위상수학에서 부분기저(Subbasis for a topology)

위상수학에서 기저에 대한 학습을 하게 되면, 정의를 꼼꼼히 살펴보더라도, 기저로부터 위상이나 위상공간은 얼추 만들 수 있을 것 같기도 하나, 위상공간 $X$ 가 주어졌을 때 그럼 기저는 어떻게 찾으라는 것인지의 설명이 부실합니다. 물론, 기저가 주어졌을 때 그 기저로부터 위상공간 $X$ 나 위상 $\mathcal{T}$ 를 만드는 작업 역시 만만치는 않습니다.

 

실제로는 이와 같이 기저와 위상, 또는 기저와 위상공간의 관계를 들여다보는 것보다, 이 글에서 다룰 부분기저의 개념을 통해 위상이나 위상공간을 완성하는 편이 조금 더 수월합니다. 보다 정확히 말하자면, 부분기저를 배우는 이유는 부분기저로부터 기저를 쉽게 형성할 수 있고, 그 방법이 간단하기 때문입니다. 간단한 방법을 통해 기저를 확실히 만들 수 있다면, 그 기저로부터 위상이나 위상공간을 형성하는 일까지 연달아 가볍게 처리할 수 있음을 알게 될 것입니다.

 

[그림 1] 밀에서 밀가루를 만들고, 그것을 다시 반죽해 빵을 만들어내는 과정을 생각해보자. 밀이 부분기저, 밀가루가 기저, 빵은 위상이라 볼 수 있다. 밀가루(기저)로 밀(부분기저)을 만들 수는 없다. 그러나 밀가루(기저)로 빵을 만드는 것도 가능하고, 밀(부분기저)로 밀가루(기저)만을 만들 수도 있으며, 그를 통해 빵(위상)도 만들 수 있는 것이다. 이처럼 부분기저는 어떤 기저의 부분(part)을 의미하는 것이 아니라, 기저의 기저에 가까운 의미를 갖는다고 보는 것이 좀 더 직관적인 이해에 도움이 된다.

 

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1. 부분기저

 

1) 정의

 

정의($T.P$) 2-9) 위상수학에서 부분기저(Subbasis or subbase)
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 위상 $\mathcal{T}$ 의 부분모임(subcollection) $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 를 생각하자. $\mathcal{S}$ 의 원소를 유한 교집합하여 얻은 집합을 모두 모은 집합족 $\mathcal{B}$ 가 $\mathcal{T}$ 의 기저가 될 때, $\mathcal{S}$ 를 $\mathcal{T}$ 의 '부분기저(subbasis)'라고 한다. 그러면, 이 부분기저 $\mathcal{S}$ 에 의해 생성된 위상을 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ 라 적을 때, 조건제시법을 통해 이를 나타내면
$$\mathcal{T}_{\mathcal{S}}
:= \left\{ \right.
U=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}B_{\alpha}\subseteq X \mid
B_{\alpha}\in \mathcal{B}\;,\;\alpha\in I\;,\;\text {and}\;\;\forall B_{\alpha} =
\displaystyle \bigcap_{S\in F_{\alpha}\,,\,j\in J}^{}S_{\alpha j} 
\\\\\;\;\text{ where}\;\; \forall F_{\alpha}\in\mathcal{P}_F(\mathcal{S})\;,\;1\leq j(\in\mathbb{N})\leq 
\left| F_{\alpha} \right|\left. \right\}$$

 

우선 조건제시법을 저렇게 쓰는 이유는 아래에서 보다 구체적으로 다룰 것이니, 개념에 대해 간단히 용어로서의 납득부터 하고 넘어갑시다. 부분기저의 정의를 생각해 보았을 때, 직관적으로 이해하자면 부분기저는 사실 '부분(sub)'의 의미보다는 '기저($\mathcal{B}$)의 기저'라고 납득하는 것이 조금 더 적절할 것으로 보입니다. 기저의 정의는 위상의 모든 원소인 열린집합을, 기저원소들의 합집합으로 표현할 수 있다는 것입니다. 반면 부분기저는 부분기저원소들을 유한 교집합했을 때 기저원소를 구성할 수 있다는 것입니다. 그래서, 마치 돌을 모아 벽돌을 만들고 그 벽돌로 건물을 짓는다고 생각해보자면, 돌은 부분기저, 기저는 벽돌, 위상의 원소인 열린집합이 건물에 대응됩니다.

 

따라서 기저원소를 $B_1,B_2\cdots \in \mathcal{B}$ 이라 하고 부분기저원소를 $S_1,S_2\cdots \in \mathcal{S}$ 라 한다면, $B_1=S_1\cap S_2$ 이나 $B_2=S_3\cap S_4\cap S_5$ 등으로 표현 가능하다는 것입니다. 부분기저는 위상을 바로 만드는 용도가 아니라, 위상을 만들때 쓰일 기저원소를 만드는 용도로 쓰인다는 것입니다. 

 

또한, 기저에서 살펴보았듯이, 이렇게 부분기저를 정의할 때는 위상이 반드시 수반되므로 진짜 이게 위상의 정의를 만족하여 위상이 되는지도 확인할 필요가 있습니다. 이 작업은, 부분기저로부터 기저가 만들어지게 됨을 설명함으로서 아래 정리의 증명 과정에서 확인할 것입니다. 아래 정리는 부분기저와 위상의 관계를 알려주는 중요한 정리로, 부분기저원소들의 합집합으로 위상공간 $X$ 를 나타낼 수 있다면, $\mathcal{S}$ 를 부분기저로 삼는 위상 $\mathcal{S}$ 의 존재성과 유일성을 보장하는 것입니다. 그런데, 증명 과정에서 복잡한 개념이 존재하고 위의 조건제시법 표현을 익히기 위해 아래의 하나 예제를 보고 가도록 하겠습니다.

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예제 1) [집합족의 멱집합을 구하는 연습] 부분기저가 $\mathcal{S}=\left\{ \left\{ a \right\}, \{a,b \}, \{b,c \} \right\}$ 로 주어졌다고 하고, $\mathcal{P}(\mathcal{S})$ 를 생각해보자. 모두 적으면,

 

$$\mathcal{P}{(\mathcal{S})} = \{\emptyset, \{\{a\}\}, \{\{a, b\}\}, \{\{b, c\}\}, \{\{a\}, \{a, b\}\}, \{\{a\}, \{b, c\}\}, \{\{a, b\}, \{b, c\}\}, \{\{a\}, \{a, b\}, \{b, c\}\}\}$$

 

가 될 것이다.^[각주:1] 이때 $\mathcal{S}$ 가 무한집합이면, $\mathcal{P}(\mathcal{S})$ 또한 무한집합이 되어버린다. $\mathcal{S}$ 가 유한집합이든 무한집합이든, $\mathcal{S}$ 에서 모든 '유한' 부분집합들만 모아 만든 집합족을 표현하고 싶다면 $\mathcal{P}_F(\mathcal{S})$ 라 표기할 것이다. 그러니까 만일 $\mathcal{S}$ 가 유한집합이면, 그냥 $\mathcal{P}_F(\mathcal{S}) = \mathcal{P}(\mathcal{S})$ 인 것이다.

 

이때 $\mathcal{P}_F(\mathcal{S})$ 의 원소들을 $F$ 라 하자. 즉 모든 $F\in\mathcal{P}_F(\mathcal{S})$ 들은 $\mathcal{S}$ 의 원소에서 유한개를 뽑고 그들을 합집합한 집합일 뿐이다. 예컨대 위에서 든 예시에서 $F_1$ 을 하나 택해보자. 그냥 내 맘대로 아무거나 뽑으면,

 

$$F_1=\left\{ \left\{ a \right\},\left\{ a,b \right\} \right\}=:\{ S_{11},S_{12}\}\in\mathcal{P}_F(\mathcal{S})$$

 

로 택할 수 있다는 것이다. 그런데 $\mathcal{S}$ 가 집합 $X=\{ a,b,c\}$ 위에서 정의된 어떤 위상 $\mathcal{T}$ 의 부분기저라면, 정의에 의하여 $S\in\mathcal{S}$ 의 모든 유한 교집합이 어떤 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 가 되어야 함을 뜻한다. 이 경우에, $F_1$ 에 대응되는 기저원소를 $B_1$ 이라 하면

 

$$B_1=\displaystyle \bigcap_{S\in F_1}^{}S=S_{11}\cap S_{12}=\left\{ a \right\} \cap \left\{ a,b \right\}=\left\{ a \right\}$$

 

와 같이 적을 수 있게 된다. 또다른 $F_1,F_2,\cdots F_n$ 들을 더 뽑아내면서, 그로부터 각각의 $B_2, B_3, \cdots B_n$ 을 구성할 수 있게 된다는 것이다. 주의할 것이, 여기서 $B=\displaystyle \bigcap_{S\in F}^{}S$ 이라는 표현은 $B=\displaystyle \bigcap_{S\in \mathcal{S}}^{}S$ 와는 다르다는 것이다. 전자의 경우 위에서 한 것처럼 $F$ 를 하나 정해두고, 거기에서 유한개의 특정 $S$ 들의 교집합을 해서 어떤 하나의 기저원소 $B$ 가 만들어진다는 뜻이고, 후자의 표현은 $\mathcal{S}$ 에 포함된 '모든' $S$ 들을 다 모아서 교집합을 했다는 것이기 때문이다. $_\blacksquare$

 

 

정리($T.P$) 2.8) 부분기저도 덮개 조건을 만족한다.
주어진 집합 $X$ 이 $S\in\mathcal{S}$ 들의 합집합으로 이루어져 $X=\displaystyle \bigcup_{S\in\mathcal{S}}^{} S$ 라 하자. 그러면 $\mathcal{S}$ 를 부분기저로 하는 유일한 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ 가 반드시 존재한다.

따름정리($T.P$) 2.8.1)
주어진 집합 $X$ 의 부분기저가 $\mathcal{S}$ 이고, 이에 대응되는 기저를 $\mathcal{B}$ 라고 하자. 그러면 부분기저에 의해 생성되는 위상과 기저에 의해 생성되는 위상은 일치하며, 
$$\begin {align*}\mathcal{T}_{\mathcal{S}}
:&= \left\{ U=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}B_{\alpha}\subseteq X \mid
B_{\alpha}\in \mathcal{B}\;,\;\alpha\in I\;,\;\forall B_{\alpha} =
\displaystyle \bigcap_{S\in F_{\alpha}}^{}S \;\;\text{ where}\;\; F\in\mathcal{P}_F(\mathcal{S})
\right\}\\\\&=
\left\{ \bigcup_{B\in E}^{}B\mid E\subseteq\mathcal{B_{\mathcal{S}}}\;\left( 
\Leftrightarrow \; E\in\mathcal{P}(\mathcal{B}_{\mathcal{S}}) \right) \right\}=\mathcal{T}_{\mathcal{B}_{\mathcal{S}}}
\end{align*}$$ 의 관계가 성립한다. 이때 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}:=\left\{ B=\displaystyle \bigcap_{S\in F}^{} S\mid F\in \mathcal{P}_F(\mathcal{S})
\right\}$ 이다. 여기서, 기저는 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 이지 $E$ 는 기저가 아님에 주의하라.

증명) $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 을, 유한개의 $S\in\mathcal{S}$ 들의 교집합으로 표현 가능한 기저원소 $B$ 의 모임이라고 하자. 이때, $S$ 하나하나 자체는 $\mathcal{S}$ 에서 가져오는 것이 맞는데, 그렇게 가져와서 만들 수 있는 모든 유한 교집합들을 전부 모아둔 집합족이 $\mathcal{P}_F(\mathcal{S})$ 인 것이다. 따라서, $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 를 조건제시법으로 쓰면

$$\mathcal{B}_{\mathcal{S}}:=\left\{ B=\displaystyle \bigcap_{S\in F}^{} S\mid F\in \mathcal{P}_F(\mathcal{S})
\right\}$$
가 된다. 즉 각각의 $\alpha\in I$ 에 대응되는 기저원소 $B_{\alpha}$ 는 $F_{\alpha}$ 에서 뽑은 특정 $S_{\alpha_1},S_{\alpha_2},\cdots S_{\alpha_n} \in F_{\alpha}$ 들의 교집합으로 표현된다는 것이다.

이때 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 가 기저의 조건을 만족하는지 확인하자. 가정에 의해 $X=\displaystyle \bigcup_{S\in\mathcal{S}}^{}S$ 이면, 모든 $x\in X$ 는 적어도 하나의 $S\in\mathcal{S}$ 에 포함되게 된다. 그러면 $S$ 를 유한 교집합해서 만든 모든 $B$ 들도 그 $x$ 를 포함하여 덮개 조건을 만족한다. ^[각주:2]

교집합 조건을 확인해보자. 임의의 $B_1, B_2\in\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 에 대하여, 이들은 모두 $\mathcal{S}$ 에 속하는 적당한 원소들의 유한 교집합으로 표현되어 있다. $B_1=S_1\cap\cdots \cap S_n$ 이고 $B_2=S_1'\cap\cdots \cap S_n'$ 라 해보자.(물론 여기서 각각의 $S_i$ 들은, $S_j'$ 과 같은 값을 가지게 겹칠 수도 있다) 그러면 $B_1\cap B_2 = (S_1\cap \cdots \cap S_n)\cap (S_1'\cap\cdots \cap S_n')$ 또한 유한개의 어떤 $S\in\mathcal{S}$ 들의 교집합 꼴로 표현될 것이기 때문에, $(B_1\cap B_2)\in \mathcal{B}$ 를 만족하게 된다. 따라서 주어진 명제의 가정으로부터, $\mathcal{B}$ 는 $X$ 의 기저가 되므로 $\mathcal{S}$ 는 $X$ 의 부분기저가 되며, 그로부터 생성되는 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}=\mathcal{T}_{\mathcal{B}_{\mathcal{S}}}$ 가 존재한다.

또한 기저의 정의에 따라, 집합에서 기저가 결정되면 그로 인해 생성되는 위상의 원소들(열린집합들)은 기저에 의존하여 유일하게 정해진다. 주어진 부분기저에 의해 기저가 결정되는 방식은 한 가지로 결정되어 있기 때문에, 이로부터 생성된 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}=\mathcal{T}_{\mathcal{B}_{\mathcal{S}}}$ 또한 유일하다. $_\blacksquare$

따름정리의 증명) 첫째 식은 정의($T.P$) 2-9) 의 식과 같다. 둘째 식은, 기저의 정의로부터 부분기저 $\mathcal{S}$ 에 대응되는 기저를 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 라 할 때, 이 기저에 의해 생성되는 위상 식에서 도출되는 것으로 따름정리($T.P$) 2.1.1) 에 의한 것이다. $_\blacksquare$

 

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예제 2) $X=\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ 로 주어진 집합에 대해 집합족 $\mathcal{S}=\left\{ \left\{ 1 \right\}, \left\{ 1,2,3 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\},\left\{  3,5 \right\}\right\}$ 가 주어졌다고 하자. $\mathcal{S}$ 가 부분기저임을 보이고, 이에 대응되는 기저 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$  및 이로부터 생성되는 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ 를 구하여라.

 

 

sol) 위의 정리($T.P$) 2.8) 에 의하여 $X=\displaystyle \bigcup_{S\in\mathcal{S}}^{} S$ 의 관계가 만족하므로, $\mathcal{S}$ 는 집합 $X$ 위에서의 위상의 부분기저가 된다. 이 정리에 의하여

 

$$\begin{align*}
\mathcal{B}_{\mathcal{S}}:&=\left\{ B=\displaystyle \bigcap_{S\in F}^{} S\mid F\in \mathcal{P}_F(\mathcal{S})
\right\}
\\\\&=\left\{ \emptyset, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2,3 \right\}, \left\{ 3 \right\}, \left\{ 1,2,3 \right\},\left\{  2,3,4 \right\},\left\{  3,5 \right\} \right\}
\end{align*}$$

 

가 된다. 그러면 위상은

 

$$\begin {align*}\mathcal{T}_{\mathcal{S}}
=\mathcal{T}_{\mathcal{B}_{\mathcal{S}}}&= \left\{ U=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}B_{\alpha}\subseteq X \mid
B_{\alpha}\in \mathcal{B}\;,\;\alpha\in I\;,\;\forall B_{\alpha} =
\displaystyle \bigcap_{S\in F_{\alpha}}^{}S \;\;\text{ where}\;\; F\in\mathcal{P}_F(\mathcal{S})
\right\}\\\\&=
\left\{ \bigcup_{B\in E}^{}B\mid E\subseteq\mathcal{B_{\mathcal{S}}}\;\left( 
\Leftrightarrow \; E\in\mathcal{P}(\mathcal{B}_{\mathcal{S}}) \right) \right\}
\\\\&=
\left\{ \right.
 \emptyset, X, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2,3 \right\}, \left\{ 3 \right\}, 
\left\{ 1,2,3 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\}, \left\{ 3,5 \right\}, 
\\\\& \;\;\;\;\;\{ 1,3\}, \left\{ 1,2,3,4 \right\}, \left\{ 1,3,5 \right\},
\\\\&\;\;\;\;\;

\left\{ 2,3,5 \right\}, \left\{ 1,2,3,5 \right\}, \left\{ 2,3,4,5 \right\}
\left. \right\}
\end{align*} $$

 

가 된다. $_\blacksquare$

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핵심은 우선 부분기저가 될 후보로 제시된 $\mathcal{S}$ 의 원소들이 $X$ 를 덮는지를 확인한 뒤, 덮는다면, 정리를 이용하여 기저 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 를 먼저 구합니다. 구할 때는 $\mathcal{S}$ 의 각 원소들의 유한 교집합들을 원소로 만들어 주면 됩니다. 이후, 위상을 제작할 때는, 조건제시법의 정의에 따라서 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 에 있는 원소들의 가능한 모든 합집합을 생각하면 됩니다.

 

 

 

[참고문헌]

James Munkres, Topology 2E

 

 

 

 

1. 여기서, $\mathcal{P}(\mathcal{S})$ 의 원소들 중에는 $\mathcal{S}$ 의 각각의 단일 원소 또한 포함된다는 것을 잊지 말아야 합니다. 즉, 어떤 기저원소 $B$ 는, 어떤 부분기저원소 $S$ 와 그냥 같을 수도 있다는 겁니다. [본문으로]
2. 이 부분에 논리적 오류가 있어 보인다고 의심이 가야 정상입니다. 각각의 기저원소는 부분기저원소의 합집합이 아니라 '교집합'이니, 어떤 $c\in S$ 에 대해서 반드시 $c\in B$ 를 만족하는 $B$ 가 반드시 존재한다고 단정할 수 있을까요? 정답은 그렇다는 것입니다. 왜인지 그 이유는 각주 1번을 참고해 보시기 바랍니다. 부분기저원소와 기저원소가 같은 경우도 존재하기 때문입니. [본문으로]