위상수학에서 기저(Basis for a Topology)

선형대수학에서 기저는 선형결합을 통해 벡터공간을 구성하는데, 완전히 같은 선상에서 놓고 바라보기엔 차이점이 있으나 위상수학에서도 비슷한 개념으로 기저가 존재합니다. 

 

 

[그림 1] 러시아의 마트로시카. 나무로 만든 이 인형은 두 동강내서 열 수 있는데, 열고 나면 작은 크기의 인형이 또 안에 들어있고, 그것을 열면 또 그보다 작은 인형이 들어있다. 위상수학에서 기저는 내가 $X$ 의 임의의 원소 $x\in X$ 를 선택하면 그를 포함하는 위상의 어떤 원소 $U\in\mathcal{T}$ 를 잡았을 때, 그 $U$ 에 포함되어 있는 어떤 $x\in B\subseteq U$ 라는 $B\in\mathcal{B}$ 가 존재한다는 것이다. 더 큰 인형의 역할이 $U$, 그 안에 포함된 작은 인형을 $B$, 그리고 세번째로 가장 작은 인형을 $x\in X$ 라 생각해보자.

 

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1. 위상수학에서 기저

 

1) 정의

 

소개에 앞서, 알고 있어야 할 것들이 몇가지 있습니다.

교재마다 위상수학의 기저를 정의하는 방식이 몇가지 다른 경우가 있습니다. 이는, 결국 필요충분조건으로 나머지 것들을 정리로 취급하여 증명할 수 있기 때문에 그렇습니다. 그렇기에 어떤 명제를 정의로 삼아 서술해 나갈 것인지는 취향 차이라고 보아도 큰 문제가 없습니다.

 

하지만, 결국 학습을 하다 보면 기저의 정의 중 아래 정의($T.P$) 2-5-1) 은 어떤 주어진 집합족이 기저임을 '확인'하는, '점검'하는 용도로 많이 쓰이게 된다는 것을 알 수 있습니다. 그리고, 실제 기저임이 확실히 밝혀진 상황에서는 그것을 기저로 활용할 수 있고, 그때 자주 사용되는 특징이 바로 따름정리($T.P$) 2.1.1) 에 해당합니다. 이것이 어떤 기저의 본질적 용도라고 볼 수 있습니다.

 

따라서, 어떤 주어진 집합족이 실제로 기저임을 확인하는 작업이 필요할 때는 정의($T.P$) 2-5-1) 를 사용하고, 그로 인해 기저임이 확실히 판명나면 따름정리($T.P$) 2.1.1) 의 성질을 활용하게 된다, 이러한 사실을 확실하게 알고 있어야 합니다.

 

 

정의($T.P$) 2-5-1) 위상수학에서 기저의 정의
집합 $X$ 에 대하여, $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 '기저(basis)'는 아래의 두 조건을 만족하는 $X$ 의 부분집합들의 한 부분모임(subcollection) $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)\left( \Leftrightarrow \;\mathcal{B}\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \right)$ 을 말한다.

① 덮개 조건(covering) : 각각의 $x\in X$ 에 대하여, $x\in B$ 인 $B\in \mathcal{B}$ 가 적어도 하나 존재한다.
$$\displaystyle \bigcup_{B\in\mathcal{B}}^{}B=X$$ 따라서, 이것은 곧 위상 $\mathcal{T}$ 의 원소가 항상 기저 $\mathcal{B}$ 의 원소의 합집합으로 표현 가능하다는 것을 뜻한다.^[각주:1]
② 교집합 조건(intersection) : $B_1,B_2,B_3\in \mathcal{B}$ 일 때, $x\in (B_1\cap B_2)$ 이면 $x\in B_3$ 인 $B_3 \subseteq (B_1\cap B_2)$ 가 반드시 존재한다.

여기서 $B\in \mathcal{B}$ 를 '기저원소(basis elements)'라 한다.
$\mathcal{B}$ 가 집합 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저일 때, 즉 $\mathcal{B}$ 가 위의 두 조건을 만족하면 위상 $\mathcal{T}$를 '$\mathcal{B}$ 에 의해 생성된(generated) 위상'이라고 하고 $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ 로 표기한다.

 

기저의 정의는 두 가지 부분으로 구성되어 있는데, 제가 각각 덮개(covering), 교집합(intersection) 조건이라 이름을 붙여 두었습니다. 실제로 이러한 용어를 사용하는 경우도 있으니 편의상 앞으로 이렇게 부를 예정입니다. 또한 처음에 가장 중요한 것은 우선 $\mathcal{B}$ 를 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저라 하기도 하지만, 위상공간 $X$ 의 기저라는 표현을 사용하기도 합니다.

 

그렇다면 정의($T.P$) 2-5-1)을 사용, 즉 우리가 새로 도입한 기저의 개념을 활용하여 위상을 정의하게 되었을 때, 그것이 실제로 위상공간의 처음 정의($T.P$) 2-1) 에서 말하는 위상공간의 세 조건이 충족되는지 따져볼 필요가 있습니다. 다시 말해 정의($T.P$) 2-6) 은 실제로 잘 정의되는지 검증을 해봐야 합니다. 이 작업은 수학적으로 중요한 것입니다. 왜냐하면 처음 정의($T.P$) 2-1) 이 근본적인 위상의 정의인데, 우리는 정의($T.P$) 2-5-1) 에서 새롭게 기저라는 개념을 도입하고 위상의 정의와 연결을 지었기 때문이죠. 이 둘은 모순 없이 매끄럽게 연결될 수 있을지 따져 보아야 한다는 것입니다.

 

 

정리($T.P$) 2.1) 기저에 의해 생성된 위상 정의는 위상의 기존 정의에 부합한다.
집합 $X$ 에 대해, 부분집합족 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)\left( \Leftrightarrow \;\mathcal{B}\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) \right)$ 가 기저 $\mathcal{B}$ 에 의해 생성되면 $\mathcal{T}$ 는 위상^[각주:2]이다.

따름정리($T.P$) 2.1.1) [기저의 본질적 성질] 위상은 기저의 모든 원소의 가능한 합집합으로 구성되며, 위상의 원소는 기저원소들의 합집합으로 표현 가능하다.

집합 $X$ 에 대해 위상 $\mathcal{T}$ 이 기저 $\mathcal{B}$ 로부터 생성되었다고 하자. 그러면 위상 $\mathcal{T}$ 는 기저 $\mathcal{B}$ 의 모든 원소들 $\{B_\alpha\}_{\alpha\in I}$ 의 합집합으로 이루어진 집합(족)과 같다. 이를 조건제시법으로 나타내면 다음과 같다.
$$\begin {align*}
\mathcal{T}&= \left\{  U\subseteq X \mid \forall x\in U,\; \exists B\in \mathcal{B}\;\; \text{s.t  } x\in B\subseteq U\right\}
\\\\&=\left\{ U=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}B_\alpha \;\mid \;\forall\alpha \in I,\;B_\alpha\in \mathcal{B} \right\}
\end{align*}$$

증명) 부분집합족 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 가 $U_i$ 들로 구성되어 있다고 가정하자. 또한 가정에 따라 $\mathcal{T}$ 는 기저 $\mathcal{B}$ 로부터 생성되므로 $\mathcal{B}$ 는 덮개 조건, 교집합 조건을 모두 만족하는 상황이다. 아직 $\mathcal{T}$ 는 위상이 아니라, 위상이라는 것을 원래 위상의 기본 정의를 이용해 밝힐 것이다.

i) 공집합과 전체집합 $X$ 가 $\mathcal{T}$ 에 포함되는가? : 먼저 $U=\emptyset$ 인 경우를 생각하자. 그러면 공집합은 아무 원소도 포함하지 않으므로, 기저 $\mathcal{B}$ 의 정의^[각주:3]에 따른 열린집합의 조건을 만족한다. 고로 $\emptyset \in\mathcal{T}$ 이 된다. 또한 $U=X$ 으로 전체집합이 되는 경우 $X$ 는 기저의 정의($S.T$) 2-5-1) 를 만족하여 덮개 조건과 교집합 조건을 만족하므로 이때 역시 $X\in \mathcal{T}$ 가 된다. 그러니 $U\neq \emptyset, X$ 인 경우를 생각하자.

ii) $\mathcal{T}$ 의 임의의 부분집합족의 원소들의 합집합은 $\mathcal{T}$ 에 포함되어 있는가? : 덮개조건에 의하면, 임의의 $x\in U\in \mathcal{T}$^[각주:4]에 대하여 이 $x$ 를 포함하고 있는, 즉 $x\in B$ 인 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 가 적어도 하나 존재한다. 이는 각각의 $\left\{  U_{\alpha}\right\}_{\alpha\in I}$ 는 $\mathcal{B}$ 의 원소인 기저원소들의 합집합으로 표현될 수 있다는 것이다. 따라서
$$\displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{T}}^{}U=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}U_{\alpha }\subseteq \displaystyle \bigcup_{B\in\mathcal{B}}^{}B=X\in \mathcal{T}$$ 가 성립하기 때문에, 결과적으로 $\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}U_{\alpha }\in \mathcal{T}$ 즉 $\mathcal{T}$ 의 원소들의 합집합이 다시 $\mathcal{T}$ 에 속하게 된다.


iii) $\mathcal{T}$ 의 임의의 부분집합족의 원소들의 유한 교집합이 $\mathcal{T}$ 에 포함되어 있는가? : $x\in\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_i$ 를 생각하자. 덮개 조건에 의해 $x\in B_3$ 인 기저원소 $B_3\in\mathcal{B}$ 를 반드시 찾을 수 있다. 교집합 조건에 의하면 $B_3\in \displaystyle \bigcap_{B\in\mathcal{B}}^{}B$ 가 성립한다. 따라서 
$$x\in\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_i \; \Longrightarrow \; x\in B_3\in \bigcap_{B\in\mathcal{B}}^{}B\subseteq \bigcup_{B\in\mathcal{B}}^{}B=X\in \mathcal{T}$$ 가 성립하므로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}U_i\in \mathcal{T}$ 이다.

다시 말해, $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 가 덮개 조건과 교집합 조건을 만족하게 되면 $\mathcal{T}$ 또한 위상의 기본 조건을 만족하게 된다는 것을 알 수 있다. $_\blacksquare$


따름정리의 증명) 위 증명의 i), ii)로부터 도출된다. 덮개 조건에 의하여 임의의 $x\in U\subseteq X$ 에 대하여 $x\in B$ 인 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 가 적어도 하나 존재하므로, $x$ 는 하나의 기저원소 $B_1$ 에만 포함되어 있거나 둘 이상의 기저원소들에 동시에 포함되어 있다는 뜻이다. 따라서 임의의 $U\in\mathcal{T}$ (물론 동시에 $U\subseteq X$ 이기도 하다) 는 기저원소들의 합집합으로 표현할 수 있다. 곧 $U= \displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}B_\alpha \subseteq \displaystyle \bigcup_{B\in\mathcal{B}}^{}B=X$ 이다.
반면 공집합은, $\mathcal{B}_{\alpha}\neq \emptyset$ 인 이상 절대 몇몇의 $\mathcal{B}_{\alpha}$ 의 합집합으로 표현 불가능하나, 인덱스 집합 $I=\emptyset$ 으로 설정하게 되었을 때 공집합들의 합집합으로 표현 가능하다. 그래서 기저집합에 공집합이 굳이 들어있지 않더라도 위상 내에 공집합이 원소로(열린집합으로) 존재한다는 부분을 설명할 수 있게 된다. 궁극적으로 이러한 사실은 위 정리의 i) 의 내용에서 기인하는 것으로 볼 수 있다. $_\blacksquare$

 

 

여기서 주의할 것이 있습니다. $X$ 의 부분집합이며 위상 $\mathcal{T}$ 의 원소이기도 한 $U$ 는, 어떤 기저원소들의 합집합 형태 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}B_\alpha$ 로 표현될 수 있으나 이 표현 방식이 유일한 것은 아닙니다. 예를 들어 $x\in U$ 가 있다고 했을 때 덮개 조건에 의하면 이 $x$ 를 포함하는 기저원소가 존재해야 하긴 하는데 '적어도 하나' 존재하면 됩니다. 만일 그러한 기저원소가 $B_1, B_2$ 로 2개이면, $U$ 를 만들 때 기저 $B_3,B_4,B_5,B_6$ 과 함께 총 기저가 5개 필요하다고 할 때 $x$ 를 만들기 위해 그 두 기저 중 하나만 사용할 수도 있는 것입니다. 따라서 $U$ 를 만들 때 기저를 $B_1,B_3,B_4,B_5,B_6$ 을 쓸 수도 있고 $B_2,B_3,B_4,B_5,B_6$ 를 쓸 수도 있다는 뜻입니다. ^[각주:5] 어느 쪽이든 간에 물론 $U= \displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}B_\alpha$ 으로 표기할 수는 있습니다.

 

 

[그림 2] 기저의 교집합 조건과 덮개 조건을 보여주면서, 동시에 마트로시카 정리의 상황까지 보여주는 그림이다.

 

 

이 따름정리는 굉장히 중요한데, 집합 $X$ 와 기저 $\mathcal{B}$ 가 주어진 상황에서 위상 $\mathcal{T}$ 를 찾을 때 바로 사용할 수 있기 때문입니다.

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예제 1) $X=\{ 1,2,3\}$ 일 때 기저가 $\mathcal{B}= \left\{\left\{  2 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 2,3  \right\}\right\}$ 으로 주어졌다고 하자. 이 기저에 의해 생성되는 위상을 구하여라.

 

sol) 따름정리($T.P$) 2.1.1) 을 사용하여, 기저가 주어졌을 때 그 기저들로 만들 수 있는 모든 합집합들을 원소로 갖는 집합족을 생각하면 쉽다. 쓰여진 순서대로 $\mathcal{B}=\{ B_1, B_2, B_3 \}$ 라고 해보자. 그러면 $B_1\cup B_2=B_2$ 이고, $B_2\cup B_3=X$ 이며, $B_3\cup B_1=B_3$ 와 같기 때문에, 위상에는 $\mathcal{B}$ 의 각 세 원소에다가 $X$, 공집합만 추가해주면 된다. 따라서 $\mathcal{T}=\left\{ B_1,B_2,B_3,\emptyset,X \right\}=
\left\{\left\{  2 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}, \left\{ 2,3  \right\},\emptyset, X
\right\}$ 가 된다. $_\blacksquare$

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2) 기저원소와 열린집합은 어떤 관계인가?

 

따름정리를 통해 알 수 있는 것이 있습니다. 집합 $X$ 가 주어졌을 때 $X$ 에 대한 기저의 정의에 의하여, 기저 $\mathcal{B}$ 에 의해 생성된 $\mathcal{T}$ 가 분명히 위상이라는 것입니다. 위상의 정의에 의하면 위상의 원소를 열린집합이라고 부르지요. 따라서 $x\in U\in\mathcal{T}$ (그리고 $U\subseteq X$) 가 성립하면 $x\in B\in\mathcal{B}$ 가 존재하는데, $U$ 와 $B$ 의 관계를 다시 말하면 덮개 조선을 만족시키기 위해선 반드시 $B\subseteq U=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}B_\alpha$ 가 되어야 합니다. 이 관계는 매우 중요한데, 위상의 원소 $U$ 가 하나의 기저 $B$ 를 포함하고 있어야 하지만 동시에 $U$ 자체는 기저들의 합집합으로 포함될 수 있다는 것입니다.^[각주:6] 이 내용이 다음 정의의 충분조건입니다. 이미 설명을 다 한 것이기 때문에 증명을 하지 않겠습니다.(따름정리 ($T.P$) 2.1.1) 자체가 증명이 됩니다)

 

 

정리($T.P$) 2.2) [마트로시카 정리]^[각주:7] 기저원소는 한 점을 포함하는 위상의 원소의 부분집합이 된다.
$\mathcal{B}$ 를 집합 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저라고 하자.
부분집합족 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 가 기저 $\mathcal{B}$ 에 의해 생성된 위상이면 임의의 $U\subseteq X$ 이고 $U\in\mathcal{T}$ 인 $U$ 에 대하여, $x\in U$ 이면 $x\in B \subseteq U$ 인 $B\in \mathcal{B}$ 가 존재한다.

정리($T.P$) 2.3) 한 점을 포함하는 열린집합의 부분집합을 전부 끌어모아 만든 집합족은, 그 열린집합으로 구성된 위상을 생성하는 기저가 된다.
$(X,\mathcal{T})$ 가 위상공간이고, $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 를, 각각의 열린집합 $U\subseteq X$ 와 그에 속하는 원소 $x\in U$ 에 대하여, $x\in C\subseteq U$ 를 만족하는 열린집합 $C\in\mathcal{C}$ 로 이루어진 집합족이라 하자. 그러면 결과적으로 $\mathcal{C}$ 는 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저이다.

증명) 결과적으로 $\mathcal{C}$ 가 기저임을 보이는 것이 목표이므로 기저의 정의를 활용해 덮개 조건과 교집합 조건이 만족되는지를 보이면 된다.

1) 덮개 조건 : 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $X$ 는 위상공간이니, $X\in\mathcal{T}$ 이므로 $X$ 도 열린집합이다. 그러면 가정에 의하여(가정에서 $U$ 대신 $X$ 를 대입하면) $x\in C\subseteq X$ 인 원소 $C\in\mathcal{C}$ 가 존재한다.

2) 교집합 조건 : $C_1, C_2\in \mathcal{C}$ 에 대하여 $x\in (C_1\cap C_2)$ 라 가정하자. $C_1,C_2$ 는 가정에 의해 열린집합이라 $C_1\cap C_2$ 또한 열린집합이다. 따라서 가정에 의하여(가정에서 $U$ 대신 $C_1\cap C_2$ 를 대입하면) $x\in C_3\subseteq (C_1\cap C_2)$ 가 되는 열린집합인 원소 $C_3\subseteq \mathcal{C}$ 가 존재한다.

따라서 $\mathcal{C}$ 는 집합 $X$ 위에서의 어떤 위상 $\mathcal{T}'$ 을 생성하는 기저인 것은 확실하다. 다만 $\mathcal{T}'=\mathcal{T}$ 와 같은지 확인할 필요는 있다. 이를 증명하려면 $\mathcal{T}$ 에서 임의의 원소($U$) 를 뽑았을 때 결과적으로 $\mathcal{T}'$ 의 원소가 되고, 역으로 $\mathcal{T}'$ 에서 임의의 원소($W$) 를 뽑더라도 그것이 다시 $\mathcal{T}$ 의 원소이기도 하다는 것을 보여주면 된다.

i) 임의의 $U\in \mathcal{T}$ 이고 $x\in U$ 를 생각하면, 가정에 의해 ($U$는 열린집합이니까) $x\in C\subseteq U$ 가 성립하는 $C\in\mathcal{C}$ 가 존재한다. 그러면 $U\in\mathcal{T}'$ 이다.

ii) 역으로, $W\in\mathcal{T}'$ 라 하면 이는 기저 $\mathcal{C}$ 에 의해 생성된 위상이니, 따름정리($T.P$) 2.1.1) 에 의하여 $W=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}C_\alpha$ 이어야 한다. 따라서 각각의 $\mathcal{C}$ 의 원소 $C$ 가 $\mathcal{T}$ 에 속하고 $\mathcal{T}$ 도 위상이니, $W\in\mathcal{T}$ 가 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

두 정리 ($T.P$) 2.2), 2.3) 을 합치면 다음을 얻습니다.

 

정리($T.P$) 2.4) 위상을 생성하는 기저에 대해 기저원소와 열린집합 사이의 관계
$\mathcal{B}$ 를 집합 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저라고 하자.
부분집합족 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 가 기저 $\mathcal{B}$ 에 의해 생성된 위상일 필요충분조건은 임의의 $U\subseteq X$ 이고 $U\in\mathcal{T}$ 인 $U$ 에 대하여, $x\in U$ 이면 $x\in B \subseteq U$ 인 $B\in \mathcal{B}$ 가 존재하는 것이다.

증명) 충분조건의 증명이 정리($T.P$) 2.2) 이고, 필요조건의 증명이 정리($T.P$) 2.3) 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

3) 기저와 기저원소의 특징

 

나아가, 기저원소들은 항상 자연스럽게 위상에 포함된다는 것도 보일 수 있습니다.

 

정리($T.P$) 2.5) 모든 기저원소는 열린집합이다.
집합 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 가 기저 $\mathcal{B}$ 에 의해 생성되었다고 하자. 각각의 $B\in \mathcal{B}$ 에 대하여 $B\in\mathcal{T}$ 가 성립한다. 즉, 모든 기저원소 $B$ 들은 열린집합이다.

증명) $\mathcal{B}$ 의 원소들 $B_i$ 를 생각해보자. 기저의 정의나 따름정리($T.P$) 2.1.1) 을 고려하면, 위상 $\mathcal{T}$ 의 원소들은 항상 기저원소들의 합집합으로 표현할 수 있다. 그런데 임의의 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 는 ($B_1=\displaystyle \bigcup_{i=1}^{1}B_i$ 처럼) 자기 자신의 합집합 형태로 쓸 수 있다. 따라서 모든 기저원소는 위상 $\mathcal{T}$ 의 원소이므로, 정의($T.P$) 2-2) 에 의하여 모든 기저원소는 열린집합이다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

4) 결론

 

이러한 정리들을 증명하게 되면, 앞으로 기저의 개념을 좀 더 확실히 할 수 있고, 기저의 원론적인 정의가 함의하는 유용한 명제들을 사용할 수 있습니다. 응용을 할 때는 다음 박스에서 TFAE 로 제시된 세 가지 명제를 빈번히 활용하게 됩니다.

 

 

정의($S.T$) 2-5-2) 위상수학에서 기저의 정의(Basis for a topology)
집합 $X$ 에 대하여, $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 '기저(basis)'는 아래의 두 조건을 만족하는 $X$ 의 부분집합들의 한 부분모임(subcollection) $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 을 말한다.

① 덮개 조건(covering) : 각각의 $x\in X$ 에 대하여, $x\in B$ 인 $B\in \mathcal{B}$ 가 적어도 하나 존재한다
$$\displaystyle \bigcup_{B\in\mathcal{B}}^{}B=X$$
② 교집합 조건(intersection) : $B_1,B_2,B_3\in \mathcal{B}$ 일 때, $x\in (B_1\cap B_2)$ 이면 $x\in B_3$ 인 $B_3 \subseteq (B_1\cap B_2)$ 가 반드시 존재한다.

여기서 $B\in \mathcal{B}$ 를 '기저원소(basis elements)'라 한다.
$\mathcal{B}$ 가 집합 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}$ 의 기저일 때, 즉 $\mathcal{B}$ 가 위의 두 조건을 만족하면 위상 $\mathcal{T}$를 '$\mathcal{B}$ 에 의해 생성된(generated) 위상'이라고 하고 $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ 로 표기한다. 그러면 다음은 모두 동치다(TFAE).

① 부분집합족 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 가 기저 $\mathcal{B}$ 에 의해 생성된 위상이다.
② 임의의 $U\subseteq X$ 이고 $U\in\mathcal{T}$ 인 $U$ 에 대하여, $x\in U$ 이면 $x\in B \subseteq U$ 인 $B\in \mathcal{B}$ 가 존재한다. 즉 $U$ 는 열린집합이다.
③ $(X,\mathcal{T})$ 가 위상공간이고, $\mathcal{T}$ 의 부분집합족 $\mathcal{B}$ 에 대해 $\mathcal{T}$ 의 원소 $U$ 를 항상 $\mathcal{B}$ 의 원소들의 합집합으로 표현할 수 있다 : $U=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}B_\alpha\;\;(B_\alpha\in \mathcal{B})$

 

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2. 기저에 대한 몇가지 성질들

 

1) 작명에 대한 고찰 

 

또한 위와 같은 정의를 통해 $\mathcal{B}$ 에 '기저'라고 이름을 붙였다면, 어떤 위상이든지 기틀을 가지고 있다는 뉘앙스를 주기 위한 작명이었다고 유추하는 것이 자연스럽습니다. 선형대수학에서의 기저도 그러한 의미를 가지고 있기 때문에 그렇게 이름을 붙힌 것이지요. 다시 말해, 모든 위상이 기저를 가지고 있어서 임의의 위상에 대해서도 기저를 가지고 있다고 말할 수 있을까요? 그래야만 '기저'라는 작명이 타당하다고 볼 수 있을테니까 말입니다. 정답은 그렇다는 것입니다. 당연히 편집증적으로 따져 보기 위한 수학도의 마인드를 가지고 증명해 봅시다.

 

 

정리($T.P$) 2.6) 모든 위상은 기저를 갖는다.
집합 $X$ 위에서의 위상을 $\mathcal{T}$ 라 하자. 모든 위상 $\mathcal{T}$ 은 기저를 갖는다. 즉 임의의 위상에 대해 기저에 의해 생성되었다고 표현할 수 있고 그러한 기저 $\mathcal{B}$ 를 찾을 수 있다.

증명) $\mathcal{T}$ 가 위상이라고 가정하였기 때문에 $\mathcal{T}$ 은 열린집합들로 이루어진 집합족이다. 이때 $\mathcal{T}$ 자체를 기저 $\mathcal{B}$ 라고 생각해보자. 그러면 기저의 두 가지 조건이 다음과 같은 이유로 성립함을 알 수 있다.

1) 덮개 조건 : $\mathcal{T}$ 의 원소들을 $U$ 라고 하면, 임의의 $U$ 는 열린집합이고 동시에 $U\subseteq X$ 이다. 그런데 위상의 원소에는 공집합, $X$, 그리고 $\emptyset \subset T \subset X$ 인 $T$ 들로 구성되어 있다. 따라서 $\mathcal{T}$ 의 모든 원소들을 합집합하면 $X$ 가 된다. 이는 $\displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{T}}^{}U\left( =\displaystyle \bigcup_{B\in\mathcal{B}}^{}B \right)=X$ 를 뜻하는 것으로, 덮개 조건을 만족하는 것이다.

2) 교집합 조건 : 임의의 $U\in \mathcal{T}$ 는 열린집합이고, 위상의 정의의 세 번째 조건에 따라 두 열린집합의 교집합 또한 열린집합이다. 따라서 두 $\mathcal{T}$ 의 원소 $U_1,U_2\in \mathcal{T}$ 에 대해 $U_1\cap U_2\in\mathcal{T}$ 가 되어 $U_1\cap U_2=U_3\in \mathcal{T}$ 가 존재한다. 우리는 $\mathcal{T}=\mathcal{B}$ 로 잡은 것이고, $(B_1\cap B_2)=B_3\;\Longrightarrow \; B_3\subseteq (B_1\cap B_2)$ 이 성립하므로^[각주:8] 기저의 교집합 조건이 성립한다.

이로부터 모든 $X$ 위에 정의된 위상 $\mathcal{T}$ 는 적어도 자기 자신이라는 하나의 기저를 가지고 있음을 알 수 있다. 이 증명은 기저가 $\mathcal{T}$ 자기 자신으로 유일하다는 것을 함의하지는 않으며 단순히 모든 위상이 기저를 갖는다는 것만을 의미한다. $_\blacksquare$

 

 

 

3) 세밀함과 기저

 

정리($T.P$) 2.7) 더 세밀한 위상의 기저원소 크기가 작다.
집합 $X$ 위에서의 두 위상 $\mathcal{T}$, $\mathcal{T}'$ 에 대한 기저를 각각 $\mathcal{B}$, $\mathcal{B}'$ 이라고 하자. 그러면 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}'$, 즉 $\mathcal{T}'$ 은 $\mathcal{T}$ 보다 세밀할 필요충분조건은 각각의 $x\in X$ 에 대해, $x\in B$ 인 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 를 생각했을 때, $x\in B\subseteq B$ 가 성립하는 기저원소 $B'\in\mathcal{B}'$ 가 존재하는 것이다.

증명) $\Longrightarrow$ : $x\in X$ 에 대해 $x\in B\in \mathcal{B}$ 가 주어졌다고 하자. 정리($T.P$) 2.5) 에 의하여 모든 기저원소들은 열린집합이기 때문에 $B\in \mathcal{T}$ 이고, 가정에 의하여 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}'$ 를 가지고 있다. 따라서, $B\in\mathcal{T}'$ 이어야 한다. 그런데 $\mathcal{T}'$ 은 $\mathcal{B}'$ 에 의해 생성되기 때문에, 정리($T.P$) 2.2) 에 의하여 $x\in B'\subseteq B$ 를 만족하는 기저원소 $B'\in\mathcal{B}'$ 이 존재한다. ^[각주:9]

$\Longleftarrow$ : $U\in\mathcal{T}$ 가 주어졌다고 하자. $U\in\mathcal{T}'$ 임을 보이면 된다. 우선 $x\in U$ 라고 하자. $\mathcal{B}$ 가 $\mathcal{T}$ 를 생성하기 때문에, $x\in B\subseteq U$ 를 만족하는 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 가 존재한다. 이때 우리의 가정에 의하여 $x\in B'\subseteq B$ 를 만족하는 기저원소 $B'\in\mathcal{B}'$ 이 존재하게 되고, 그러면 이는 $x\in B'\subseteq U'$ 을 만족하는 것이 되므로 $U\in\mathcal{T}'$ 가 된다. $_\blacksquare$

 

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3. 몇가지 특별한 기저의 종류

 

정의($T.P$) 2-6) 보통위상(Usual topology)
$\mathcal{B}_u=\left\{ (a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\;,\; a< b \right\}$ 와 같이 기저가 모든 실수직선 $\mathbb{R}$ 에서의 열린구간으로 구성된 집합족으로 주어졌을 때, $\mathcal{B}_u$ 에 의해 생성되는 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{B}_u}=\left\{ U=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}(a_{\alpha},b_{\alpha})\subseteq \mathbb{R} \mid \alpha \in I\right\}$ 를 집합 $X=\mathbb{R}$ 위에서의 '보통위상(Usual topology)'이라고 정의한다.

 

보통위상은 다른 말로 표준위상(standard topology)라고 부르기도 합니다. 그리고 여기서 $a,b$ 는 대소관계로 순서가 주어져 있는 상황입니다. 그러면 이때 두 실수 $a,b$ 로 만들 수 있는 모든 열린구간의 합집합에 해당하는 모임(집합족)은 실수를 '뒤덮을' 수 있습니다. 이는 덮개 조건을 만족한다는 것인데, 실제로 $\varepsilon > 0$ 에 대해임의의 $x\in\mathbb{R}$ 은 $x\in (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\in \mathcal{B}$ 의 형식으로 표현할 수 있기 때문입니다. 또한 $a< b$ 이고 $c < d$ 일 때, $x\in (B_1\cap B_2)= \left\{ \left( a,b \right)\cap (c,d) \right\}$ 이 성립한다고 하면 $x\in \left( \max (a,c),\max (b,d) \right):=B_3\subseteq (B_1\cap B_2)$ 가 성립하기 때문에 교집합 조건 또한 만족됩니다.

 

 

정의($T.P$) 2-7) 하한위상(lower limit topology)
기저 $\mathcal{B}_l=\left\{ [a,b) \mid a,b\in\mathbb{R}\;,\; a< b \right\}$ 에 의해 생성되는 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{B}_l}$ 를 집합 $X=\mathbb{R}$ 위에서 주어진 '하한위상(lower limite topology)' 또는 '반열린구간위상(half-open interval topology)'라 한다. 여기서 위상공간 $(\mathbb{R}, \mathcal{T}_{\mathcal{B}_l})$ 을 간단히 $\mathbb{R}_l$ 로 표기하며, '조르겐프라이 직선(Sorgenfrey line)'이라고 부른다.

 

하한위상의 반대 개념으로 상한위상도 있기는 합니다. 다만 상한위상은 별로 중요하지 않아서 하한위상을 주로 다룬다는 점은 참고하면 좋을 것 같습니다.

 

 

 

 

 

[참고문헌]

James Munkres, Topology 2E

 

 

 

 

 

1. 아래 따름정리($T.P$) 2.1.1) 에서 증명한다. [본문으로]
2. 엄밀히 말하자면 이 정리를 증명해야 부분집합족에서 '위상'이라는 타이틀을 획득해 승급할 수 있다는 뜻. 다시 말해 오리지널 위상의 세 조건을 만족함을 보여야 한다는 뜻 [본문으로]
3. 기저의 정의에서 덮개 조건이나 교집합 조건은 조건문 형식인데, 공집합의 경우 조건문의 전제가 거짓이 되므로 조건문의 진리값은 항상 참이 된다. [본문으로]
4. 이 정리를 증명함으로서 $\mathcal{T}$ 가 위상이라는 것을 보이게 되면, 자연스럽게 $\mathcal{T}$ 의 원소인 $U$ 는 열린집합이 되므로, $U\subseteq X$ 가 성립하게 됩니다. [본문으로]
5. 선형대수학에서는 그렇지 않습니다. 예를 들어 3차원에서 어떤 벡터 $\mathbf{r}=(x,y,z)$ 는 기저 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 를 선형결합을 통해 $(x,y,z)$ 를 만들 수 있고, 이렇게 기저가 딱 정확히 (정규직교기저 등으로) 3개 정해지면 선형결합 표현은 유일할 수 밖에 없습니다. [본문으로]
6. 물론 상황에 따라 $U$ 자체가 어떤 기저 집합과 같을 수도 있습니다만, 여러 기저들의 합집합으로 $U$ 가 만들어질 수도 있다는 뜻입니다. [본문으로]
7. 당연히 제가 만든 용어지 공식 용어가 아닙니다. [본문으로]
8. 즉 이 증명에서는 교집합이 새로운 $\mathcal{T}$ 의 원소와 같다는 것을 활용한 것입니다. 그런데 원래 기저 정의에서 교집합 조건은 부분집합만 만족되면 충분합니다. 부분집합은 집합의 상등 또는 진부분집합 중 하나만 성립함을 요구하고, 우리는 상등을 사용하였으니, 교집합 조건이 참이라는 논리입니다. [본문으로]
9. 정리($T.P$) 2.2) 에서 $U$ 의 역할을 여기선 $B$ 가 하고 있는 것이고, 그 정리의 $B$ 의 역할이 여기서는 $B'$ 이 하고 있는 것이다. 잘 대응해서 생각하자. [본문으로]