE).
① $x\in \partial A$
② $x\in (\overline{A}-A^\circ)$
③ $x\in X$ 를 포함하는 임의의 열린공 $B_d(x,\varepsilon)$ 을 잡았을 때 $B_d(x,\varepsilon)\cap A \neq \emptyset$ 이고 $B_d(x,\varepsilon)\cap X-A \neq \emptyset$ 이다.
④ $d(x,A)=d(x,X-A)=0$

 

위의 내용은 실직선과 거리공간에서 배웠던 모든 개념들을 차례로 생각해보면 증명하고 받아들이기가 무지 쉽기 때문에 굳이 증명을 하지 않겠습니다. 물리적으로 '경계'의 의미에 잘 부합하는지 스스로 생각해 보면 좋을 것 같습니다.

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예제 1) $n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 에서 $\partial B(a,r) = \partial B[a,r] = \{ x\in \mathbb{R} \mid d(a,x)=r\}$ 에 해당한다. 즉 열린공과 닫힌공의 경계는 원주를 말하므로 중심 $a$ 에서 거리 $r$ 을 반지름으로 하는 원 위의 점들을 가리킨다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Fred H Croom, principles of Topology

 

 

 

 

 

 

1. 왜냐하면 어차피 위상공간은 가장 추상적이고 넓은 의미의 공간이므로 위상공간에서 내부, 폐포, 경계, 외부 따위의 용어 정의만 기억하면 그것을 $\mathbb{R}$ 이든 거리공간이든 더 작은 규모의 공간으로 끌고 와서 적용해도 모두 들어 맞습니다. 하지만 위상공간에 대한 글은 모두 다 적어두었기 때문에, 지금 이 글에서는 그런 톱다운 방식보다는 구체적이고 세분화된 공간에서부터 바텀업 형식으로 위상공간에 도달하고자 하는 것을 염두해 두고 있는 셈입니다. [본문으로]
2. $A=X$ 이면 어차피 $X$ 는 거리공간으로 클로펜집합이니 딱히 할 것이 없다. [본문으로]