순서위상과 광선(Order topology and ray)

순서위상은, 전순서가 주어진 집합에서 위상을 부여하는 방법에 관련된 것입니다. 따라서 집합론의 전순서 개념을 필히 알고 있어야 하고, 순서위상의 개념을 이용하여 구간(interval)에 대한 정의를 할 수 있게 됩니다.

 

[그림 1] 사전, 사전위상

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1.순서위상

 

1) 구간의 정의

정의($T.P$) 2-10) 구간(intervals)
전순서(선형순서)집합 $(X,\leq)$ 를 생각하자. $a<b$ 인 두 원소 $a,b\in X$ 에 대하여, 아래의 네가지 $X$ 의 부분집합을 $a,b$ 에 의해 결정되는 '구간(intervals)'라 한다.
① 열린구간(open interval) : $(a,b)=\{ x\in X \mid a< x < b\}$
② (오른쪽)반열린구간(half open interval) : $[a,b)]=\{ x\in X\mid a\leq x < b\}$
③ (왼쪽)반열린구간(half open interval) : $(a,b]=\{ x\in X\mid a< x\leq b \}$
④ 닫힌구간(closed interval) : $[a,b]=\{ x\in X \mid a\leq x \leq b\}$

 

이렇게 네 종류의 구간의 정의는 위상수학에서 정확히 이루어진다고 볼 수 있습니다.


2) 순서위상의 정의

정의($T.P$) 2-11) 순서위상(order topology)
전순서집합 $(X,\leq)$ 에 대해 $X$ 가 적어도 서로 다른 둘 이상의 원소를 갖는다고 하자. 그리고 $\mathcal{B}$ 를 다음 세 조건을 만족하는 집합족이라고 하자. 그러면 $\mathcal{B}$ 는 $X$ 위에서의 위상의 기저가 되며, 이 위상을 '순서위상(order topology)'라 한다.
① 모든 $a< b$ 인 $a,b\in X$ 에 대하여, 열린구간 $(a,b)=\{ x\in X\mid a < x < b \}$
② $X$ 의 최소원소 $a_0$ 가 존재하면, 모든 반열린구간 $[a_0, b)=\{ x\in X \mid a_0 \leq x < b\}$, 최소원소가 존재하지 않으면 모든 $(-\infty,b)=\{ x\in X \mid x < b\}$ 형태의 집합들
③ $X$ 의 최대원소 $b_0$ 가 존재하면, 모든 반열린구간 $(a,b_0]=\{ x\in X\mid a< x \leq b_0 \}$, 최대원소가 존재하지 않으면 모든 $(a,\infty) = \{ x\in X \mid a < x\}$ 형태의 집합들
즉, 임의의 $B\in\mathcal{B}$ 는 위 셋 중 하나를 만족하는 구간에 해당한다는 뜻이다.

정리($T.P$) 2.9) 
전순서집합 $(X,\leq)$ 에 대해 $X$ 가 적어도 서로 다른 두 개의 원소를 가지고 있다고 하고,
$$\mathcal{S}=\left\{ (-\infty, a) \mid a\in X\right\}\cup \left\{ (b,\infty)\mid b\in X \right\}$$ 이라 하자. 그러면 $\mathcal{S}$ 는 $X$ 위에서의 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ 를 생성하는 부분기저이다.

증명 ) 정리($T.P$) 2.8) 에 의하여 $\mathcal{S}$ 가 덮개 조건을 만족하는지만 확인하면 충분하다. $x\in X$ 에 대해 다음 세 가지 경우를 고려하자.

i) 최대원소가 존재할 때 $x=\max \{ X\}$ 에 대해서 생각하자 : $b<x$ 를 만족하는 $b\in X$ 가 존재하므로^[각주:1], $x\in (b,\infty) = (b,x]\subseteq \mathcal{S}$ 가 성립한다.
ii) 최소원소가 존재할 때 $x=\min \{ X\}$ 에 대해서 생각하자 : $x<a$ 를 만족하는 $a\in X$ 가 존재하므로^[각주:2], $x\in (-\infty,a)=[x,a)\subseteq \mathcal{S}$ 가 성립한다.
iii) 최대원소와 최소원소가 아닌 $x\in X$ 에 대해서 생각하자 : $x<b$ 이고 $x>a$ 를 만족하는 $a,b\in X$ 가 존재하므로^[각주:3], $x\in (-\infty, a)\subseteq \mathcal{S}$ 가 성립한다. 물론 $x\in (b,\infty)\subseteq \mathcal{S}$ 또한 성립한다.

따라서 임의의 $x\in X$ 가 $X$ 의 최대원소이든, 최소원소이든, 둘 다 아니든, 그 어떤 경우에도 모든 $x\in X$ 는 $\mathcal{S}$ 에 포함되고, 이는 곧 $\mathcal{S}$ 에 포함된 집합들은 $X$ 의 모든 점을 덮는다는 뜻이다. 이로서 정리($T.P$) 2.8) 의 가정이 만족되었고, 결론에 의해 $\mathcal{S}$ 는 $X$ 위에서의 어떤 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ 의 부분기저라고 할 수 있다. $_\blacksquare$

정의($T.P$) 2-11) 을 보면, 그렇게 $\mathcal{B}$ 를 정의하였을 때 진짜 이것이 기저가 되는지에 대한 의문이 생기게 됩니다. 즉 이 순서위상이라는 개념이 잘 정의되었는지 검증을 해야 한다는 뜻이죠. 그러면 $\mathcal{B}$ 가 기저임을 정의를 통해 증명하면 되는데, 그렇게 하는 방법 대신에 정리($T.P$) 2.9) 를 증명한 것입니다. 이를 증명하면, $\mathcal{S}$ 가 부분기저라는 것이 드러나기 때문에, 부분기저의 존재성은 기저의 존재성을 보장해주기 때문입니다. 게다가 이 증명 과정을 보면 $\mathcal{S}$ 에 대응되는 기저 $\mathcal{B}$ 라는 것이 정의($T.P$) 2-11) 에서 말한 세 가지 case 에 해당함을 보여주었기 때문에 대응되는 기저 $\mathcal{B}$ 가 정의에서 말한 것임을 확인할 수 있게 됩니다.

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예제 1) 실수에서 일반적인 대소관계 '$<$' 를 부여하여 만든 순서위상은, 보통위상 $\mathbb{R}$ 과 동일함을 설명하여라.

Sol) 실수에서 일반적인 대소관계 $<$ 가 주여졌을 때, $(\mathbb{R}, <)$ 는 전순서집합이다. 그러면 정리($T.P$) 2.9) 에 의하여, $\mathcal{S}=\left\{ (-\infty, a) \mid a\in X\right\}\cup \left\{ (b,\infty)\mid b\in X \right\}$ 는 만들어질 위상(순서위상)의 부분기저가 되고, 이로부터 유도되는 $S\in\mathcal{S}$ 의 유한 교집합들로 이루어진 $B\in\mathcal{B}$ 로 만들어진 기저는 $\mathcal{B}=\mathcal{B}_{\mathcal{S}} =\left\{ (a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\; ,\; a< b \right\}$ 가 된다.^[각주:4] 이는 보통위상의 정의와 명백히 일치한다.$_\blacksquare$

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예제 2) 두 집합의 곱집합에 대한 '사전순서(dictionary order)'^[각주:5]는 다음과 같이 정의된다 : 임의의 $x\in X, y\in Y$ 에 대하여, $X\times Y$ 에서의 사전순서를 기호 $<$ 이라 적기로 하자. 그러면 $(a,b) < (c,d)$ 가 성립할 필요충분조건은 i) 첫번째 좌표가 작다 : 즉 $a< c$ 를 만족하거나, ii) 첫번째 좌표가 같고 두번째 좌표가 작다 : $a=c \;\wedge \; b< d$ 인 것이다.

$X=Y=\mathbb{R}$ 인 경우, 즉 $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R} = \{ a\times b \mid a,b\in \mathbb{R}\}$ 에 사전순서를 부여하는 경우를 생각해보자. 

1) 사전순서집합 $(\mathbb{R}\times \mathbb{R} , <)$ 에는 최소원소나 최대원소가 없음을 보여라.
2) 사전순서에서 $a=c$ 이고 $b=d$ 인 경우가 제외되는 이유를 설명하여라.
3) 기저의 형태를 찾아라.
4) 이 사전순서위상 $\mathbb{R}^2$ 는 $\mathbb{R}^2$ 위에서 보통위상과 같은지, 같지 않은지를 의논하라.

 

Sol) 1) 사전순서를 갖는 집합에서 최소원소나 최대원소가 존재한다는 것은 그 순서집합의 모든 원소들이 특정 원소보다 크거나 작다는 뜻이다. 그런데 임의의 $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ 를 선택하더라도, 언제나 $a$ 보다 작은 실수, $b$ 보다 작거나 큰 실수가 존재하기 때문에, 어떤 원소도 모든 다른 원소들에 대해 최소나 최대가 될 수 없다. 예컨대 어떤 원소 $(a,b)$ 에 대해서도, $(a, b-1)$ 또는 $(a-1, b)$ 와 같은 더 작은 원소를 잡을 수 있고, $(a, b+1)$ 또는 $(a+1,b)$ 와 같이 더 큰 원소를 찾을 수 있게 된다. 말하자면 이 사실이 성립하는 근본적인 이유란 실수집합에 순서를 일반적인 숫자의 대소관계 $<$ 로 주었을 때, 최대원소나 최소원소가 없음^[각주:6] 에서 유도되는 것이다. 따라서 우리가 아래에서 이 순서위상의 기저원소를 생각할 때, 그 어떤 기저원소도 정의($T.P$) 2-11) 의 ②,③ 을 만족시키지 않아서, 기저원소는 항상 ①을 만족하는 것만 존재함을 알게 될 것이다.

2) 사전순서에서, $\mathbb{R}^2$ 의 원소로 $(a,b)$ 와 $(c,d)$ 를 뽑는다고 하고, 이때 $a=c\;\wedge \; b=d$ 를 생각하자. 이는 단일한 한 점 $(a,b)=(c,d)$ 에 해당한다. 그런데 순서위상에 정의 세 조건을 보면, 하나의 점은 반드시 열린구간 내에 포함되거나, 끝점이 되기 위해서는 최대원소나 최소원소여야 한다. 1)에서 사전순서를 갖는 집합에는 최대원소나 최소원소가 없음을 보였으니, 이 단일점 $(a,b)=(c,d)$ 는 반드시 열린구간 $((a\times b), (c\times d))$ 에 포함되어야 한다. 그런데 한 점이 스스로 열린구간을 구성할 수는 없으므로, 단일점을 포함하는 구간은 열린구간이 되지 못한다. 따라서 위상의 원소가 될 수 없으므로 사전순서가 부여된 위상공간에서 단일점은 고려 대상이 아니다.

3) 기저를 만들 때는 순서위상의 정의를 생각하면 된다. $X=\mathbb{R}^2$ 이므로, 기저는 어떤 $\alpha, \beta\in \mathbb{R}^2$ 에 대하여 $(\alpha,\beta)$ 의 형태를 가지게 된다. 고로,

$$\mathcal{B}=\left\{ (a\times b, c\times d)\subset \left( \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2 \right)
\mid \left( a< c \right) \;\vee \; \left( a=c\;\wedge \; b< d \right) \right\}$$

와 같이 적을 수 있다. 이렇게 기저를 잡으면, 순서위상의 정의에 의하여 임의의 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 은 정의($T.P$) 2-11) 의  ① 조건을 항상 만족하는 꼴이다. 따라서 이 기저 $\mathcal{B}$ 는 집합 $\mathbb{R}^2$ 에서 위상을 생성한다.

 

4) 글쓴이가 '위상'이라는 개념의 직관적 이해를 설명한 바가 있어서 이를 통해 설명해보겠다. 이에 따르면, 어떤 집합(=위상공간이 될)에 위상을 부여한다는 것은 그 집합 내의 원소들을 어떻게 연결하고, 얼만큼 가깝게 배치할 것인지에 해당하는 개념이다. 따라서, 같은 집합 $\mathbb{R}^2$ 내에서 원소들을 어떻게 연결하고 배치할 것인지의 규칙이 다르다면, 사전순서위상과 보통위상 또한 다를 것임을 짐작할 수 있다. 사전순서위상에서의 규칙은 마치 두 원소들을 사전처럼, 일렬에 앞/뒤로 배치하는 것과 같다. 예컨대 위에서 언급했던 것처럼 '가령'과 '가설'이라는 두 단어가 제시되면 규칙에 따라 '가령'을 앞에, '가설'을 뒤에 배치하는 것이다. 이는 마치 단어들이 '줄을 서는' 느낌에 가깝다. 반면, 보통위상이라는 것은 제시된 두 원소를 비교해서 앞과 뒤의 순서를 매기는 느낌이 아니고, 그냥 $\mathbb{R}$ 에 들어있는 두 원소를 임의로 콕 집어서 그것을 단순히 열린구간 $(a,b)$ 로 연결하는 행위로 볼 수 있다. 그래서 이 열린구간 내의 어떤 원소를 하나 짚었을 때, 그 원소를 둘러싸는 열린구간 $(a,b)$, 2차원에서는 작은 원(근방), 사각형, 3차원에서는 개구(open ball) 등의 개념인 것이다.

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예제 3) 자연수의 정렬성에 의해 $\mathbb{N}$ 의 부분집합에 순서를 부여하면 항상 최소원소를 찾을 수 있다. $\mathbb{N}$ 에서의 순서위상을 이산위상으로 만들 수 있으며, 그러면 모든 단원소집합을 열린집합으로 만들 수 있음을 보여라.

 

Sol) 문제를 잘 보면 $\mathbb{N}$ 에서의 순서위상을 이산위상으로 택할 수 있다는 것이지, 이산위상만이 존재한다는 뜻이 아님에 주의하라. 이산위상에서는 주어진 집합(여기서는 $\mathbb{N}$) 의 모든 원소들이, 단원소집합 형태로 위상의 원소가 되어야 한다. 이러한 상황을 만들기 위해서는 자연수 집합의 모든 단원소집합을 순서위상의 정의에서 말하는 기저로 취급할 수 있는지, 즉 단원소집합들을 열린집합으로 간주할 수 있는지 분석해보면 된다.

 

1보다 큰 자연수 $n>1$ 을 생각하자. 단원소집합 $\{n \}$ 은 열린구간 $(n-1, n+1)$ 로 표현할 수 있다. 즉, 임의의 $1<n\in\mathbb{N}$ 은 $(n-1,n+1)=\{ n\}$ 으로 적을 수 있으므로, 순서위상의 기저원소가 된다. 반면, $n=1$ 은 자연수 집합의 최소원소이고, 일 때는 $\{ 1\} = [1,2)$ 로 표현할 수 있으니 이 또한 순서위상의 기저원소가 된다. 따라서, 자연수 집합에 순서위상을 이산위상으로 부여할 수 있다. $_\blacksquare$

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2. 광선(ray)

1) 정의

 

정의($T.P$) 2-12) 광선(Ray)
$X$ 가 전순서집합이고 $a\in X$ 라고 하자. 그러면 다음의 네가지 $X$ 의 부분집합들을 $a$ 에 의해 결정되는 '광선(rays)'이라고 정의한다.
① 열린광선(open rays) : $(a,\infty):=\{ x\mid x> a\}$ 와 $(-\infty, a):= \{ x\mid x < a\}$
② 닫힌광선(closed rays) : $[a,\infty):=\{ x\mid x\geq a\}$ 와 $(-\infty, a]:=\{ x\mid x\leq a\}$

 

이 용어는 영단어로는 ray인데, 개념을 보면 무한대를 구간의 한 쪽 끝으로 하여 만든 반직선 개념에 가깝습니다. 단지 점 $a\in X$ 가 끝점으로서 포함되어 있는지, 포함되어 있지 않는지에 따라 각각 반열린구간과 열린구간이 됩니다. 어쨌든 한 점을 기준으로 하여 양의 무한대 또는 음의 무한대로 뻗어나간다는 개념이라서, 손전등으로 빛을 쏘는 것과 같아 그냥 번역을 직역하여 광선이라고 했습니다.

 

 

정리($T.P$) 2.10) 광선들은 순서위상을 구성한다.
집합 $X$ 에 속하는 열린광선들은 순서위상의 원소이다. 즉 순서위상에 포함되어 있는 열린집합이다.

증명) $X$ 에 최대원소가 없다고 생각하고 열린광선 $(a,\infty)$ 를 생각해보자. 이는 적당한 $a<b$ 인 $b\in X$ 로 구성된 열린구간 $(a,b)$ 들의 합집합, 곧 $\displaystyle \bigcup_{\forall b\in X}^{}(a,b)$ 의 형태로 나타낼 수 있다.^[각주:7] 이때 $a,b\in X$ 이므로 열린구간 $(a,b)$ 는 정의($T.P$) 2-11) 의 순서위상의 기저집합 조건 ①을 만족하게 되어 순서위상 $\mathcal{T}_o$ 의 원소, 즉 열린집합이 된다. 다시 말해 열린구간 $(a,b)$ 가 순서위상의 정의에서 기저원소 $B\in \mathcal{B}$ 의 역할을 한다는 것이다.^[각주:8] 만일 $X$ 에 최대원소가 존재하는 경우에, $\max{X}:= b_0$ 라고 잡으면, 우리의 열린광선을 $(a,\infty)=(a,b_0]$ 와 같이 처리할 수 있고, 이것은 순서위상의 정의에서 ②를 만족하는 기저원소에 해당한다.

$X$ 에 최소원소가 없을 때도 비슷하게 $(-\infty,a)$ 에 대해 이번에는 $b<a$ 인 $b\in X$ 를 잡아서 증명할 수 있고, 최소원소가 있다면 위에서와 마찬가지로 정의($T.P$) 2-11)-③ 을 만족하게끔 우리의 열린광선을 기저원소의 꼴로 처리할 수 있다. 따라서 $X$ 의 열린광선은 순서위상의 원소, 곧 열린집합이 된다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

[참고문헌]

James Munkres, Topology 2E

 

 

 

 

1. 왜냐하면 $X$ 는 적어도 서로 다른 둘 이상의 원소를 갖는다고 가정했는데, 한 놈 $x$ 가 최대원소면 나머지 한 놈 $b<x$ 가 반드시 존재해야 한다는 논리다. [본문으로]
2. 마찬가지로 $x$ 가 최소원소이면, $X$ 는 적어도 서로 다른 둘 이상의 원소를 갖는다고 가정했으니 남은 $a > x$ 가 반드시 존재해야 한다. [본문으로]
3. $x$ 가 최대원소도, 최소원소도 되지 않으려면 $X$ 의 원소의 개수는 적어도 셋 이상이 되어야 하고, $a < x < b$ 를 만족하는 두 $a,b\in X$ 가 반드시 존재해야 하기 때문이다. [본문으로]
4.  $\mathcal{S}$ 가 부분기저임이 밝혀지면, $\mathcal{B}$ 가 기저가 확실히 된다는 것이 자동으로 만족됨에 유의. 기저의 정의 두 조건을 재차 확인할 필요가 없음.  [본문으로]
5. 마치 사전에서 단어를 찾을 때의 순서와 유사하기 때문에 명명된 이름입니다. 만일 '가령'이라는 단어와 '마차'라는 단어를 찾을 때는 '가'가 '마'보다 앞에 있기 때문에 '가<마'의 관계가 성립하고, '가령'과 '가설'을 비교할 때는 앞 글자가 동일하니 뒷 글자 '령'와 '설'을 비교해서 '령<설'임을 통해, '가설'이란 단어는 사전에서 '가령'보다는 뒷장에 나올 것임을 예측할 수 있다는 점을 하나의 예시로 떠올려 볼 수 있겠지요. 또한, 실제로는 사전에 동음이의어 등이 있다는 점에서 동일원소를 취급하지 않는다는 특징($a=b\;\wedge \; c=d)$ 은 수학과 사전의 차이라 볼 수 있고, 또 실제 사전책은 유한하여 첫 장과 마지막 장이 있지만, 수학의 사전순서에는 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 로 잡았기에 최대원소가 최소원소가 없다는 것을 아래에서 보일 것입니다. [본문으로]
6.   링크에서 예제 2) 참조  [본문으로]
7. 그러니 $b\in X$ 는 $a< b$ 를 만족하는 '무수히 많은' 수가 되는 셈이다. [본문으로]
8. 이렇게 순서위상의 원소인 열린집합이 실제로 되기 때문에, 작명을 '열린'광선이라고 한 것이기도 합니다. [본문으로]