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정수론(Number Theory)/합동 이론5

정수론의 합동에서 동치류들의 연산 여태까지 합동에 관한 뼈대가 되는 개념들을 모두 다루었습니다. 이번 글부터는 본격적으로 대수학을 하기 위해

$\mathbb{Z}_n$ 과

$\mathbb{Z}_n^*$ 을 다루는 과정에서 필요한 동치류들의 연산에 대해 정리할 것입니다. 이미 배웠던 내용, 특히 합동의 연산 성질을 바탕으로 약간만 확장하는 것이기 때문에 그리 어렵지 않을 것입니다. 그러나 결론적으로 보면, 합동식

$ax\equiv b \;(\text{mod}\; n)$ 와 같은 식에서 사실 해는 무수히 많아 동치류들로 적는다는 점을 고려할 때,

$\mathbb{Z}$ 를

$\mathbb{Z}_n$ 으로 줄여서 생각하더라도 그러한 합동의 개념 본질이 달라지는 것은 아니기 때문에 사실 합동의 연산 관계들은 자연스럽게 동치류에서도 성립할 것임.. 2024. 6. 29.

합동방정식(congruence equation) 이번 주제는 정수론에서 합동에 대한 개념을 바탕으로 합동방정식의 해를 찾는 일입니다. 이 작업은 일차적으로 정수론에서 1차 선형 디오판토스 방정식에 대해 알고 있어야만 이해할 수 있습니다. 하지만 합동방정식을 조금 더 풍부하게 이해하기 위해서는 선형대수학의 방정식 논리를 알고 있는 것이 좋기는 합니다. 일반적인 연립방정식과 다른 점은 합동방정식이 미분방정식에서처럼 해의 개수가 단 하나로 떨어지지 않는다는 점입니다. 이는 동치류가 품고 있는 무수히 많은 원소들이 모두 해가 될 수 있다는 사실에 기반하고 있습니다. 또한 해의 꼴을 보면, 디오판토스 방정식처럼 합동방정식은 선형대수학에서 연립방정식의 해의 논리와 유사한 점이 많습니다. 방정식은 근본적으로 대수적인 관점이 녹아 들어있기 때문입니다. 만일 선.. 2024. 6. 27.

합동의 연산성질(Operations on congruence in the Number Theory) 합동의 대한 기초 개념을 학습하고 나서는 합동 관계에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하는 방법을 익혀야 합니다. 이 개념은 정수론뿐만 아니라 대수학의 군론을 시작할 때 반드시 필요하므로 이번 글의 중요성을 또 한번 강조해도 지나치지 않습니다. 1. 합동의 기본 연산 1) 덧셈과 곱셈의 기본 연산 정리(

$N.T$ ) 3.6) 두 합동식은 연결해서 양변 각각 덧셈과 곱셈이 가능

$a\equiv b\;(\text{mod}\; n)$ 이고

$c\equiv d\;(\text{mod}\; n)$ 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.①

$a+c=b+d\;(\text{mod}\; n)$ ②

$ac=bd\;(\text{mod}\; n)$ 따름정리(

$a\equiv b\;(\text{mod}\; n)$ .. 2024. 6. 24.

정수론에서의 법

$n$ 에 대한 잉여류(residue class in the Number theory) 잉여류는 대수학의 시작, 즉 군론에 입문할 때 반드시 알아야 하는 정수론의 개념입니다. 저는 정수론의 기초를 잘 모른 채 대수학 공부를 시작했었는데, 그 때문에 정말 골머리를 앓았던 기억이 생생합니다. 그런데 군론을 공부하고 나서 정수론의 개념 중 단 한가지만 제가 제대로 알고 넘어갔다면, 하는 후회가 남는 것이 바로 합동과 이 잉여류의 개념입니다. 달리 말하자면 여러분이 만일 정수론에 대한 빠삭한 학습 없이 대수학을 공부해야 한다면 합동과 잉여류에 대한 개념은 반드시 알아야 한다는 것입니다. 왜냐하면 군론을 다룰 때는 순환군과 더불어

$\mathbb{Z}_n$ 을 알아야 하고, 이것이 나중에 몫 군

$\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$ 과 동형(isomorphic)이라는 것을 보이게 되는데 .. 2024. 1. 29.

정수론에서 합동(Congruence) 정수론에서 합동 개념은 수학적으로 매우 중요할 뿐더러 일상 생활의 여러 문제에 대입하여 활용될 수 있습니다. 아주 큰 수의 마지막 자리수를 찾는다거나, 아주 큰 수가 적당히 작은 수로 나누어 떨어지는지 등의 문제, 또는 과거 몇 년 몇 월 며칠이 어떤 요일이었는지를 알아내는데도 사용될 수 있습니다. 이는, 결국 숫자의 비슷한 구조가 계속 '반복'된다는 점을 합동 개념을 통해 하나로 묶어 생각하는 것이기 때문입니다. 합동관계는 동치관계의 한 예시로 집합론에서 등장했던 적이 있고, 이후 추상대수학을 공부할 때 매우 매우 많이 등장합니다. 부득이하게 정수론을 제대로 학습하지 못했다고 하더라도, 대수학을 공부하기 위해서 정수론의 합동 개념은 반드시 필요한 도구입니다. 숫자가 가진 어떠한 성질이 계속 반복된다.. 2024. 1. 10.

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