부분공간위상(Subspace topology)

이번 주제는 부분공간위상입니다. 기저의 의미가 선형대수학에서와 위상수학에서가 천차만별이었듯이, 부분공간이라는 비슷한 단어가 들어가 있음에도 불구하고 위상수학에서의 부분공간위상은 선형대수학에서의 그것과 또한 매우 다릅니다.

 

[그림 1] 주인장은 2년 전에 미국여행을 다녀온 적이 있다. 뉴욕을 중심으로 여행하였는데, 뉴욕에서 여러분들이 모두 다 아는 엠파이어 스테이트 빌딩이나 자유의 여신상, 브로드웨이, 타임스퀘어 등 뉴욕의 상징물들은 '맨해튼'이라는 구역에 집중되어 있다. 그런데 뉴욕은 뉴욕주에 속하고, 그림의 빨간색 점선을 넘어가 서쪽으로 이동하면 거기서부터는 뉴저지주에 해당한다. 미국이라는 전체 국가를 전체집합 $X$ 와 같은 위상공간이라 보고, 뉴저지주를 부분집합 $Y$ 라고 생각해보자. 뉴저지주는 뉴욕주보다 세율이 낮아서, 주인장은 월마트에 가서 물건을 싹쓸이 하기 위해 뉴저지주로 이동한 적이 있다. 미국의 연방법에서 세율은 되도록이면 $A >0$ 으로 부과하는 것을 권장한다고 가정해보자. 그런데 뉴저지는 $B(<A)$ 정도로 굉장히 낮은 세율을 주법으로 부과하기로 정했다고 해보자. 그러면, 뉴저지라는 부분집합에서는 연방법의 권고 기준을 만족하지 않는다는 점에서 뉴저지의 세율은 연방법의 세율(= 전체집합 위상공간에서 열린집합이 될 조건)보다 낮다. 하지만 뉴저지 내에서는 $B$ 라는 값이 최소한의 세율값을 상회하는 값으로 정해져 있다면, 불법이 아니다. 비유가 약간 이상할 수 있지만, 이렇게 부분공간위상의 개념은 부분공간이 전체집합의 '부분집합'이라는 속성만 강요되고, 그 내에서 어떻게 열린집합을 만드는지의 규칙은 전체집합에서의 규칙과 다를 수 있다. 그래서, 부분공간에서는 열린집합인데, 전체집합에서는 열린집합이 될 수도, 안될 수도 있다. 이것이 부분공간위상의 핵심적 개념이다.

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1. 부분위상

 

1) 정의

 

정의($T.P$) 2-15) 부분공간위상과 상대적 열린집합
$(X,\mathcal{T})$ 를 위상공간이라 하자. 어떤 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 집합족
$$\mathcal{T}_Y=\left\{ Y\cap U\mid U\in\mathcal{T} \right\}=\left\{  V\subseteq Y\mid V=Y\cap U\;\text{ for some }U\in\mathcal{T} \right\}$$ 은 $Y$ 위에서의 위상이 되며, '부분공간위상(subspace topology)'라 한다. 이때, $Y$ 는 $X$ 의 '부분공간(subspace)'라 부르고 $Y$ 의 원소들은 $X$ 의 모든 열린집합들과 $Y$ 의 가능한 모든 교집합들로 이루어진 열린집합에 해당한다.
이때 $\mathcal{T}_Y$ 의 원소 $Y\cap U$ 는, $Y$ 에서는 열린집합인 것이 자명하지만 $X$ 위에서는 그렇지 않을 수도 있기 때문에 $Y$ 위에서 '상대적으로 열린집합(relatively open set)' 또는 '상대적으로 열려있다(relatively open)'이라고 표현한다.^[각주:1]

 

참고로 선형대수학의 부분공간이나, 추상대수학의 부분군에서는 '$\leqslant$' 기호를 통해 그 관계를 표현하기는 합니다. 그러나 위상수학에서 부분공간을 굳이 $Y\leqslant X$ 라고 쓰지는 않는 편입니다. 대수학에서는 닫힘성과 그 상위 공간의 성질이 대물림되어 부분공간, 부분군에게 귀속된다고 볼 수 있지만, 위상수학에서는 $Y$ 가 $X$ 의 부분집합이긴 하지만 $X$ 위에서의 위상과 $Y$ 위에서의 위상은 서로 다를 수 있기 때문입니다. 그렇게 된다면 위상공간의 핵심이 위상 즉 집합 내 점들의 연결성과 근접성에 관한 것인데, 그 특징은 서로 다를 수 있기 때문에, 대수학에서 말하는 부분공간이나 부분군의 개념과 차이가 있다고 할 수 있습니다. 이러한 점에서 굳이 부등호 기호를 사용하지는 않는 편입니다.

 

으레 그래왔듯이, 이렇게 정의한 $\mathcal{T}_Y$ 가 실제로 $Y$ 위에서의 위상이 되는지를 먼저 확인해봅시다.

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예제 1) 부분공간위상의 정의대로 위상 $\mathcal{T}_Y$ 를 정의하면, 실제로 이것이 위상의 정의에 부합하는지 확인하여라.

 

Sol) T1) 공집합과 전체집합 : $\emptyset = Y\cap \emptyset$ 으로 표현 가능하므로 $\emptyset \in \mathcal{T}_Y$ 이고, $Y=Y\cap X$ 로 표현 가능하므로$Y\in\mathcal{T}_Y$ 가 된다.

 

T2) $\mathcal{T}_Y$ 의 원소들의 합집합도 $\mathcal{T}_Y$ 에 포함되는가? : 각각의 $U_i\in\mathcal{T}_Y$ 에 대해 집합족 $\{ U_i \mid i=1,2,\cdots n\}$ 을 생각하자. 그러면  $V_i\in\mathcal{T}$ 에 대하여 $U_i=Y\cap V_i$ 의 관계가 성립한다. 그러면

 

$$\bigcup_{i\in I}^{}U_i=\bigcup_{i\in I}^{}\left( Y\cap V_i \right)=Y\cap \left( \displaystyle \bigcup_{i\in I}^{}V_i \right)$$

 

의 관계가 성립하고, 마지막 항에서 $\left( \displaystyle \bigcup_{i\in I}^{}V_i \right)\in\mathcal{T}$ 가 성립한다. 따라서 정의에 의하여 마지막 항 $Y\cap \left( \displaystyle \bigcup_{i\in I}^{}V_i \right)$ 은 $\mathcal{T}_Y$ 의 포함된다.

 

T3) $\mathcal{T}_Y$ 의 원소들의 유한 교집합도 $\mathcal{T}_Y$ 에 포함되는가? : $\{ U_i\mid i=1,2,\cdots ,n\}$ 을 $\mathcal{T}_Y$ 의 원소들의 유한 교집합이라고 하자. 역시 정의에 의해서 $V_i\in\mathcal{T}$ 에 대해 $U_i=Y\cap V_i$ 로 표현할 수 있으며,

 

$$\bigcap_{i=1}^{n}U_i=\bigcap_{i=1}^{n}\left( Y\cap V_i \right)=Y\cap \left( \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}V_i \right)$$

 

의 관계가 성립한다. 마지막 항에서 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}V_i \in \mathcal{T}$ 가 성립하므로, 정의에 의해 $\bigcap_{i=1}^{n}U_i\in \mathcal{T}_Y$ 도 성립한다. $_\blacksquare$

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정리($T.P$) 2.13) 부분공간위상의 기저
위상공간 $X$ 의 기저를 $\mathcal{B}$ 라고 하자. 그러면 집합 $\mathcal{B}_Y=\left\{ B\cap Y\mid B\in\mathcal{B} \right\}$ 는 $Y$ 위에서의 부분공간위상의 기저가 된다.

증명) $X$ 위에서의 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대해 $y\in (U\cap Y)$ 를 생각하자. 물론 여기서 $Y\subseteq X$ 이다. 가정에 의해 $\mathcal{B}$ 가 $X$ 의 기저이므로, $y\in B\subseteq U$ 를 만족하는 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 가 존재한다. 그러면 $y\in (B\cap Y)\subseteq (U\cap Y)$ 의 관계도 성립한다. 그러면 정리($T.P$) 2.3) 에 의하여 $B\cap Y$ 를 기저원소로 갖는 $\mathcal{B}_Y=\left\{ B\cap Y\mid B\in\mathcal{B} \right\}$ 는 위상공간 $Y$ 의 기저가 된다. $_\blacksquare$

 

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예제 2) 위상공간이 $X=\{ 1,2,3,4,5\}$ 으로 주어졌다고 하고, 위상은

 

$$\mathcal{T}=\left\{ \emptyset, X, \{ 1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4,5\},\{ 1,3,4,5\},\{ 2,3,4,5\} \right\}$$

 

으로 주어졌다고 하자. 이는 $X$ 위에서의 위상이 된다.(왜? 한 번 쯤은 꼭 확인해보자) 그리고 $Y=\{ 1,2,3,4\} \subset X$ 를 생각하자. 부분공간위상 $\mathcal{T}_Y$ 를 원소나열법으로 표현하여라.

 

Sol) 부분공간위상의 정의를 사용하자. $\mathcal{T}$ 에 속하는 각각의 모든 열린집합을 가지고 $Y$ 랑 교집합을 만들었을 때 이 교집합들을 원소로 가지는 위상이 $\mathcal{T}_Y$ 인 것이다. 나열해보면

 

$$\begin{align*} \mathcal{T}_Y&=\left\{ Y\cap V\mid V\in\mathcal{T} \right\} \\\\&= \left\{ \right. Y\cap \emptyset, Y\cap X, Y\cap \{ 1\}, Y\cap \{2\}, Y\cap \{1,2\},Y\cap \{ 3,4,5\} \\\\ &Y\cap \{ 1,3,4,5\}, Y\cap \{2,3,4,5\} \\\\&= \{ \emptyset ,Y, \{1\}, \{2\},\{ 1,2\}, \{ 3,4\}, \{ 1,3,4\}, \{ 2,3,4\} \} \end{align*}$$

 

가 된다. 이는 $Y$ 위에서의 위상이며, 따라서 $(Y,\mathcal{T}_Y$ 는 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 위에서의 부분위상공간이 된다. $_\blacksquare$

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예제 3) 부분기저에 대한 글에서 다음 내용을 다룬 바가 있다. $X=\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$ 로 주어진 집합에 대해 집합족 $\mathcal{S}=\left\{ \left\{ 1 \right\}, \left\{ 1,2,3 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\},\left\{  3,5 \right\}\right\}$ 가 주어졌다고 하자. $\mathcal{S}$ 가 부분기저임을 보이고, 이에 대응되는 기저 $\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$  및 이로부터 생성되는 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ 를 구하라는 것이다. 정리($T.P$) 2.8) 에 의하여 $X=\displaystyle \bigcup_{S\in\mathcal{S}}^{} S$ 의 관계가 만족하므로, $\mathcal{S}$ 는 집합 $X$ 위에서의 위상의 부분기저가 된다. 이 정리에 의하여

 

$$\begin{align*} \mathcal{B}_{\mathcal{S}}:&=\left\{ B=\displaystyle \bigcap_{S\in F}^{} S\mid F\in \mathcal{P}_F(\mathcal{S}) \right\} \\\\&=\left\{ \emptyset, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2,3 \right\}, \left\{ 3 \right\}, \left\{ 1,2,3 \right\},\left\{  2,3,4 \right\},\left\{  3,5 \right\} \right\} \end{align*}$$

 

가 된다. 그러면 위상은

 

$$\begin {align*}\mathcal{T}_{\mathcal{S}} =\mathcal{T}_{\mathcal{B}_{\mathcal{S}}}&= \left\{ U=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}B_{\alpha}\subseteq X \mid B_{\alpha}\in \mathcal{B}\;,\;\alpha\in I\;,\;\forall B_{\alpha} = \displaystyle \bigcap_{S\in F_{\alpha}}^{}S \;\;\text{ where}\;\; F\in\mathcal{P}_F(\mathcal{S}) \right\}\\\\&= \left\{ \bigcup_{B\in E}^{}B\mid E\subseteq\mathcal{B_{\mathcal{S}}}\;\left(  \Leftrightarrow \; E\in\mathcal{P}(\mathcal{B}_{\mathcal{S}}) \right) \right\} \\\\&= \left\{ \right.  \emptyset, X, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2,3 \right\}, \left\{ 3 \right\},  \left\{ 1,2,3 \right\}, \left\{ 2,3,4 \right\}, \left\{ 3,5 \right\},  \\\\& \;\;\;\;\;\{ 1,3\}, \left\{ 1,2,3,4 \right\}, \left\{ 1,3,5 \right\}, \\\\&\;\;\;\;\; \left\{ 2,3,5 \right\}, \left\{ 1,2,3,5 \right\}, \left\{ 2,3,4,5 \right\} \left. \right\} \end{align*}$$

 

가 된다.

 

이제 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_{\mathcal{S}}$ 라 하자. $Y=\{ 1,2,3\} \subset X$ 로 주어졌을 때 $\mathcal{B}_Y$ 를 구하고 이에 의해 생성되는 위상 $\mathcal{T}_{\mathcal{B}_Y}$ 를 구하여라. 그러면 이 위상이 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 의 부분집합 $Y$ 위에서의 부분공간위상 $\mathcal{T}_Y$ 와 같음을 보여라. 여기서 $X$ 의 기저를 $\mathcal{B}=\mathcal{B}_{\mathcal{S}}$ 라 표기하고 풀면 된다.

 

 

Sol) $\mathcal{T}_{\mathcal{B}_Y}$ 부터 구해보자. 정리($T.P$) 2.13) 에 의하여, 아래와 같이 구하면 이는 위상공간 $Y$ 에서의 부분공간위상 $\mathcal{T}_Y$ 의 기저가 된다 :

 

$$\begin{align*} \mathcal{B}_Y&=\left\{ B\cap Y\mid B\in\mathcal{B} \right\} \\\\&=\left\{ \right. \{1\}\cap Y, \{3\}\cap Y, \{2,3\}\cap Y, \{3,5\}\cap Y,  \\\\& \;\;\;\;\;\{1,2,3\}\cap Y, \{2,3,4\}\cap Y, \left.\right\} \\\\&= \left\{ \{1\},\{3\},\{2,3\},Y \right\} \end{align*}$$

 

즉 정리($T.P$) 2.13) 에 의하면 이 기저 $\mathcal{B}_Y$ 에 의해 생성되는 위상이 $\mathcal{T}_Y$ 라는 것이다. 여기까지 하면 논리적인 증명을 끝내도 충분하지만, 실제로 그러한지 기저의 정의를 바탕으로 이 $\mathcal{T}_Y$ 에 의해 생성되는 위상을 그냥 노가다로 구해보자 :

 

$$\begin{align*} \mathcal{T}_{\mathcal{B}_Y}&=\left\{ U=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in  I}^{}C_{\alpha}\mid \alpha \in I\;,\;C_{\alpha}\in \mathcal{B}_Y  \right\} \\\\&=\left\{ \right. \emptyset, Y, \{1\},\{3\},\{ 1\}\cup \{3\},\{ 1\}\cup \{2,3\},  \\\\& \;\;\;\;\;  \{ 1\}\cup Y, \{ 3\}\cup \{2,3\},\{ 3\}\cup Y ,\{ 2,3\}\cup Y \left. \right\} \\\\&= \left\{ \emptyset, Y, \left\{ 1 \right\},\left\{ 3 \right\}, \left\{ 1,3 \right\},\left\{ 2,3 \right\} \right\} \end{align*}$$

 

예상했던 것과 같이, 기저의 정의를 쓰더라도 $\mathcal{T}_Y$ 와 같은 결과를 얻는다. $_\blacksquare$

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2) 열린집합 관계에 관한 정리

 

일반적으로 $U\in\mathcal{T}_Y$ 인 어떤 $Y$ 위에서의 열린집합 $U$ 를 생각해보면, 이것이 항상 $X$ 위에서 열린집합이 되라는 보장은 없습니다. 정의에 의하면 $U$ 는 $Y$ 위에서는 확실히 열린집합이지만 반드시 $(X,\mathcal{T}$) 에 대해 $U\in\mathcal{T}$ 라고 보장할 수는 없다는 뜻입니다. 그럼에도 불구하고 언제 $X$ 위에서 열린집합이 되는지를 말할 수 있는데, 그것이 정리($T.P$) 2.14) 에 관한 내용입니다. 또한, 만일 어떤 $U$ 가 $X$ 위에서 이미 열린집합인데, $Y$ 의 부분집합이라면, 왠지 $Y$ 에서도 열린집합이 되어야 하지 않을까요? 그것이 바로 정리($T.P$) 2.15) 에 해당합니다. 

 

 

정리($T.P$) 2.14)
$Y$ 가 $X$ 의 부분공간이라고 하자. 만일 $U\subseteq Y$ 가 $Y$ 위에서의 열린집합이고 $Y$ 는 $X$ 위에서의 열린집합이면, $U$ 또한 $X$ 위에서의 열린집합이다.
즉, 부분공간 $Y$ 위에서의 열린집합이 $X$ 위에서도 열린집합이 되기 위해서는 그 집합이 $X$ 위에서도 열린집합이어야 한다.

정리($T.P$) 2.15)
$Y$ 가 $X$ 의 부분공간이라고 하자. 만일 $U\subseteq X$ 가 $X$ 위에서의 열린집합이고 $U\subseteq Y$ 이면, $U$ 는 $Y$ 위에서도 열린집합에 해당한다.

위 정리의 증명) $U\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 열린집합이면, 부분공간위상의 정의에 의하여 $U=Y\cap V$ 를 만족하는 $X$ 위에서의 열린집합 $V\subseteq X$ 가 존재한다. 가정에 의해 $Y$ 또한 $X$ 위에서의 열린집합이기 때문에, 위상의 유한 교집합 조건 T3) 에 의하여 $Y\cap V=U$ 또한 $X$ 위에서의 열린집합이다.

결과적으로 $U\subseteq Y\subseteq X$ 의 관계가 성립하며, $U,Y,V$ 는 모두 $X$ 위에서의 열린집합이다. $_\blacksquare$


아래 정리의 증명) $U\subseteq Y$ 이면 $U$ 는 $U=Y\cap U$ 로 적을 수 있다. 가정에 의해 $U$ 가 $X$ 위에서 열린집합이기 때문에, $U$ 를 포함하는 $X$ 의 위상 $\mathcal{T}$ 를 생각하면 부분공간위상

$$\mathcal{T}_Y=\{ Y\cap U\mid U\in\mathcal{T} \}$$
를 정의할 수 있다. 이때 $\mathcal{T}_Y$ 의 원소는 $Y\cap U=U$ 에 해당하므로 $U$ 는 $Y$ 위에서의 열린집합이기도 하다. $_\blacksquare$

 

 

여기서 이 두 정리는, 역의 관계인 것 같아 보이지만 정확한 역의 관계라기보다는 미묘한 가정 조건상의 차이가 있습니다. 앞의 정리는 $Y$ 위에서의 열린집합이 반드시 $X$ 위에서의 열린집합일 필요는 없다는 것을 뜻합니다. 이것이 $U\subseteq Y$ 가 $Y$ 위에서의 상대적 열려있다는 표현을 하는 이유에 해당합니다. 반면 뒤의 정리는, $X$ 의 열린집합이 하나 주어졌을 때는, 그것이 $Y$ 에 들어있기만 해도 $Y$ 에서 열린집합이라는 의미를 담고 있습니다.

 

 

3) 곱 위상과 순서 위상과의 연결

 

정리($T.P$) 2.16)
두 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 $(Y,\mathcal{T}')$ 을 고려하자. 만일 $A$ 가 $X$ 의 부분공간이고, $B$ 가 $Y$ 의 부분공간일 때 $X\times Y$ 의 부분공간위상 $A\times B$ 는, 곱 위상 $A\times B$ 와 같다.

증명) 두 위상공간의 데카르트 곱 $X\times Y$ 으로 만들어질 곱 위상을 $\mathcal{T}_{X\times Y}$ 라 하자. $X\times Y$ 의 기저는 $\mathcal{B}_{X\times Y}=\left\{ U\times V\mid U\in\mathcal{T},V\in\mathcal{T}' \right\}$ 으로 쓸 수 있다. 가정에 의하여 $A,B$ 는 각각 위상공간 $X,Y$ 의 부분공간이기 때문에, 정리($T.P$) 2.13) 에 의하여, 부분공간위상으로서의 기저는

$$\mathcal{B}_{A\times B}=\{ (U\times V)\cap (A\times B)\mid U\times V \in \mathcal{B} \}$$
와 같이 나타낼 수 있다.

한편, 단순히 $A\times B$ 를 곱 위상으로서만 해석하기 위해 $A\times B$ 라는 곱 위상의 기저 $\mathcal{B}'=\{ W\times Z\mid W\in \mathcal{T}_A\;,\;Z\in\mathcal{T}_B\}$ 을 고려하자. 이 정리를 증명하기 위해서는 $\mathcal{B}'=\mathcal{B}_{A\times B}$ 라는 것을 보여야 하기 때문에, 양방향으로 각각 $\mathcal{B}'\subseteq \mathcal{B}_{A\times B}$ 와 $\mathcal{B}_{A\times B}\subseteq \mathcal{B}'$ 을 순서대로 보이자.

i) 곱 위상이 부분공간위상이 된다 $\Longleftrightarrow$ $\mathcal{B}'\subseteq \mathcal{B}_{A\times B}$ : $W\times Z\in\mathcal{B}'$ 를 생각하자. $W\in \mathcal{T}_A$ 이고 $Z\in\mathcal{T}_B$ 이기 때문에, 부분위상공간의 정의에 의하여 어떤 $U\in\mathcal{T}$ 와 $V\in\mathcal{T}'$ 에 대하여 $W=U\cap A$ 이고 $Z=V\cap B$ 의 관계가 성립한다. 그러면 

$$W\times Z=(U\cap A)\times (V\cap B)=(U\times V)\cap (A\times B)\in\mathcal{B}_{A\times B}$$
가 성립한다.

ii) 부분공간위상이 곱 위상이 된다 $\Longleftrightarrow$ $\mathcal{B}_{A\times B}\subseteq \mathcal{B}'$ : $(U\times V)\cap (A\times B)\in\mathcal{B}_{A\times B}$ 를 생각하자. 여기서 $U\in\mathcal{T}$ 이고 $V\in\mathcal{T}'$ 이다. i) 에서 했던 것처럼(역방향으로 가면) $(U\times V)\cap (A\times B)=(U\cap A)\times (V\cap B)$ 가 성립하는데, 가정에 의해 $A,B$ 는 각각 $X,Y$ 의 부분공간이기 때문에 $U\cap A\in\mathcal{T}_A$ 이고 $V\cap B\in\mathcal{T}_B$ 가 성립한다.^[각주:2] 따라서, $(U\times V)\cap (A\times B)\in\mathcal{B}'$ 이 성립한다. 

i) 과 ii) 에서, $\mathcal{B}'=\mathcal{B}_{A\times B}$ 가 성립한다. 따라서 이들 각각에 의해 생성되는 위상이 같다는 것인데, 하나는 단순히 $A\times B$ 위에서의 곱 위상, 후자인 나머지 하나는 $X\times Y$ 의 부분공간 $A\times B$ 에서의 위상이다. 이 둘은 동일하다는 결론을 얻는다. $_\blacksquare$

 

 

위 정리는 곱 위상과 부분공간위상의 관련성을 설명하고 있습니다. 반면 아래에 소개할 예제는 순서위상과 부분공간위상의 연관성을 말합니다.

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예제 4) 실직선 $\mathbb{R}$ 위에서의 보통위상을 생각하고, $\mathbb{R}$ 의 부분집합으로서 닫힌구간 $Y=[0,1]$ 을 생각하자. $Y$ 위에서의 부분공간위상을 고려하려고 한다. 그러면 이 부분공간위상은 순서위상임을 보이고, 둘은 동일함을 보여라.

 

 

Sol) 보통위상공간은 $\left( \mathbb{R}, \mathcal{T} \right)$ 으로 표기할 수 있고 이때의 보통위상을 생성하는 기저는 $\mathcal{B}=\left\{ (a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}\;,\;a< b \right\}$ 에 해당한다. 정리($T.P$) 2.13) 에 의하여 $Y\subseteq \mathbb{R}$ 의 기저를

 

$$\mathcal{B}_Y=\left\{ (a,b)\cap Y\mid  (a,b)\in\mathcal{B}\right\}$$

 

으로 잡으면 $Y$ 는 부분공간위상이 된다. 이때, $\mathcal{B}_Y$ 의 원소들을 순서위상의 정의에 해당하는 기저원소들과 정말 같은지 다음의 분류 과정을 통해 확인할 수 있다.

 

$$\mathcal{B}_Y\ni \left( (a,b)\cap Y \right) = \left\{ \begin{array}{cl} Y=[0,1] & a<0\;,\;b>1\\ (a,b) &  0\leq a< b\leq 1 \\ [0,b) &  a<0 < b\leq 1 \\ (a,1] & 0 \leq a < 1 < b\\ \emptyset & a\notin Y\;,\;b\notin Y \end{array} \right.$$

 

따라서 이 기저원소들은 정확히 순서위상에 정의에 해당하는 기저의 형태로 이루어져 있음을 알 수 있다. 기저원소는 반드시 그 자체로 열린집합이기 때문에, 여기서 $Y,\emptyset, (a,b), [0,b), (a,1]$ 들은 모두 $Y$ 위에서의 열린집합이다. 그러나, 이중에서 $[0,b)\;,(a,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 위에서는 반열린구간이고, $Y$ 는 $\mathbb{R}$ 위에서는 닫힌구간이니,^[각주:3] 보통위상의 기저 $\mathcal{B}$ 에 포함되지는 않기 때문에, 보통위상공간 $\mathbb{R}$ 위에서는 열린집합이 아니다. 반면 $(a,b)$ 는 $Y$ 위에서나 $\mathbb{R}$ 위에서나 모두 열린집합이다. 즉, 여기서 순서위상은 보통위상의 부분공간위상과 동일하긴 하지만, 위의 5개의 식 모두 $Y$ 에서는 열린집합이나, 일부는 $\mathbb{R}$ 위에서는 열린집합이 아니다. $_\blacksquare$

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예제 5) 집합 $Y=[0,1)\cup \{ 2\}\subseteq \mathbb{R}$ 을 생각하자. $Y$ 위에서의 부분공간위상과 순서위상이 같지 않음을 보여라.

 

 

Sol) 보통위상의 기저 중 $\left( \displaystyle \frac{5}{2},\displaystyle \frac{3}{2} \right)$ 를 생각해보자. 그러면 $\left( \displaystyle \frac{5}{2},\displaystyle \frac{3}{2} \right)\cap Y=\{ 2\} \in\mathcal{B}_Y$ 가 성립하므로 단원소집합 $\{ 2\}$ 는 $Y$ 의 부분공간위상의 기저원소에 해당, 고로 $Y$ 위에서의 부분공간위상의 원소이므로, $Y$ 위에서 열린집합이 된다.

 

반면 $Y$ 위에서 순서위상을 생각해보자. $2\in Y$ 는 $Y$ 의 최대원소이기 때문에, $2$ 를 포함하는 $Y$ 의 순서위상의 기저원소는 항상 어떤 $a\in Y$ 에 대하여 $(a,2]=\{ x\mid x\in Y\;,\; a< x\leq 2$ 의 꼴을 가지고 있다고 볼 수 있다. 따라서 마트로시카 정리(정리($T.P$) 2.2))에 의하여, $Y$ 의 순서위상에서 $\{ 2\}$ 는 열린집합이 될 수 없다. 왜냐하면, 귀류법을 써서 만일 $\{2\}$ 가 $Y$ 의 순서위상의 원소, 즉 $\{2\}$ 가 $Y$ 위에서 열린집합이라고 가정하면, 마트로시카 정리에 의해서 $x\in U:=\{ 2\}$ 이면 $x\in B\subseteq U$ 가 성립하는 $B\in\mathcal{B}$ 가 존재해야 하기 때문이다. 그런데 $U=\{ 2\}$ 즉 $\{2\}$ 라는 단원소집합을 $Y$ 위에서 열린집합이라고 가정하는 순간 $x=2$ 를 택하면 $x=2\in B\subseteq U=\{ 2\}$ 가 성립되게 하는 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 는 위에서 보았듯이 $B$ 가 $(a,2]$ 형태이기 때문에 오히려 $U\subseteq B$ 꼴이 되는 셈으로, 존재하지 않기 때문이다. $_\blacksquare$

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[참고문헌]

James Munkres, Topology 2E

 

 

 

 

1. 상대적으로 열려있다는 표현은 '$Y$' 위에서 그러하다는 뜻입니다. $X$ 위에서 상대적으로 열려있다는 뜻이 아닙니다. 물론, 부분위상의 원소는 $Y$ 에서는 앞서 설명했듯이 이미 열린집합인 것이 확실합니다. 하지만 그래도 '상대적으로 열려있다'고 표현함으로서, $X$ 에서는 열려있을 수도 있고 아닐 수도 있다는 사실을 함의하는 셈입니다. [본문으로]
2. 여기서, $A,B$ 가 각각 $X,Y$ 에서 열린집합이어야만 하는 것은 아니다. 왜냐하면, $X,Y$ 의 부분공간위상이 $A,B$ 인데 부분공간위상은 반드시 위상공간에서 열린집합이어야만 한다고 볼 수는 없기 때문이다. 하지만, $U$ 는 $X$ 에서 열린집합이니, $U\cap A\subseteq U$ 가 성립하고, 따라서 이 교집합은 $X$ 에서 열린집합이다. $Y$ 에 대해서도 마찬가지다. [본문으로]
3. 이 표현에 주의해봅시다. 어떤 집합이 '열린집합'이라는 것은 일단 "어떤 위상공간" 위에서 열린집합인지의 소속을 대야 합니다. 그런데 $(a,b)$ 나 공집합은 보통위상공간 $\mathbb{R}$ 에서나 부분공간위상공간(= $Y$) 위에서나 열린집합이지만, $[0,b)$ 와 $(a,1]$ 의 경우 $Y$ 위에서는 열린집합이나(순서위상이니까) $\mathbb{R}$ 위에서는 반열린구간이니 열린집합이 아니라는 뜻입니다. [본문으로]