거리공간에서 함수의 연속(Continuity in the Metric space)

이제 거리공간을 두 개 잡아두고, 함수를 도입해서 하나의 거리공간에서 다른 거리공간으로 가는 연속함수에 대해 살펴보려고 합니다. 해석학에서 주로 관찰 대상이 되는 함수는 미분이나 적분이 가능한 것이지만, 위상수학에서는 주로 관찰하는 함수는 연속함수에 해당하므로 과목 전반에 걸쳐 연속함수의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다.

 

 

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1. 거리공간에서 함수의 연속

 

1) 정의

 

거리공간에서 함수의 연속은 다음과 같이 정의합니다. 미적분학에서 해석학에서 했었던 $\mathbb{R}$ 에서의 함수의 연속성을 확장하면 거리공간에서의 정의와 부드럽게 연결될 수 있습니다.

 

 

정의($T.P$) 3-13) 거리공간에서 함수의 연속
두 거리공간 $(X,d)$ 와 $(Y,d')$ 에 대해 함수 $f: X\longrightarrow Y$ 를 생각하자. 함수 $f$ 가 $a\in X$ 에서 '연속(continuous)'이라는 것은 임의의 양수 $\varepsilon > 0$ 에 대하여 어떤 $\delta >0$ 이 존재하여 $x\in X$ 이고 $d(x,a)< \delta \; \Longrightarrow \; d'(f(x), f(a)) < \varepsilon$ 이 성립하는 것이다.
만일 $f$ 가 정의역 $X$ 의 모든 점에 대해 연속인 경우, 단순히 함수 $f$ 가 연속이라고 한다.

 

이것은 $\mathbb{R}$ 에서의 연속의 정의랑 판박이지요. 이제 이것을 거리공간에서 공의 개념을 통해 기술하면 다음과 같습니다.

 

 

정의($T.P$) 3-14) 거리공간에서 함수의 연속을 열린공으로 서술
두 거리공간 $(X,d)$ 와 $(Y,d')$ 에서 함수 $f: X\longrightarrow Y$ 를 생각하자. 함수 $f$ 가 점 $a\in X$ 에서 연속이라는 것은, $Y$ 의 모든 열린공 $B_{d'} (f(a), \varepsilon)$ 에 대해 $X$ 의 적당한 어떤 열린공 $B_d(a,\delta)$ 가 존재하여 $x\in B_d(a,\varepsilon)\; \Longrightarrow \; f(x)\in B_{d'} (f(a), \varepsilon)$ 이 성립할 때를 말한다. 
이는 $Y$ 에서 열린공 $B_{d'}(f(a), \varepsilon)$ 마다 어떤 열린공 $B_d(a,\delta)$ 가 존재하여 $f(B_d(a,\delta)) \subseteq B_{d'}(f(a),\varepsilon)$ 가 성립하는 경우를 말한다.

 

 

 

2) 수열의 극한과 연계

 

정리($T.P$) 3.14)
거리공간 $(X,d)$ 에서 거리공간 $(Y,d')$ 으로 가는 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자. $f$ 가 점 $a\in X$ 에서 연속일 필요충분조건은, $X$ 에서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=a$ 와 같이 수렴하는 임의의 수열 $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right)=f(a)$ 가 성립하는 것이다.

증명) $\Longrightarrow $ : $f$ 가 $a\in X$ 에서 연속이고, $X$ 의 원소들로 구성된 수열 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=a$ 이라고 하자. 그리고 임의의 $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $f$ 는 $a\in X$ 에서 연속이므로, 어떤 $\delta>0$ 이 존재하여 $x\in X$ 이고 $d(x,a)< \delta$ 라고 할 때 $d'(f(x),f(a)) < \varepsilon$ 이 성립한다. 그리고 수열의 수렴성에 의하여, $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\geq N \; \Longrightarrow \; d(x_n,a)< \delta$ 가 성립한다. 이 둘을 종합하면, $n\geq N$  일 때의 모든 $n$ 값에 대하여 $d(x,a)< \delta$ 를 만족하는 $\delta >0$ 가 존재하고, 따라서 $d'( f(x),f(a)) < \varepsilon$ 까지 성립하므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right)=f(a)$ 임을 알 수 있다.

$\Longleftarrow $ : 대우 명제의 증명으로 대신하자. 보여야 할 것은 만일 $f$ 가 $a\in X$ 에서 연속이 아니면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=a$ 인 수열 $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 이 존재하지만 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right)\neq f(a)$ 인 것이다. $f$ 가 $a\in X$ 에서 연속이 아니라고 가정한다면, $\delta >0$ 이 존재하여 $d(x,a) < \delta$ 이지만 $d' (f(x) , f(a)) \geq \varepsilon$ 이 성립하는 어떤 $\varepsilon >0$ 이 존재한다. 그러면 수열하는 수열 $ \{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 을 $x_n=\displaystyle\frac{1}{n}$ 으로 잡는 경우, 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $d(x_n, a) < \displaystyle\frac{1}{n}$ 은 성립하지만 $d' (f(x_n), f(a)) \geq \varepsilon$ 이 동시에 성립한다. 고로 수열 $ f\left( x_n \right)$ 은 $f(a)$ 로 수렴하지 않는다 $_\blacksquare$

 

 

 

정리($T.P$) 3.15) 거리공간에서 연속의 동치
두 거리공간 $(X,d)$ 와 $(Y,d')$ 에 대하여 둘을 이어주는 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자. 그러면 다음은 동치이다(TFAE).
① $f$ 는 연속이다.
② $a\in X$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n=a$ 이면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right)=f(a)$ 이다.
③ $Y$ 에서의 열린집합 $O$ 에 대하여, $f^{-1}(O)$ 는 $X$ 에서 열린집합이다.
④ $Y$ 에서의 닫힌집합 $C$ 에 대하여, $f^{-1}(C)$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이다.

증명) ① $\Longleftrightarrow$ ② : 위의 정리($T.P$) 3.14) 의 내용이다.
③ $\Longleftrightarrow $ ④ : 우선 충분조건 관계를 보이기 위해 $Y$ 에서의 열린집합 $O$ 에 대해 $f^{-1}(O)$ 가 $X$ 에서 열린집합이고, $Y$ 에서의 닫힌집합 $C$ 를 고려하자. 보이고 싶은 것은 $f^{-1}(C)$ 가 $X$ 에서 닫힌집합이라는 것이다.
닫힌집합의 정의에 의해서 $Y-C$ 는 열린집합이고, ③ 에 의하여 $f^{-1}(Y-C)$ 는 $X$ 에서 열린집합이다. 그러면 $X-f^{-1}(Y_C)$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이다. 이때, $f^{-1}(Y-C) = f^{-1}(Y)-f^{-1}(C) \underset{\text{by set theory}}{=}X- f^{-1}(C)$ 가 성립하므로 결국 $X-f^{-1}(Y-C)=f{-1}(C)$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이 된다. 비슷한 과정으로 반대 방향도 증명할 수 있다.
① $\Longrightarrow$ ③ : $f$ 가 연속이고 $O$ 가 $Y$ 에서 열린집합이라고 하자. $a\in f^{-1}(O)$ 를 하나 생각하자. $f(a)\in O$ 이고 $O$ 가 $Y$ 에서 열린집합이므로, 정리($T.P$) 3.4)-② 에 의하여 $r>0$ 일 때 $Y$ 에서 어떤 열린공이 존재하여 $B_d'(f(a),r)\subseteq O$ 가 성립한다. 그리고 $f$ 가 $a$ 에서 연속이므로, 정의에 의해 어떤 $\delta >0$ 이 존재하여 $x\in X$ 이고 $d(x,a)< \delta \; \Longrightarrow \; d'( f(x), f(a)) < r$ 이 성립한다. 이를 포함관계로 나타내면

$$f\left( B_d(a,\delta) \right)\subseteq B_{d'}(f(a),r)\subseteq O$$
가 되므로, 이로부터 $B_d(a,\delta) \subseteq f^{-1}(O)$ 가 성립한다. 이에 따르면 $f^{-1}(O)$ 는 $r>0$ 이 주어질 때마다 $\delta >0$ 가 존재하게 되어 만들어지는 열린공들로 구성되어 있으므로, $X$ 에서 열린집합이 된다.

③ $\Longrightarrow$ ① : $Y$ 의 열린집합 $O$ 를 생각할 때마다 $f^{-1}(O)$ 는 $X$ 에서 열린집합이 된다. $a\in X$ 를 생각하고, $\varepsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 $B_{d'} (f(a), \varepsilon)$ 은 $Y$ 에서 열린집합이므로 가정에 의하여 $f^{-1}\left( B_{d'} (f(a), \varepsilon) \right)$ 는 $X$ 에서의 열린집합이어야 한다. 그런데 $a\in f^{-1}\left( B_{d'} (f(a), \varepsilon) \right)$ 이므로 정리($T.P$) 3.4)-② 에 의하여 반지름이 어떤 $\delta >0$ 인 열린공이 존재하여 $a\in B_d(a,\delta)\subseteq f^{-1}\left( B_{d'} (f(a), \varepsilon) \right)$ 가 되므로, $f(B_d(a,\delta)) \subseteq B_{d'}(f(a), \varepsilon)$ 이 성립한다.

이것은 주어진 임의의 $\varepsilon$ 에 대해, $x\in X$ 이고 $d(x,a)<\delta \; \Longrightarrow \; d'(f(x),f(a)) < \varepsilon$ 이 성립하게 하는 어떤 $\delta > 0$ 가 존재한다는 사실을 뜻한다. 따라서 연속의 정의를 만족한다. 그리고 $f$ 가 임의의 $a\in X$  에서 연속이므로, $f$ 는 연속이다. $_\blacksquare$

 

 

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예제 1) 두 거리공간 $(X,d)$ 와 $(Y,d)$ 에 대하여 $a\in X$ 가 $X$ 의 극한점이 아니라고 하자. 그러면 모든 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 는 $a\in X$ 에서 연속임을 보여라.

 

Sol) $a\in X$ 가 $X$ 의 극한점이 아니라는 것은, $a$ 주변에 임의의 열린근방을 잡아도 $X$ 의 원소가 유한개만 존재하거나 없다는 것, 즉 무한히 많이 존재할 수는 없음을 뜻한다. 그렇다면 $a$ 주변에 열린공을 적당히 잡더라도 $a$ 를 제외한 $X$ 의 모든 점은 항상 $a$ 와 적당히 떨어진 어떤 거리 $\delta >0$ 를 가지고 있는 셈이다. 그러면 $\delta >0$ 를 선택했을 때 $B_d(a,\delta) = \{a \}$ 임을 뜻한다. 그러면 임의로 $\varepsilon >0$ 이 주어졌을 때, $d(x,a) < \delta$ 를 만족하는 $x$ 는 오직 $x=a$ 뿐이다. 그러면 $f(x)=f(a)$ 인 것이므로 $Y$ 에서 $d'(f(x), f(a)) = d'(f(a), f(a) ) =0 < \varepsilon$ 이 성립한다. 따라서 $f$ 는 $a$ 에서 연속이다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Fred H Croom, principles of Topology