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위상수학(Topology)/거리공간5

거리공간에서 함수의 연속(Continuity in the Metric space) 이제 거리공간을 두 개 잡아두고, 함수를 도입해서 하나의 거리공간에서 다른 거리공간으로 가는 연속함수에 대해 살펴보려고 합니다. 해석학에서 주로 관찰 대상이 되는 함수는 미분이나 적분이 가능한 것이지만, 위상수학에서는 주로 관찰하는 함수는 연속함수에 해당하므로 과목 전반에 걸쳐 연속함수의 중요성은 아무리 강조해도 지나치지 않습니다. 1. 거리공간에서 함수의 연속 1) 정의 거리공간에서 함수의 연속은 다음과 같이 정의합니다. 미적분학에서 해석학에서 했었던

$\mathbb{R}$ 에서의 함수의 연속성을 확장하면 거리공간에서의 정의와 부드럽게 연결될 수 있습니다. 정의(

$T.P$ ) 3-13) 거리공간에서 함수의 연속두 거리공간

$(X,d)$ 와

$(Y,d')$ 에 대해 함수 $f: X\longrightar.. 2024. 7. 30.

거리공간에서 닫힌집합과 폐포, 내부, 경계(Closed set and closure, interior, boundary in the Metric topological space) 이제 거리공간에서 위상적 성질을 대부분 살펴보았으니, 마지막으로 영역에 관한 용어들을 소개하겠습니다. 1. 거리공간에서 영역 1) 근방, 내부, 폐포의 정의 정의(

$T.P$ ) 3-10) 거리공간에서 근방거리공간

$(X,d)$ 의 점

$x\in X$ 에 대해 어떤 집합이

$x$ 의 '근방(neighborhood)'일 필요충분조건은 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 것이다. 여기서

$r>0$ 은 열린공의 반지름이다.① 열린집합(열린공)

$U=B_d(x,r)$ 가

$x$ 의 근방 :

$(X,d)$ 위에서의 열린집합

$U=B_d(x,r)$ 가

$x$ 를 포함하고 있는 경우②

$A\subseteq X$ 가

$x$ 의 근방 :

$U=B_d(x,r)\subseteq A$ 인 열린집합

$U=B_d(x,r)$ 가 $x\.. 2024. 7. 24.

거리공간에서 극한점과 수열의 수렴(Limit point and convergent sequence in the Metric space) 지금 우리는 거리공간의 위상적 성질을 탐구하고 있습니다. 이제 무시무시한 극한점의 개념이 또 등장했는데, 극한점의 개념은 실직선에서 들여다 보았을 때 이해하기 가장 간편하기 때문에 실직선에서의 극한점 개념을 반드시 숙지하고 넘어왔으면 합니다. 사실 거리공간에서의 극한점도 실수에서의 극한점 개념을 약간 확장한 것과 전혀 다름이 없기 때문에 그를 알고 있다면 날먹할 수 있습니다. 거리공간 버전으로 옷만 갈아 입는다, 이렇게 생각해도 문제가 없습니다. 그럼 거의 비슷한데 왜 이런 짓거리를 또 하냐고 물을 수 있겠지요. 거리공간에서는 극한점 자체의 개념이 중요하기보다도, 수열의 수렴과 엮어서 몇가지 뜻깊은 개념을 건설할 수 있다는 것이 저의 답변입니다. 그 개념으로는 '코시수열(Cauchy sequence)'와.. 2024. 7. 23.

거리공간의 위상적 성질(Topological properties on the metric space) 위상수학을 공부할 때 가장 핵심적인 공간을 하나 뽑으라면 저는 거리공간을 택할 것 같습니다. 몇가지 이유가 있지만 가장 원초적인 까닭은 다음과 같습니다. 위상공간 자체는, 이를 선명하게 이미지를 그려 '상상화'하는 것이 원래 무척 어렵고 불가능에 가깝습니다. 그러나 거리공간은 위상공간 다음으로 큰 범주의 공간인데 거리공간부터(놈 공간, 유클리드 공간 등등은) 열린 '공'의 개념으로 열린집합을 이미지화, 구체화하는 것이 가능합니다. 다시말해 직관적인 이해가 가능하려면 벤다이어그램을 그린다든지, 일상에서의 용어 개념과 연결지어 찰떡같고 번쩍이는 그런 상황들이 몇개 떠올라야 하는데, 가장 추상적인 위상공간은 도대체 무엇을 말하는지 떠올리는게 어렵지만 거리공간부터는 가능하다는 뜻입니다. 예를 들어 위상수학을 공.. 2024. 7. 2.

거리공간의 정의(Metric space) 위상수학을 공부할 때 거리공간을 알아야 하는 이유 중 가장 중요한 것은 다음 글의 초석에서 적어두긴 하였으나, 일단 위상적 성질을 제껴두고 거리공간에 대한 본질적인 것부터 익히는 것이 이번 글의 목표입니다. 위상수학, 해석학, 선형대수학을 공부하면 공간에 대한 언급이 끊임없이 등장합니다. 초등학생때부터 대학교까지 공부를 하다 보면, 다른 과목들도 마찬가지이지만, 수학의 경우 좁은 개념이나 굉장히 깔끔하고 정돈된 개념을 먼저 다루다가 점차 영역을 넓혀 추상적인 개념으로 확장된다는 특징을 어렵지 않게 찾아볼 수 있습니다. 예컨대 선형대수학에서 배우는 벡터공간은 가군(module)이라는 것으로 취급할 수 있는데, 연산이 두 개이기 때문에 일반적인 군이 전혀 아닙니다. 그렇다고 선형대수학에서 당장 벡터를 다루어.. 2024. 5. 13.

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