가역성과 역변환 (Invertibility and Inverse Transformation)

함수에 대해서도 합성함수를 배우고 나면 자연스레 다음은 역함수에 대해 다룹니다. 오늘은 선형변환도 함수의 일종이니 그의 역함수인 역변환을 다루어보고, 행렬과 연관지었을 때 역행렬에 대응됨을 알아봅시다. 오늘 일들도 현란한 그래프나 그림 따위 없이 오직 식으로만 규칙을 따라 지루하게 차곡차곡 논리들을 쌓는 일이라 만만치 않게 느껴질 것입니다. 어쩌면 선형대수학에서 선형변환의 단원이 특히 어렵게 느껴진다면 그 이유는 이러한 까닭일지도 모릅니다.

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1. 선형변환의 가역성

 

1) 정의

 

벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 를 생각하자. $TU=I_W$ 이고 $UT=I_V$ 인 함수 $U$를 $T$의 역함수(inverse)라 한다. 역함수가 존재하면 $T$는 '가역(invertible)'이라 하며, $T^{-1}$ 로 나타낸다.

정리($L.A$) 4.16

가역함수는 다음의 성질을 갖는다.
① $(TU)^{-1}=U^{-1}T^{-1}$
② $\left ( T^{-1} \right )^{-1}=T$
③ 함수가 가역이기 위한 필요충분조건은 그 함수가 전단사(bijective)인 것이다. 이는 즉 정리($L.A$) 4.6 에 의하여 $\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(V)$ 임을 뜻한다.

 

가역이라는 것은 선형변환 $T$의 역변환 $T^{-1}$ 이 존재한다는 뜻입니다. 역변환이 존재하려면 치역에서 정의역으로 되돌아가는 함수를 만드는 것이니 전단사여야 하는 것이고, 선형변환의 차원적 접근에서는 상공간에 의한 차원인 랭크와 $V$의 차원이 같아야 함을 뜻합니다. 달리 말하자면 이는 영공간의 원소가 오직 영벡터 뿐임을 뜻하며, 이 모든 성질을 행렬에 그대로 적용했을 때 역행렬의 존재 조건과 완벽히 맞아 떨어짐을 알 수 있습니다. (그래서 선형변환은 행렬 이론을 학습한 뒤에 보는 것이 좋습니다)

 

 

2) 역변환과 선형성

 

정리($L.A$) 4.17

벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 역변환 $T^{-1}:W\rightarrow V$ 또한 선형이다.

따름정리($L.A$) 4.17.1

선형변환 $T:V\rightarrow W$ 이 가역이면, 벡터공간 $V$가 유한차원이기 위한 필요충분조건은 $W$가 유한차원인 것이다. 그리고 이 때 $\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(W)$ 이다.

 

증명) $y_1,y_2 \in W$ 와 $c\in F$ 에 대하여 $T$가 가역이면 전단사이므로 $T(x_1)=y_1\;,\;T(x_2)=y_2$ 를 만족하는 $x_1,x_2$ 가 유일하게 존재한다. 그러므로 $x_1=T^{-1}(y_1)\;,\;x_2=T^{-1}(y_2)$ 가 성립하여

$$\begin{align*}
T^{-1}(cy_1+cy_2)&=T^{-1}\left \{ cT(x_1)+T(x_2) \right \}=T^{-1}\left \{ T(cx_1+x_2) \right \}
\\\\&=cx_1+x_2=cT^{-1}(y_1)+T^{-1}(y_2)
\end{align*}$$
고로 $T^{-1}$ 도 선형이다.


따름정리의 증명) 유한차원 벡터공간 $V$의 기저집합을 $\beta$라 하면, 정리($L.A$) 4.3 에 의하여 $T(\beta)$ 가 $R(T)=W$ 를 생성한다. $T$가 가역이라 가정하면 정리($L.A$) 4.6 에 의하여 $T$는 전단사이므로

$$\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(R(T))=\mathrm{dim}(W)$$
가 성립한다.

역으로 $\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(W)$ 가 성립하면 계수-퇴화차수 정리에 의하여

$$\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(R(T))=\mathrm{nullity}(T)+\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(W)$$
가 성립한다. 그런데 $\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(R(T))=\mathrm{dim}(W)$ 이므로 $\mathrm{nullity}(T)=0$ 이고, 이는 $T$가 단사임을 뜻한다. 정리($L.A$) 4.6 에 의하여 유한차원 벡터공간 $V,W$에 대한 선형변환 $T$가 단사이면 전단사이므로, $T$는 가역이다.

 

역함수에 대한 개념이야 워낙 어느정도 가지고 계실 것이고, 더욱이 역행렬까지 학습하고 오셨다면 증명 자체가 엄청 중요하진 않습니다. 그러나, 증명 과정을 일일이 써둔 이유는 과제하실 때 배끼란 것이 아니고 손수 해보면서 역변환과 가역성에 관한 공간적 구조를 머리속에 천천히 그려나갈 수 있는 능력을 배양해야 하기 때문입니다. 정리만 보고 '당연히 그러겠지' 라는 생각만 하며 눈으로 훑고 대충 지나가면, 이 단원의 끝부분에서 무너집니다.

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2. 역행렬

 

행렬에 관한 이론에서 이미 역행렬이 무엇인지 배우고 왔습니다.

 

$A\in M_n(F)$ 일 때, $AB=I_n=BA$ 인 행렬 $B\in M_n(F)$ 가 존재하면 $B$를 $A$의 역행렬이라 하며,
$A$는 가역(invertible)이라 하고 $B=A^{-1}\;,\;A=B^{-1}$ 로 표기한다.

 

이제 역행렬의 개념을 이용하여, 선형변환의 행렬표현의 역행렬과 선형변환의 역변환의 행렬표현이 같다는 것의 의미를 추출해 낼 것입니다. 이 정리의 증명은 위의 것들보다 까다롭고 어려우니, 침착하게 집중해서 따라옵시다.

 

정리($L.A$) 4.18

유한차원 벡터공간 $V,W$와 이들 각각의 순서기저 $\beta,\gamma$, 그리고 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대해 $T$가 가역이기 위한 필요충분조건은 행렬표현 $\left ([ T \right ])_\beta^\gamma$ 가 가역인 것이다. 특히,
$$\left [ T^{-1} \right ]_\beta^\gamma = \left ( \left [ T \right ]_\beta^\gamma \right )^{-1}$$ 이 성립한다.

 

증명)

i) $T$가 가역이라 가정하자. 그리고 (위 따름정리에 의하여) $\mathrm{dim}V=\mathrm{W}=n$ 인 자연수 $n$이 존재한다고 하자. 그러면 이 때 $\left ([ T \right ])_\beta^\gamma$ 는 $n\times n$ 행렬이다.

역함수 $T^{-1}:W\rightarrow V$ 를 생각하자. $TT^{-1}=I_W\;,\;T^{-1}T=I_V$ 이므로

$$I_n=\left [ I_V \right ]_\beta=\left [ T^{-1}T \right ]_\beta=\left [ T^{-1} \right ]_\gamma^\beta  \left [ T \right ]_\beta^\gamma \\\\
I_n=\left [ I_W \right ]_\gamma=\left [ TT^{-1} \right ]_\gamma=\left [ T \right ]_\beta^\gamma 
\left [ T^{-1} \right ]_\gamma^\beta$$
가 성립한다. 따라서, $\left ([ T \right ])_\beta^\gamma$ 는 가역이고 $\left [ T^{-1} \right ]_\beta^\gamma = \left ( \left [ T \right ]_\beta^\gamma \right )^{-1}$ 이다.

ii) $A=\left ([ T \right ])_\beta^\gamma$ 가 가역이라 가정하자. 그러면 $AB=BA=I_n$ 인 $A^{-1}=B$ 가 존재한다. 이 때$V,W$의 기저를 $\beta=\left \{ v_1,\cdots ,v_n \right \}\;,\;\gamma=\left \{ w_1,\cdots ,w_n \right \}$ 이라 하면 기저의 선형변환 표현은 유일하므로 다음을 만족하는 선형변환

$$U(w_j)=\sum_{i=1}^{n}B_{ij}v_i \;\;\;\;\;(j=1,2,\cdots ,n)$$
인 $U\in \mathfrak{L}(V,W)$ 가 존재한다. 즉 $B_{ij}$를 성분으로 하는 선형변환 $U$의 $\beta, \gamma$ 를 이용한 행렬표현을 만들 수 있다는 것이다.

그러면 이제 $U=T^{-1}$ 을 증명해야 한다. 그래야만 $AB=BA=I_n$ 의 $B$와 바로 위에서 $B_{ij}$ 들로 구성된 $B$가 같음을 보이는 것이기 때문이다. 이는 정리($L.A$) 4.14 를 이용하면 다음과 같이 전개할 수 있다.

$$\left [ UT \right ]_\beta=\left [ U \right ]_\gamma^\beta \left [ T \right ]_\beta^\gamma =BA
=I_n=\left [ I_V \right ]_\beta \\\\
\left [ TU \right ]_\gamma=\left [ T \right ]_\beta^\gamma \left [ U \right ]_\gamma^\beta =AB
=I_n=\left [ I_W \right ]_\gamma$$
고로 $UT=I_V\;,\;TU=I_W$ 임이 증명된다.

 

만약 정의역과 치역이 같은 벡터공간이라면 기저도 오직 한 개만 다루면 되니, 위 정리를 좀 더 간단히 만들 수 있습니다. 정리 4.18이 더 복잡한 형태라 아래는 증명하지 않겠습니다.

 

따름정리($L.A$) 4.18.1

유한차원 벡터공간 $V$에 대하여 선형변환 $T:V\rightarrow V$ 가 가역일 필요충분조건은 $\left [ T \right ]_\beta$ 가 가역인 것이고,
$$\left [ T^{-1} \right ]_\beta = \left ( \left [ T \right ]_\beta \right )^{-1}$$ 가 성립한다.

 

 

 

[참고문헌]

 

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON