계속해서 '열림'과 '닫힘'이라는 성질을 연구하였으니, 언어적으로 볼 때 이들 개념을 바탕으로 어떤 영역의 경계에 관한 설명을 하는 것임을 예상할 수 있습니다. 열림과 닫힘의 성질을 이용해 주어진 대상의 내부와 경계에 대한 논의를 할 수 있습니다.
1. 집합의 내부, 폐포, 경계, 외부
1) 정의
정의(T.P) 2-18) 내부, 폐포, 경계, 외부의 정의
위상공간 (X,T) 와 부분집합 A⊆X 를 생각하자.
① A 의 '내부(interior)'란 A 에 포함된 모든 열린집합의 합집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 :
int(A)=A∘:=⋃{U∣U⊆AandUis open in X}=⋃{U∣U⊆AandU∈T,U⊆X} ② A 의 '폐포(closure)'란, A 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 :
ClX(A)=¯A=⋂{C∣A⊆CandCis closed in X}=⋂{C∣A⊆Cand(X−C)∈T,(X−C)⊆X} ③ A 의 '경계(boundary)'란 Bd(A)=∂A:=¯A∩¯X−A 와 같이 정의한다. 경계 ∂A 에 속한 점은 A 의 '경계점(boundary point)'이라고 부른다.
④ A 의 '외부(exterior)'란 X−A 의 내부로 정의하여, ext(A):=int(X−A)=(X−A)∘ 과 같이 나타낸다.
보조정리(T.P) 2.1) 정의로부터 따라 나오는 내부와 폐포의 성질
① 위상공간 X 의 부분집합 A 에 대해, 다음이 성립한다.
A∘⊆A⊆¯A ② 위상공간 X 의 부분집합 A 에 대해, 폐포 ClX(A) 는 닫힌집합이고 내부 A∘ 는 열린집합임이 자명하다.
정의 자체는 어렵지 않습니다. 내부는 말그대로 경계를 제외한 내부의 원소들을 말하는 것이고, 폐포는 내부에 경계를 합친 것으로 볼 수 있습니다. 따라서 보조정리에 들어있는 내용처럼 어떤 집합 A⊆X 에 대해 A∘⊆A⊆¯A 의 관계가 성립하고, 위상의 정의와 닫힌집합의 성질로부터 폐포는 닫힌집합들의 교집합이니 닫힌집합이며 내부는 열린집합들의 합집합이니 열린집합임을 알 수 있습니다.
폐포에서 중요한 것은 어떤 공간에서의 폐포인지를 따지는 것입니다. 제시된 위상공간이 다르다면, 같은 집합이라고 해도 폐포의 범위가 달라질 수 있습니다. 이것은 근본적으로 폐포가 경계를 포함하기 때문입니다. 일전에 X 의 부분공간 Y 에서 열린집합이라고 해도 X 에선 반드시 열린집합이 아닐 수 있음을 설명한 바가 있습니다. 그러면, 제시된 바탕의 위상공간이 X 인지 Y 인지에 따라 열린집합이 될수도, 닫힌집합이 될수도 있으니, 경계 포함 여부가 달라지면서 폐포에 포함되는 원소가 달라질 수 있다는 뜻이 됩니다. 그래서 위상공간을 아래첨자에 달아 ClX(A) 라고 적는 것입니다.
또한 기본적인 정의로부터, 내부는 열린집합임을 알 수 있습니다. T2) 에 따라 열린집합의 합집합도 열린집합이기 때문입니다. 반면 폐포의 경우 모든 닫힌집합의 교집합이니 정리(T.P) 2.17) 에 의하여 폐포 역시 닫힌집합이 됨을 쉽게 확인할 수 있습니다.
2) 특징
정리(T.P) 2.20) 위상공간과 공집합의
임의의 위상공간 X 에 대하여,
① 공집합의 내부, 폐포, 경계는 모두 공집합이고, 외부는 위상공간(전체집합)이다 : ∅∘=¯∅=∂∅=∅ 이고, ext(∅)=X 이다.
② 전체집합의 내부와 폐포는 자기 자신이고, 경계와 외부는 공집합이다 : X∘=¯X=X 이고, ∂X=ext(X)=∅ 이다.
증명) ① 공집합은 공집합을 제외한 어떤 열린집합도 부분집합으로 가지지 않으므로, 내부의 정의를 고려하면 공집합의 내부는 공집합과 같다. 폐포의 정의를 고려하기 위해서, ∅⊆C 인 X 위에서의 닫힌집합 C 를 생각하자. 그러면 X−C 는 열린집합이므로 위상의 원소이고, ∅⊆X−C 가 성립한다. 그런데 C∩(X−C)=∅ 이므로 이는 오로지 C=∅ 인 경우에 해당된다. 그러면 공집합의 교집합도 공집합이므로, 공집합의 폐포는 자기 자신임을 얻는다. 이로부터 경계도 공집합임을 쉽게 얻을 수 있다. 마지막으로 공집합의 외부는 X−∅=X 의 내부와 같은데, X 의 내부는 아래에서 보이겠지만 자기 자신과 같다. 따라서 공집합의 외부는 위상공간이다.
② 위상공간의 임의의 위상도 위상공간 X 를 포함하므로, 위상의 열린집합의 합집합은 반드시 T1) 에 따라 X 를 포함한다. 따라서 X 의 내부는 X 와 같다. 또한 X 는 위상공간(전체집합)이므로 X 를 포함하는 어떤 임의의 닫힌집합은 X 뿐이다. 따라서 이들의 교집합은 X 자기 자신이므로, X 의 폐포는 정의에 따라 자기 자신임을 얻는다. 반면 X−X=∅ 공집합의 폐포는 공집합이니, ∅∩¯X=∅∩X=∅=∂X 를 얻는다. 마지막으로 X 의 외부는 X−X=∅ 의 내부로 정의되기 때문에, 공집합과 같다. ◼
정리(T.P) 2.21)
위상공간 X 의 부분위상공간 Y 를 생각하자. 만일 A⊆Y 이고 ¯A=ClX(A), 라 하면, 1ClY(A)=¯A∩Y 가 성립한다.
증명) 편의상 B=clY(A) 라 두고, B⊆(¯A∩Y) 를 한 번 보이고 (¯A∩Y)⊆B 를 한 번 보이자.
i) ¯A 는 X 에서의 폐포이니 X 에서 닫혀있으므로, ¯A∩Y 는 정리(T.P) 2.18) 에 의하여 Y 위에서도 닫혀있다. 이때 폐포의 정의에 따라 clY(A)=B=⋂{C∣A⊆CandCis closed in Y} 이므로, B⊆(¯A∩Y) 가 성립한다. 2
ii) 한편으로, B=ClY(A) 는 Y 에서 닫혀있으니, 정리(T.P) 2.18) 에 의해 X 에서의 닫힌집합 C 에 대하여 B=C∩Y 와 같이 나타낼 수 있다. 그런데 ¯A 의 폐포라는 정의상, A 는 모든 X 의 닫힌집합의 교집합이기 때문에, 그 어떤 X 의 닫힌집합도 ¯A 를 포함하기 때문에 ¯A⊆C 의 관계가 성립한다. 따라서 (¯A∩Y)⊆(C∩Y)=B 가 성립한다. ◼
2. 교차와 근방
1) 정의
정의(T.P) 2-19) 교차한다
두 집합 A,B 에 대해 A∩B≠∅ 이면, A 와 B 는 '교차한다(intersect)'고 한다.
정리(T.P) 2.22)
위상공간 X 의 한 부분집합 A 를 고려하자.
① x∈¯A 일 필요충분조건은 x∈U 인 모든 X 에서의 열린집합 U 가 A 와 교차하는 것, 즉 ∀U∩A≠∅ 인 것이다. 달리 말하자면 x 의 모든 근방이 A 와 교차하는 것이다 3
② 기저 B 에 의해 위상공간 X 가 생성되었다고 하자. 그러면 x∈¯A 일 필요충분조건은 모든 x∈B 인 기저원소 B 가 A 와 교차하는 것, 즉 ∀B∩A≠∅ 인 것이다.
증명) ① 대우법을 사용해서 증명한다. x∈¯A 를 가정하자. 그러면 U=X−¯A 라는 집합은 ¯A 가 폐포이니 열린집합이고, x 를 포함하면서, A 와 교차하지는 않는다. 반대로, x∈U 이고 A 와는 교차하지 않는 열린집합 U 가 존재한다고 하자. 그러면 X−U 는 닫힌집합이면서 A⊆(X−U) 여야 한다. 폐포의 정의에 따라, X−U 는 닫힌집합이니 ¯A⊆(X−U) 여야 한다. 그러면 x∉¯A 이다.
② 정리(T.P) 2.5) 에 의하여 모든 기저원소는 열린집합이다. 따라서 ① 에 의하여 U 대신 B 를 대입하면 가는 방향의 명제가 성립한다. 반대로, 모든 x∈B 인 기저원소 B 에 대해 B∩A≠∅ 이라고 하면, 모든 열린집합 U 또한 A 와 교차한다. 이는 임의의 열린집합은 기저원소의 합집합으로 구성되어 있기 때문이다. 따라서 ① 에 의해 x∈¯A 가 성립한다. ◼
2) 경계와 근방에 관한 고찰
교차한다는 말은 단순히 교집합이 공집합이 아니라는 것이니 일상 언어적인 표현과 잘 들어맞는 것으로 보입니다. 그리고 위 정리는 폐포와 열린집합의 관계입니다.
결국 어떤 원소가 폐포에 들어가 있기 위한 조건으로는 내부에 있는 경우와 경계에 있는 경우 둘 중 하나여야 합니다. 점이 내부에 있는 경우, 내부(interior)의 정의에 따라 열린집합들의 합집합이 내부이기 때문에 자명히 그 점을 포함하는 열린집합이 있을 것입니다. 반면 A 의 폐포 중 경계에 점이 있을 때는, 그 점을 나타내기 위해 닫힌집합을 끌어와야 하지만, 그렇게 할 필요 없이, 단순히 그 경계에 있는 점 '근방'에 있는 그 점을 포함하는 열린집합을 잡고, 그 열린집합과 A 의 경계가 0이라는 것을 보여주면 충분합니다.

이것은 일상에서 우리가 '경계'를 생각하는 방식과 유사합니다. 두 나라 A,B 의 국경이 그림과 같이 있다고 했을 때 경계에 선 사람을 생각해 봅시다. 딱 경계선만 일단 밟고 있는 상태입니다. 여기서 '임의의 한 발자국'만 뻗어서 원이라는 그 사람 주위에 '근방'을 만들었을 때, 그 근방은 반드시 A,B 와 '교차'합니다. 하지만, 경계에 벗어나서 B 라는 국가 안에 들어가 서 있는 경우가 되면, 적당한 '근방'을 만들어서 그 근방이 전부 B 에만 속하게 만들 수 있습니다. 그래서 경계를, 어떤 지점에서 작은 원과 같은 근방을 만들었을 때 그것이 외부와도 교차하고, 내부와도 반드시 교차하는 경우로 정의하기도 합니다. 다음과 같이 말이죠.
정리(T.P) 2.23) 내부점과 경계점 판별법(경계의 또다른 정의 방식)
① x∈A∘ 일 필요충분조건은 x∈U 인 어떤 X 에서의 열린집합 U 가 A 의 부분집합, 즉 U⊆A 인 것이다.
② x∈∂A 일 필요충분조건은 x∈U 인 모든 X 에서의 열린집합 U 에 대하여, U∩A≠∅ 이고 U∩(X−A)≠∅ 가 성립하는 것이다. 곧 x∈U∈T 인 X 에서의 열린집합 U 는 외부와도 교차하고 내부와도 교차한다.
이 정리에서 ②번이 바로 경계에 관한 새로운 접근법인 셈이라고 볼 수 있습니다. 이에 맞추어, 내부에 대한 필요충분조건도 ①과 같이 찾을 수 있게 됩니다. 또한 같이 설명하면서 위에서 '근방'이라는 표현을 사용했는데, 느낌적으로 어떤 뜻인지 이해하실 수 있을거라 믿습니다. 정확하게는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
정의(T.P) 2-20) 근방(neighborhood, vicinity)
위상공간 X 의 점 x∈X 에 대해 x 의 '근방(neighborhood)'일 필요충분조건은 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 것이다.
① 열린집합 U 가 x 의 근방(neighborhood) : X 위에서의 열린집합 U 가 x 를 포함하고 있다는 것으로 정의한다.
② A⊆X 가 x 의 근방(neighborhood) : U⊆A 인 열린집합 U 가 x 를 포함하고 있다는 것으로 정의한다.
여기서 U 는 집합이고, x 는 그러한 집합에 포함될 수 있는 원소 개념입니다. x∈U 라는 것을, 입체적으로, 기하적으로 나중에 그림을 그릴 수 있는 상황에서 보게 되면, 결국 x 를 포함하는 주변의 근방 영역이 U 에 대응되는 개념이라는 것을 알 수 있기 때문에 이러한 표현을 사용하는 것으로 볼 수 있습니다. 이 표현으로, 위의 정리(T.P) 2.22)-① 을 위에서 설명했던 것과 같이 재진술 할 수 있습니다.
[참고문헌]
James Munkres, Topology 2E
- 그러니까 A 의 'X 에서의 폐포'를 생각한다는 뜻이다. [본문으로]
- 여기서 부등호 방향이 왜 이 방향으로 성립하는지 탐구를 좀 해봅시다. 어떤 부분집합 관계 H⊆G 를 보인다는 것은 임의의 h∈H 를 뽑았을 때 그것이 반드시 h∈G 의 관계를 만족시키는 경우를 말합니다. 좌변의 B 에서 원소를 하나 뽑으면, 그 원소는 C 들의 교집합인데 이 C 는 Y 에서 닫혀있고 A⊆C 를 만족합니다. 반면 우변의 ¯A∩Y 에서 원소를 하나 뽑으면, 이는 위에서 설명했듯이 Y 에서 닫혀있고 A⊆(¯A∩Y) 가 성립하기 때문에 A 의 모든 원소를 포함하고 있는 집합입니다. 따라서, 좌변에서 임의의 원소를 뽑으면 우변에도 필히 들어가 있습니다. 우변은 C 들을 모두 들고 있는데, 좌변은 그러한 C 들의 교집합입니다. [본문으로]
- '근방'이 무엇인지의 정의는 아래에서 합니다. [본문으로]
'위상수학(Topology) > 위상공간' 카테고리의 다른 글
위상공간에서 함수의 연속의 정의(Continuous function in topology) (0) | 2024.04.25 |
---|---|
위상수학에서 극한점, 집적점(limit point, accumulation point, cluster point) (1) | 2024.04.21 |
위상수학에서 닫힌집합(Closed set in topology) (0) | 2024.04.18 |
부분공간위상(Subspace topology) (0) | 2024.04.17 |
곱 위상(Product topology) (0) | 2024.04.13 |
댓글