'위상수학(Topology)/위상공간' 카테고리의 글 목록

하우스도르프 공간과 위상공간에서 수열의 수렴(Hausdorff space and the convergence of a sequence in the topological space) 하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요합니다. 하우스도르프는 독일의 수학자로 위상수학에 많은 기여를 한 인물입니다. 수학을 공부하면 집합론에서 마주치는 하우스도르프 극대 원리에서 이 인물의 이름을 처음 마주하게 되지요. 하우스도르프는 독일의 유대인 가정에서 태어났고 라이프치히 대학에서 수학과 철학을 공부했습니다. 그러나 안타깝게도 나치 독일 시절 유대인으로서 핍박과 어려움을 겪었고, 끝내 비극적인 죽음을 마주하게 됩니다. 현대 수학에서는 위상수학에서 그의 이름이 붙은 것도 많고 그의 손길이 구석구석 닿은 부분들이 정말 많습니다. 그들 중 하나인 하우스도르프 공간이 오늘 우리가 살펴볼 것입니다. 하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요하다고 적어놓았지요. 이것은 컴팩트성을 할 때나 분리공리 .. 2024. 8. 26.

위상동형사상, 위상적 동치(homeomorphism, topological equivalent) 이제 위상수학에서 흔히 언급되는, 대상을 늘이거나 구겨도 위상적 동형이라는 명제에 대한 이해를 다루어 보기 시작하려고 합니다. 여태까지 배운 기초 개념들을 동원하여 위상동형사상에 대해 알아보도록 하겠습니다. 특히 연속성의 개념이 무척 중요합니다. 1. 열린함수, 닫힌함수(열린사상, 닫힌사상) 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-30) 열린함수와 닫힌함수(또는 열린사상과 닫힌사상)위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 와

$(Y,\mathcal{T}')$ 에 대해 함수

$f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자.1)

$X$ 에서의 임의의 열린집합

$U$ 를 생각할 때,

$f(U)$ 가 항상

$Y$ 에서 열린집합인 함수

$f$ 를 '열린함수(open function)'이라 한다. 즉, 이는 $U\i.. 2024. 6. 11.

위상공간에서 함수의 연속의 정의(Continuous function in topology) 위상수학은 모든 수학 중에서 가장 추상적이고 포괄적이며 일반적인 대상을 다루는 것이라고 볼 수 있습니다. 함수의 연속 개념은 고등학생때부터 줄곧 배워왔던 개념이지만, 위상수학에까지 와야 가장 포괄적인 정의를 만나볼 수 있습니다. 이를 이해하기 위해서는 극한과 연속에 대한 해석학 수준의 개념, 다시 말해 엡실론-델타 논법에 대한 이해와 약간의 차원을 높였을 때 그것이 어떻게 되는지에 대한 개념이 선수적으로 필요합니다. 1. 함수의 연속 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-24) 위상공간에서 연속에 대한 정의1두 위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 와

$(Y,\mathcal{T}')$ 사이의 함수

$f:X\longrightarrow Y$ 와 점

$x\in X$ 를 생각하자. 함수

$f$ 가

$a$ 에서 '.. 2024. 4. 25.

위상수학에서 극한점, 집적점(limit point, accumulation point, cluster point) 극한점(limit point), 집적점(cluster point or accumulation point)라 불리는 이 친구는 사실 위상수학과 해석학의 딱 중간에 걸쳐 있는 가교 역할을 하는 무시무시한 친구입니다. 몇 번 마주쳐서 공부를 해보신 분들이라면 이 극한점의 개념은 난이도가 어렵지 않아 보이면서도 은근히 까다롭게 뇌에 과부하를 걸리게 만들고 알듯 말듯 헷갈리는 개념이라는 것을 많이 느꼈을 것이라 생각합니다. 실제로 극한점은 위상수학에서 폐포를 정의하거나 닫힌집합과 열린집합을 구분하는데 쓰이긴 하지만, 폐포를 정의하는 방법은 여러가지이고 닫힌집합과 열린집합을 구분하는 일에 꼭 극한점을 끌여들여야 할 필요는 없다고 느낄 수 있습니다. 그래서, 숨겨진 극한점의 정수는 사실 해석학에서의 개념입니다. 극한.. 2024. 4. 21.

위상수학에서 내부, 폐포, 경계, 외부(Interior, closure, boundary, exterior in Topology) 계속해서 '열림'과 '닫힘'이라는 성질을 연구하였으니, 언어적으로 볼 때 이들 개념을 바탕으로 어떤 영역의 경계에 관한 설명을 하는 것임을 예상할 수 있습니다. 열림과 닫힘의 성질을 이용해 주어진 대상의 내부와 경계에 대한 논의를 할 수 있습니다.1. 집합의 내부, 폐포, 경계, 외부 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-18) 내부, 폐포, 경계, 외부의 정의위상공간

$(X,\mathcal{T})$ 와 부분집합

$A\subseteq X$ 를 생각하자.①

$A$ 의 '내부(interior)'란

$A$ 에 포함된 모든 열린집합의 합집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 : $$\begin{align*} \operatorname{int}(A)=A^\circ&:=\displaystyle \.. 2024. 4. 20.

위상수학에서 닫힌집합(Closed set in topology) 여태까지는 줄곧 열린집합이 무엇인지만 설명하고, 위상의 원소를 열린집합이라고 정의하였습니다. 이는 무엇이 '열려'있다는 것인지 처음에 직관적인 납득이 어렵다는 문제를 안고 있습니다. 닫힌집합의 정의를 살펴보면서, 점점 깊이있는 학습을 하다 보면 추상적인 이 정의가 구체적으로 가시적으로 열려있다는 표현과 어떻게 연결되는지 깨닫게 됩니다. 닫힌집합의 정의 역시 처음에 보면 추상적이긴 하지만, 계속 헤아려 보면서 앞으로 나아가는 수밖에 없습니다. 또한, 열린 것과 상대적 열림이 무엇인지 맥락상의 차이가 존재했듯이, 닫힌 것과 상대적으로 닫힌 것의 미묘한 차이를 잡아챌 수 있어야 합니다. 이 글 역시, 일단 가볍게 1차원인 실수선에서의 닫힌집합 정의가 무엇인지 알고 있으면 더욱 좋습니다. 1. 닫.. 2024. 4. 18.

부분공간위상(Subspace topology) 이번 주제는 부분공간위상입니다. 기저의 의미가 선형대수학에서와 위상수학에서가 천차만별이었듯이, 부분공간이라는 비슷한 단어가 들어가 있음에도 불구하고 위상수학에서의 부분공간위상은 선형대수학에서의 그것과 또한 매우 다릅니다. 1. 부분위상 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-15) 부분공간위상과 상대적 열린집합

$(X,\mathcal{T})$ 를 위상공간이라 하자. 어떤

$Y\subseteq X$ 에 대하여, 집합족

$\mathcal{T}_Y=\left\{ Y\cap U\mid U\in\mathcal{T} \right\}=\left\{ V\subseteq Y\mid V=Y\cap U\;\text{ for some }U\in\mathcal{T} \right\}$ 은

$Y$ 위에서의 위상이 되며, '부분공간위상(.. 2024. 4. 17.

곱 위상(Product topology) 이미 위상공간인 두 집합이 제시되었을 때, 이들을 데카르트 곱으로 묶어 집합을 만들고 그 위에서 위상을 만들 수 있습니다. 이에 대해 알아봅시다. 1. 곱 위상 1) 정의 정의(

$T.P$ ) 2-13) 곱 위상

$(X,\mathcal{T}),(Y,\mathcal{T}')$ 을 위상공간이라고 하자. 데카르트곱

$X\times Y$ 에서의 '곱 위상(product topology)이란', 모든 각각의 열린집합

$U\subseteq X\;,\;V\subseteq Y$ 들로 이루어진 데카르트곱

$U\times V$ 를 기저원소

$B\in\mathcal{B}$ 로 가지는 기저

$\mathcal{B}=\displaystyle \bigcup_{U\subseteq X,V\subseteq Y}^{}(U\times V)$ .. 2024. 4. 13.

순서위상과 광선(Order topology and ray) 순서위상은, 전순서가 주어진 집합에서 위상을 부여하는 방법에 관련된 것입니다. 따라서 집합론의 전순서 개념을 필히 알고 있어야 하고, 순서위상의 개념을 이용하여 구간(interval)에 대한 정의를 할 수 있게 됩니다. 1.순서위상 1) 구간의 정의 정의(

$T.P$ ) 2-10) 구간(intervals) 전순서(선형순서)집합

$(X,\leq)$ 를 생각하자.

$a① 열린구간(open interval) :$ (a,b)=\{ x\in X \mid a② (오른쪽)반열린구간(half open interval) :

$[a,b)]=\{ x\in X\mid a\leq x ③ (왼쪽)반열린구간(half open interval) :$ (a,b]=\{ x\in X\mid a④ 닫힌구간(closed interval) : $.. 2024. 4. 10.

위상수학에서 부분기저(Subbasis for a topology) MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [['

$','$ '], ['\$','\$']]}});위상수학에서 기저에 대한 학습을 하게 되면, 정의를 꼼꼼히 살펴보더라도, 기저로부터 위상이나 위상공간은 얼추 만들 수 있을 것 같기도 하나, 위상공간

$X$ 가 주어졌을 때 그럼 기저는 어떻게 찾으라는 것인지의 설명이 부실합니다. 물론, 기저가 주어졌을 때 그 기저로부터 위상공간

$X$ 나 위상

$\mathcal{T}$ 를 만드는 작업 역시 만만치는 않습니다. 실제로는 이와 같이 기저와 위상, 또는 기저와 위상공간의 관계를 들여다보는 것보다, 이 글에서 다룰 부분기저의 개념을 통해 위상이나 위상공간을 완성하는 편이 조금 더 수월합니다. 보다 정확히 말하자면, .. 2024. 4. 7.

위상수학에서 기저(Basis for a Topology) 선형대수학에서 기저는 선형결합을 통해 벡터공간을 구성하는데, 완전히 같은 선상에서 놓고 바라보기엔 차이점이 있으나 위상수학에서도 비슷한 개념으로 기저가 존재합니다. 1. 위상수학에서 기저 1) 정의 소개에 앞서, 알고 있어야 할 것들이 몇가지 있습니다. 교재마다 위상수학의 기저를 정의하는 방식이 몇가지 다른 경우가 있습니다. 이는, 결국 필요충분조건으로 나머지 것들을 정리로 취급하여 증명할 수 있기 때문에 그렇습니다. 그렇기에 어떤 명제를 정의로 삼아 서술해 나갈 것인지는 취향 차이라고 보아도 큰 문제가 없습니다. 하지만, 결국 학습을 하다 보면 기저의 정의 중 아래 정의(

$T.P$ ) 2-5-1) 은 어떤 주어진 집합족이 기저임을 '확인'하는, '점검'하는 용도로 많이 쓰이게 된다는 것을 알 수 있습니다.. 2024. 3. 17.

위상과 위상공간(Topology and Topological space) 수학이나 과학 공부를 할 때 가장 중요한 것은 어떤 개념을 학습하는 일입니다. 그런데 우리나라에서는 그 수학적, 과학적개념을 '왜' 배우는 것인지에 대한 학습이 잘 이루어지지 않을 때가 있습니다. 로그가 왜 탄생하였고 쓸모 있는 도구로 각광받았던 것인지, 뉴턴의 2법칙을 운동량과 왜 연결짓는 것인지, 내적은 무엇의 용도로 사용되는지, 자석의 자기장은 전류의 자기장과 어떤 관계가 있을지 등에 관한 것입니다. 뿐만 아니라 어떤 연산이나 행위를 왜 마음껏 사용해도 되는지에 대한 질문에도 학생의 입장에서 좀처럼 답을 구하기 어려운 것들이 있습니다. 예컨대 항등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 방정식의 근이 변화하지 않는다는 명제는 군론을 통해 선명하고 깔끔히 증명할 수 있습니다. 상대적으로 대학.. 2024. 2. 25.

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