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선형대수학(Linear Algebra)/선형변환15

선형범함수와 쌍대공간(Linear functional and Dual space) 고전역학에서 사이클로이드 곡선 등을 다룰 때 범함수와 변분법에 대한 소개를 한 적이 있습니다. 범함수는 함수의 함수라 할 수 있어서, 어떤 함수 식에 값을 넣으면 그에 따라 스칼라를 토해내는 구조로 생각할 수 있습니다. 함수는 사상, 변환과 같은 것이기에 선형대수학의 언어로 범함수를 처리할 수 있습니다. 물론 선형성을 가진 것만 취급할 것입니다. 1. 선형범함수와 쌍대공간 1) 정의 벡터공간 $V$에서 스칼라 공간 $F$로의 선형변환(사상)을 고려하자. 이러한 모든 선형사상의 집합 $\mathcal{L}(V,F)$ 을 '쌍대공간(Dual space)'라 부르고 $V^{*}$ 라 표기한다. $V^{*}$의 각각의 원소를 '선형범함수(Linear functional)'라 한다. $$V^{*}=\left\{ .. 2022. 2. 18.

행렬과 선형변환의 동형 관계 성질(The Isomorphic relation between Matrix and Linear Transformation) 이제 행렬과 선형변환의 세계를 대응시켜 보면서 두 세계의 유사성을 파악할 시간입니다. 이 내용은 모든 선형대수학 책에 사각형 형태로 기술되어 있기도 하고, 책에 따라 선형대수학의 기본정리라는 거창한 말을 붙이기까지 할 정도로 심도있고 강조해서 다루어야 하기 때문에, 조금 길게 서론을 작성해 보겠습니다. 1. 개요 동형(isomorphic)이라는 말을 다시 한번 떠올려 봅시다. 영어보다는 한자를 생각하면, 한가지·같을 동(同)에 모양·거푸집 형(型)을 씁니다. 직역하면 형태가 동일하다는 뜻이죠. '(무엇과 무엇의)형태가 동일하다'는 말은 '(무엇과 무엇이)완전히 동일하다'는 말과는 다릅니다. 후자의 개념은 'A는 A다'처럼 사실은 같은 대상인데, 그를 가리키는 단어가 둘 이상인 경우를 말합니다. 마치 '총.. 2022. 1. 1.

행렬의 선형변환 : 좌측 곱 변환 (Left-hand Multiplication) 오늘은 $L_A$라는 친구를 파헤쳐 볼겁니다. 이 개념과 동형사상을 합치면 행렬과 선형변환의 구조적 동일성에 도달할 수 있습니다. 그런데 $L_A$에 대한 이해가 여러 선형대수학 책을 봐도 자세하지 않아 쉽지 않을 것이라 생각했을 뿐만 아니라 딱 요지를 정확하게 추출할 줄 알아야 하는데, 많은 책들이 혼란을 가중시키더군요. 그럴 것 같아서 또 이 글을 쓰게 되었습니다. $L_A$는 이를 좌측 곱 변환(Left-hand Multiplication)이라 적어둔 것도 있는데, 이러한 용어보다는 행렬의 선형변환이라는 표현이 좀 더 적절하다고 생각합니다. 이걸 꼭 기억하면서 시작해 봅시다. 1) 행렬의 선형변환을 찾아라. 이 챕터에서 우리는 계속 선형변환(사상)을 공부하고 있습니다. 일종의 함수를 공부하고 있는 .. 2022. 1. 1.

선형변환의 동형사상(Isomorphic, Isomorphism) 이제 선형변환의 종착역이 서서히 보입니다. 오늘은 선형변환과 행렬 사이에 가려져 있던 장막을 서서히 벗겨내서 두 세계를 이어주는 다리를 발굴하고, 그 구조와 의미를 체득하는 것을 목표로 합니다. 이 내용은 어쩌면 선형대수학에서 가장 중요한 부분이며, 추상적인 세계를 머릿속으로 이해하는 과정에서 많은 학생들이 좌절하고는 합니다. 저 또한 그랬고요. 이를 이해하는 것이 굉장히 힘들었었습니다. 하지만 굴복하지 않고 이렇게 글을 쓰고 있지요. 여러분도 묵묵히 따라와 주시길 바랍니다. 앞으로 남은 세 가지 과제는 다음과 같습니다. 1. 동형사상이 무엇인가? 2. 행렬의 선형사상(=좌측 곱 변환) 이 무엇인가? 3. 행렬과 선형사상의 세계가 어떻게 맞물려 있는가? 오늘은 1번을 할 겁니다. 종합적인 이야기는 3에서.. 2021. 12. 29.

가역성과 역변환 (Invertibility and Inverse Transformation) 함수에 대해서도 합성함수를 배우고 나면 자연스레 다음은 역함수에 대해 다룹니다. 오늘은 선형변환도 함수의 일종이니 그의 역함수인 역변환을 다루어보고, 행렬과 연관지었을 때 역행렬에 대응됨을 알아봅시다. 오늘 일들도 현란한 그래프나 그림 따위 없이 오직 식으로만 규칙을 따라 지루하게 차곡차곡 논리들을 쌓는 일이라 만만치 않게 느껴질 것입니다. 어쩌면 선형대수학에서 선형변환의 단원이 특히 어렵게 느껴진다면 그 이유는 이러한 까닭일지도 모릅니다. 1. 선형변환의 가역성 1) 정의 벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 를 생각하자. $TU=I_W$ 이고 $UT=I_V$ 인 함수 $U$를 $T$의 역함수(inverse)라 한다. 역함수가 존재하면 $T$는 '가역(invertible)'이.. 2021. 1. 10.

선형변환의 행렬표현 (4) 좌표와 관련된 공식 **이 포스팅은 선형변환의 행렬표현 (1), (2), (3)과 연결됩니다. 급하신 분들은 (1)만이라도 꼭 학습한 뒤 보는 것을 권합니다. 오늘은 선형변환 단원에서 에서 가장 중요한 공식을 하나 정리할 것입니다. 이것은 선형변환에서 가장 널리, 주요하게 쓰이는 것이자 변환이라는 특성을 제대로 보여주는 진수에 해당하는 식입니다. 그래서 앞으로 다룰 역변환, 좌표변환(기저변환)에서도 큰 영향력을 발휘하니 꼭 정복해 봅시다. 그러나 쉽지는 않습니다. 저의 경우 개인적으로 이 부분을 처음 공부할 때 강의를 못 들어서 독학으로 공부했었는데 제대로 단번에 이해를 못해서 며칠동안 끙끙 고민하느라 시간이 상당히 걸렸습니다. 3) 선형변환의 행렬표현과 좌표 정리($L.A$) 4.15 유한차원 벡터공간 $V,W$의 순서기.. 2021. 1. 2.

선형변환의 행렬표현 (3) 합성과 행렬의 곱 (Composition and the multiplication of matrix) 합과 스칼라 곱을 행렬과 선형변환에 대응하는 방식으로 둘을 연결할 수 있는데, 선형변환의 합성은 행렬 측면에서 곱에 대응됩니다. 즉 어떤 변환을 할 때 행렬을 두 번 곱하는 것이 두 함수의 합성에 대응된다는 것입니다. 이러한 결과 덕분에 두 선형변환의 합성은 기호로 나타낼 때 (실제 함수에서는 도트 표시를 해야 하지만) $U\cdot T=UT$ 로 표현합니다. 1. 선형변환의 모임 먼저 표기법 하나를 배우고 갑시다. $F$-벡터공간 $V,W$에 대하여 $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 $\mathfrak{L}(V,W)$ 라 표기한다. 만일 $V=W$ 이면 $\mathfrak{L}(V,V)$ 는 간단히 $\mathfrak{L}(V)$ 로 표기한다. 2. 합성변환 1) 정.. 2021. 1. 2.

선형변환의 행렬표현 (2) 여러 성질들 저번 포스팅에선 선형변환의 행렬표현이 무엇인지 배웠습니다. 오늘은 그와 관련된 아주 중요한 정리 한 개를 정리하기 위해, 필요한 몇가지 성질들을 알아보려고 합니다. 1. 항등변환과 영변환 항등변환과 영변환에 대응되는 행렬표현은 각각 항등행렬(단위행렬)과 영행렬입니다. $V$와 $W$는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 $\beta =\left \{ v_1,\cdots ,v_n \right \}\;\;,\;\;\gamma =\left \{ w_1,\cdots ,w_m \right \}$ 이라 하자. ① 영변환 $T_0(v_j)=\mathbf{0}=0w_1+0w_2+\cdots +0w_m=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}0\cdot w_i$ 이므로 $$\left [ T \right ]_.. 2020. 12. 29.

선형변환의 행렬표현 (1) 정의 (The definition of Matrix Representation of the Linear Transformation) 선형변환에서 가장 중요한게 바로 선형변환의 행렬표현을 발굴하는 작업입니다. 이 행렬을 찾는 과정도 금방금방 할 수 있지 않을 뿐더러 정리를 증명하는 과정도 다사다난하니 단단히 마음을 먹고 출발해 봅시다. 1. 선형변환의 행렬표현 (Matrix Representation of the Linear Transformation) 1) 정의 유한차원 벡터공간 $V,W$ 와 각각의 순서기저 $\beta =\left \{ v_1.v_2,\cdots v_n \right \}$ 와 $\gamma =\left \{ w_1,w_2,\cdots w_m \right \}$ 및 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 를 생각하자. $j=1,2,\cdots ,n$ 일 때 $j$ 마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 $a_{ij}.. 2020. 12. 21.

좌표, 좌표벡터의 뜻 (Coordinate vector) 선형변환의 꽃은 결국 선형변환이 행렬에 대응되는 관계를 보여 행렬과 선형변환이 동형(isomorphism)임을 보이는 것입니다. 선형변환은 함수이기 때문에, 선형성을 가지는 함수는 반드시 행렬로 표현될 수 있다는 말입니다. 행렬은 연립방정식을 잘 풀어보려는 노력에서 고안된 것인데, 이것이 함수랑 연관되어 있다는 것은 가히 충격이 아닐 수 없습니다. 아무튼 그리하여 주어진 선형변환에 해당하는 행렬을 구할 수도 있고, 어떤 행렬에 대해 대응되는 선형변환을 구할 수도 있습니다. 둘 다 가능합니다. 오늘은 전자에 해당하는 방법과 개념을 살펴보도록 하겠습니다. 선형변환 단원에서 가장 중요한 내용이 바로 오늘 할 것들입니다. 1. 좌표벡터 먼저 기저를 이용해 좌표(coordinates)를 정확히 정의하는 작업이 필.. 2020. 12. 20.

기저의 선형변환 표현이 유일함을 증명 (Proof the Uniqueness of expression of basis vector transformation) 오늘 볼 내용은 한 기저벡터를 선형변환 하였을 때 나온 값에 대하여 이러한 선형변환이 유일함을 보이는 것입니다. 다시말해 기저벡터의가 정의역의 한 원소 $x$이면 선형사상을 통해 치역의 한 원소 $y$로 대응될 때, $x$를 $y$로 만드는 선형변환이 유일하다는 뜻입니다. 이 정리를 어떤 기저벡터를 선형변환한 값이 그 기저벡터만이랑 일대일로 대응되는 것이라 착각하면 안됩니다. 즉 여러개의 기저벡터가 한 선형변환을 타고 동일한 치역의 원소로 대응될 수도 있기는 합니다. 이 정리는 이런 상황을 만들 수 없다는 뜻이 아니라, 선형변환의 유일성과 존재성을 가리키고 있는 것입니다. 이 정리는 그 자체로는 굳이 증명하지 않아도 이해할 수 있겠으나 다른 정리를 증명하는데 쓸모가 많기에 살펴보려고 합니다. 정리($L... 2020. 12. 20.

선형변환에서 단사, 전사, 전단사 함수는 정의역, 공역, 치역의 관계에 따라 단사, 전사, 전단사 등으로 분류됩니다. 선형변환 역시 선형인 함수이기 때문에 이러한 성질을 가질 수 있는데, 이런 성질이 없는 것보다 가지고 있을 때 특별히 더 중요합니다. 일반적인 함수 중에서도 역함수가 존재하는 일대일 대응인 함수를 더 많이 다루는 것과 유사한 이치입니다. 정리($L.A$) 4.5 벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 $T$가 단사함수(injective, one-to-one)인 것은 $N(T)=\left \{ \mathbf{0} \right \}$ 인 것과 필요충분조건이다. 증명은 아주 쉽습니다. 증명) i) $T$가 단사함수라 하자. $x\in N(T)$ 이면 $T(x)=\mathbf{0}$ 이고 정리.. 2020. 12. 17.

계수-퇴화차수 정리 (Rank-nullity Theorem) 1. 영공간과 상공간의 차원 차원에 대해서는 설명을 한 적이 있습니다. 두 공간의 차원을 다음과 같이 정의합니다. 벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 $N(T)$ 와 $R(T)$ 가 유한차원이라 가정하자. $N(T)$ 의 차원을 $\mathrm{nullity}$ 라 하고, $\mathrm{nullity}(T)$ 라 표기한다. $R(T)$ 의 차원을 $\mathrm{rank}$(랭크)라 하고, $\mathrm{rank}(T)$ 라 표기한다. 연립방정식에서는 비동차 방정식을 풀어 해를 쓸 때 동차방정식의 해가 포함된다는 굉장한 특징을 가집니다. 그러므로 연립방정식을 행렬을 이용해 표현하게 되더라도 이러한 성질이 행렬의 세상에서 적용되는데, 그것이 바로 행렬의 랭크와 퇴.. 2020. 12. 17.

선형변환의 영공간과 상공간 (Nullspace and Range of the Linear tranformation) 함수가 무엇인지 배우고 나면 함수에서 등장하는 용어 및 기본함수들을 가장 먼저 배우게 됩니다. 선형함수에 대해서도 그러한 개념들이 있는데 하나씩 살펴봅시다. 또한 참고로, 선형변환과 행렬은 아주 깊은 관계를 가지고 있어서 같은 용어를 사용하는 경우가 많습니다. 결국에는 궁극적으로 같은 뜻임을 염두해 두면 좋습니다. 1. 항등변환과 영변환 항등변환(identity transformation)이란 $I_V:V\rightarrow V$로 정의되는 모든 $x\in V$에 대해 $I_V(x)=x$ 를 만족하는 함수이다. 영변환(zero transformation)이란 $T_0:V\rightarrow W$ 로 정의되는 모든 $x\in V$ 에 대하여 $T_0(x)=\mathbf{0}$ 이라 정의되는 함수이다. 변환.. 2020. 12. 16.

선형과 선형변환 (Linearity and Linear Transformation) 대학에 올라와 미적분학을 만나 대학수학을 시작하게 되면 필연적으로 '선형(線形, Linear)'이라는 말을 수도 없이 듣게 됩니다. 만약 그런 기억이 없다면 수학공부를 제대로 하지 않았다고 자기자신을 의심해야 할 정도입니다. 미분이나 적분은 선형성을 가진다는 말이 미적분학 책에 꼭 나와있기 마련입니다. 그러나 선형이라는 말은 검색을 해보아도, 영어 단어를 보아도, 직선스럽다는 의미까진 얻을 수 있는 가진 한자를 보아도 확실히 피부로 와닿는 느낌을 받기가 어렵습니다. 그래서 선형이라는 것은 분명 엄밀한 수학적 정의가 있지만, 딱딱한 정의를 먼저 보면 지치고 싫증나기 마련이죠. 몇가지를 예로 들며 직관적인 이해를 돕고자 합니다. 수학에서 선형(Linear)이라 함은 큰 덩어리를 서로 같은 작은 덩어리들의 합.. 2020. 12. 16.

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