위상수학에서 내부, 폐포, 경계, 외부(Interior, closure, boundary, exterior in Topology)

계속해서 '열림'과 '닫힘'이라는 성질을 연구하였으니, 언어적으로 볼 때 이들 개념을 바탕으로 어떤 영역의 경계에 관한 설명을 하는 것임을 예상할 수 있습니다. 열림과 닫힘의 성질을 이용해 주어진 대상의 내부와 경계에 대한 논의를 할 수 있습니다.

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1. 집합의 내부, 폐포, 경계, 외부

 

1) 정의

 

정의($T.P$) 2-18) 내부, 폐포, 경계, 외부의 정의
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 부분집합 $A\subseteq X$ 를 생각하자.
① $A$ 의 '내부(interior)'란 $A$ 에 포함된 모든 열린집합의 합집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 : 
$$\begin{align*} \operatorname{int}(A)=A^\circ&:=\displaystyle \bigcup_{}^{}\left\{ U\mid U\subseteq A\;\text{and}\; U\;\text{is open in }X \right\} \\&=\displaystyle \bigcup_{}^{}\left\{ U\mid U\subseteq A\;\text{and}\; U\in\mathcal{T}\;,\;U\subseteq X \right\} \end{align*}$$ ② $A$ 의 '폐포(closure)'란, $A$ 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 : 
$$\begin{align*} \operatorname{Cl}_X(A)=\overline{A}&=\displaystyle \bigcap_{}^{}\left\{ C\mid A\subseteq C\;\text{and}\; C\;\text{is closed in }X \right\} \\&=\displaystyle \bigcap_{}^{}\left\{ C\mid A\subseteq C\;\text{and}\; (X-C)\in\mathcal{T}\;,\;(X-C)\subseteq X \right\} \end{align*}$$ ③ $A$ 의 '경계(boundary)'란 $\operatorname{Bd}(A)=\partial A:=\overline{A}\cap \overline{X-A}$ 와 같이 정의한다. 경계 $\partial A$ 에 속한 점은 $A$ 의 '경계점(boundary point)'이라고 부른다.

④ $A$ 의 '외부(exterior)'란 $X-A$ 의 내부로 정의하여, $\operatorname{ext}(A):=\operatorname{int}(X-A)=(X-A)^\circ$ 과 같이 나타낸다.

보조정리($T.P$) 2.1) 정의로부터 따라 나오는 내부와 폐포의 성질
① 위상공간 $X$ 의 부분집합 $A$ 에 대해, 다음이 성립한다.
$$A^\circ \subseteq A \subseteq \overline{A}$$ ② 위상공간 $X$ 의 부분집합 $A$ 에 대해, 폐포 $\operatorname{Cl}_X(A)$ 는 닫힌집합이고 내부 $A^\circ$ 는 열린집합임이 자명하다.

 

정의 자체는 어렵지 않습니다. 내부는 말그대로 경계를 제외한 내부의 원소들을 말하는 것이고, 폐포는 내부에 경계를 합친 것으로 볼 수 있습니다. 따라서 보조정리에 들어있는 내용처럼 어떤 집합 $A\subseteq X$ 에 대해 $A^\circ \subseteq A \subseteq \overline{A}$ 의 관계가 성립하고, 위상의 정의와 닫힌집합의 성질로부터 폐포는 닫힌집합들의 교집합이니 닫힌집합이며 내부는 열린집합들의 합집합이니 열린집합임을 알 수 있습니다.

 

폐포에서 중요한 것은 어떤 공간에서의 폐포인지를 따지는 것입니다. 제시된 위상공간이 다르다면, 같은 집합이라고 해도 폐포의 범위가 달라질 수 있습니다. 이것은 근본적으로 폐포가 경계를 포함하기 때문입니다. 일전에 $X$ 의 부분공간 $Y$ 에서 열린집합이라고 해도 $X$ 에선 반드시 열린집합이 아닐 수 있음을 설명한 바가 있습니다. 그러면, 제시된 바탕의 위상공간이 $X$ 인지 $Y$ 인지에 따라 열린집합이 될수도, 닫힌집합이 될수도 있으니, 경계 포함 여부가 달라지면서 폐포에 포함되는 원소가 달라질 수 있다는 뜻이 됩니다. 그래서 위상공간을 아래첨자에 달아 $\operatorname{Cl}_X(A)$ 라고 적는 것입니다.

 

또한 기본적인 정의로부터, 내부는 열린집합임을 알 수 있습니다. T2) 에 따라 열린집합의 합집합도 열린집합이기 때문입니다. 반면 폐포의 경우 모든 닫힌집합의 교집합이니 정리($T.P$) 2.17) 에 의하여 폐포 역시 닫힌집합이 됨을 쉽게 확인할 수 있습니다.

 

 

2) 특징

 

정리($T.P$) 2.20) 위상공간과 공집합의 
임의의 위상공간 $X$ 에 대하여,
① 공집합의 내부, 폐포, 경계는 모두 공집합이고, 외부는 위상공간(전체집합)이다 : $\emptyset^\circ = \overline{\emptyset}=\partial \emptyset=\emptyset$ 이고, $\operatorname{ext}(\emptyset) = X$ 이다.
② 전체집합의 내부와 폐포는 자기 자신이고, 경계와 외부는 공집합이다 : $X^\circ = \overline{X}=X$ 이고, $\partial X=\operatorname{ext}(X) = \emptyset$ 이다.

증명) ① 공집합은 공집합을 제외한 어떤 열린집합도 부분집합으로 가지지 않으므로, 내부의 정의를 고려하면 공집합의 내부는 공집합과 같다. 폐포의 정의를 고려하기 위해서, $\emptyset \subseteq C$ 인 $X$ 위에서의 닫힌집합 $C$ 를 생각하자. 그러면 $X-C$ 는 열린집합이므로 위상의 원소이고, $\emptyset\subseteq X-C$ 가 성립한다. 그런데 $C\cap (X-C)=\emptyset$ 이므로 이는 오로지 $C=\emptyset$ 인 경우에 해당된다. 그러면 공집합의 교집합도 공집합이므로, 공집합의 폐포는 자기 자신임을 얻는다. 이로부터 경계도 공집합임을 쉽게 얻을 수 있다. 마지막으로 공집합의 외부는 $X-\emptyset=X$ 의 내부와 같은데, $X$ 의 내부는 아래에서 보이겠지만 자기 자신과 같다. 따라서 공집합의 외부는 위상공간이다.

② 위상공간의 임의의 위상도 위상공간 $X$ 를 포함하므로, 위상의 열린집합의 합집합은 반드시 T1) 에 따라 $X$ 를 포함한다. 따라서 $X$ 의 내부는 $X$ 와 같다. 또한 $X$ 는 위상공간(전체집합)이므로 $X$ 를 포함하는 어떤 임의의 닫힌집합은 $X$ 뿐이다. 따라서 이들의 교집합은 $X$ 자기 자신이므로, $X$ 의 폐포는 정의에 따라 자기 자신임을 얻는다. 반면 $X-X=\emptyset$ 공집합의 폐포는 공집합이니, $\emptyset \cap \overline{X}=\emptyset \cap X=\emptyset=\partial X$ 를 얻는다. 마지막으로 $X$ 의 외부는 $X-X=\emptyset$ 의 내부로 정의되기 때문에, 공집합과 같다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($T.P$) 2.21)
위상공간 $X$ 의 부분위상공간 $Y$ 를 생각하자. 만일 $A\subseteq Y$ 이고 $\overline{A}=\operatorname{Cl}_X(A)$^[각주:1], 라 하면, $\operatorname{Cl}_Y(A)=\overline{A}\cap Y$ 가 성립한다.

증명) 편의상 $B=\operatorname{cl}_Y(A)$ 라 두고, $B\subseteq (\overline{A}\cap Y)$ 를 한 번 보이고 $(\overline{A}\cap Y) \subseteq B$ 를 한 번 보이자.

i) $\overline{A}$ 는 $X$ 에서의 폐포이니 $X$ 에서 닫혀있으므로, $\overline{A}\cap Y$ 는 정리($T.P$) 2.18) 에 의하여 $Y$ 위에서도 닫혀있다. 이때 폐포의 정의에 따라 $\operatorname{cl}_Y(A)=B=\displaystyle \bigcap_{}^{}\left\{ C\mid A\subseteq C\;\text{and}\; C\;\text{is closed in }Y \right\}$ 이므로, $B\subseteq (\overline{A} \cap Y)$ 가 성립한다.^[각주:2]

ii) 한편으로, $B=\operatorname{Cl}_Y(A)$ 는 $Y$ 에서 닫혀있으니, 정리($T.P$) 2.18) 에 의해 $X$ 에서의 닫힌집합 $C$ 에 대하여 $B=C\cap Y$ 와 같이 나타낼 수 있다. 그런데 $\overline{A}$ 의 폐포라는 정의상, $A$ 는 모든 $X$ 의 닫힌집합의 교집합이기 때문에, 그 어떤 $X$ 의 닫힌집합도 $\overline{A}$ 를 포함하기 때문에 $\overline{A}\subseteq C$ 의 관계가 성립한다. 따라서 $\left( \overline{A}\cap Y \right)\subseteq \left( C\cap Y \right)=B$ 가 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

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2. 교차와 근방

 

1) 정의

 

정의($T.P$) 2-19) 교차한다
두 집합 $A,B$ 에 대해 $A\cap B\neq \emptyset$ 이면, $A$ 와 $B$ 는 '교차한다(intersect)'고 한다.

정리($T.P$) 2.22)
위상공간 $X$ 의 한 부분집합 $A$ 를 고려하자.
① $x\in\overline{A}$ 일 필요충분조건은 $x\in U$ 인 모든 $X$ 에서의 열린집합 $U$ 가 $A$ 와 교차하는 것, 즉 $\forall U\cap A\neq \emptyset$ 인 것이다. 달리 말하자면 $x$ 의 모든 근방이 $A$ 와 교차하는 것이다^[각주:3]
② 기저 $\mathcal{B}$ 에 의해 위상공간 $X$ 가 생성되었다고 하자. 그러면 $x\in \overline{A}$ 일 필요충분조건은 모든 $x\in B$ 인 기저원소 $B$ 가 $A$ 와 교차하는 것, 즉 $\forall B\cap A\neq \emptyset$ 인 것이다.

증명) ① 대우법을 사용해서 증명한다. $x\in \overline{A}$ 를 가정하자. 그러면 $U=X-\overline{A}$ 라는 집합은 $\overline{A}$ 가 폐포이니 열린집합이고, $x$ 를 포함하면서, $A$ 와 교차하지는 않는다. 반대로, $x\in U$ 이고 $A$ 와는 교차하지 않는 열린집합 $U$ 가 존재한다고 하자. 그러면 $X-U$ 는 닫힌집합이면서 $A\subseteq (X-U)$ 여야 한다. 폐포의 정의에 따라, $X-U$ 는 닫힌집합이니 $\overline{A}\subseteq (X-U)$ 여야 한다. 그러면 $x\notin \overline{A}$ 이다.

② 정리($T.P$) 2.5) 에 의하여 모든 기저원소는 열린집합이다. 따라서 ① 에 의하여 $U$ 대신 $B$ 를 대입하면 가는 방향의 명제가 성립한다. 반대로, 모든 $x\in B$ 인 기저원소 $B$ 에 대해 $B\cap A\neq \emptyset$ 이라고 하면, 모든 열린집합 $U$ 또한 $A$ 와 교차한다. 이는 임의의 열린집합은 기저원소의 합집합으로 구성되어 있기 때문이다. 따라서 ① 에 의해 $x\in \overline{A}$ 가 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

 

2) 경계와 근방에 관한 고찰

 

교차한다는 말은 단순히 교집합이 공집합이 아니라는 것이니 일상 언어적인 표현과 잘 들어맞는 것으로 보입니다. 그리고 위 정리는 폐포와 열린집합의 관계입니다.

 

결국 어떤 원소가 폐포에 들어가 있기 위한 조건으로는 내부에 있는 경우와 경계에 있는 경우 둘 중 하나여야 합니다. 점이 내부에 있는 경우, 내부(interior)의 정의에 따라 열린집합들의 합집합이 내부이기 때문에 자명히 그 점을 포함하는 열린집합이 있을 것입니다. 반면 $A$ 의 폐포 중 경계에 점이 있을 때는, 그 점을 나타내기 위해 닫힌집합을 끌어와야 하지만, 그렇게 할 필요 없이, 단순히 그 경계에 있는 점 '근방'에 있는 그 점을 포함하는 열린집합을 잡고, 그 열린집합과 $A$ 의 경계가 0이라는 것을 보여주면 충분합니다.

 

그림 1] 두 국가의 경계를 생각해보자. 대한민국이라는 집합의 내부가 있고, 외부에 일본이라는 다른 국가가 있는 상황을 생각해보자. 토끼가 양쪽 발을 경계에 대고 있다.

 

이것은 일상에서 우리가 '경계'를 생각하는 방식과 유사합니다. 두 나라 $A,B$ 의 국경이 그림과 같이 있다고 했을 때 경계에 선 사람을 생각해 봅시다. 딱 경계선만 일단 밟고 있는 상태입니다. 여기서 '임의의 한 발자국'만 뻗어서 원이라는 그 사람 주위에 '근방'을 만들었을 때, 그 근방은 반드시 $A,B$ 와 '교차'합니다. 하지만, 경계에 벗어나서 $B$ 라는 국가 안에 들어가 서 있는 경우가 되면, 적당한 '근방'을 만들어서 그 근방이 전부 $B$ 에만 속하게 만들 수 있습니다. 그래서 경계를, 어떤 지점에서 작은 원과 같은 근방을 만들었을 때 그것이 외부와도 교차하고, 내부와도 반드시 교차하는 경우로 정의하기도 합니다. 다음과 같이 말이죠.

 

 

정리($T.P$) 2.23) 내부점과 경계점 판별법(경계의 또다른 정의 방식)
① $x\in A^\circ$ 일 필요충분조건은 $x\in U$ 인 어떤 $X$ 에서의 열린집합 $U$ 가 $A$ 의 부분집합, 즉 $U\subseteq A$ 인 것이다.
② $x\in \partial A$ 일 필요충분조건은 $x\in U$ 인 모든 $X$ 에서의 열린집합 $U$ 에 대하여, $U\cap A\neq \emptyset$ 이고 $U\cap (X-A)\neq \emptyset$ 가 성립하는 것이다. 곧 $x\in U\in\mathcal{T}$ 인 $X$ 에서의 열린집합 $U$ 는 외부와도 교차하고 내부와도 교차한다.

 

이 정리에서 ②번이 바로 경계에 관한 새로운 접근법인 셈이라고 볼 수 있습니다. 이에 맞추어, 내부에 대한 필요충분조건도 ①과 같이 찾을 수 있게 됩니다. 또한 같이 설명하면서 위에서 '근방'이라는 표현을 사용했는데, 느낌적으로 어떤 뜻인지 이해하실 수 있을거라 믿습니다. 정확하게는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

 

정의($T.P$) 2-20) 근방(neighborhood, vicinity)
위상공간 $X$ 의 점 $x\in X$ 에 대해 $x$ 의 '근방(neighborhood)'일 필요충분조건은 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 것이다.
① 열린집합 $U$ 가 $x$ 의 근방(neighborhood) : $X$ 위에서의 열린집합 $U$ 가 $x$ 를 포함하고 있다는 것으로 정의한다.
② $A\subseteq X$ 가 $x$ 의 근방(neighborhood) : $U\subseteq A$ 인 열린집합 $U$ 가 $x$ 를 포함하고 있다는 것으로 정의한다.

 

여기서 $U$ 는 집합이고, $x$ 는 그러한 집합에 포함될 수 있는 원소 개념입니다. $x\in U$ 라는 것을, 입체적으로, 기하적으로 나중에 그림을 그릴 수 있는 상황에서 보게 되면, 결국 $x$ 를 포함하는 주변의 근방 영역이 $U$ 에 대응되는 개념이라는 것을 알 수 있기 때문에 이러한 표현을 사용하는 것으로 볼 수 있습니다. 이 표현으로, 위의 정리($T.P$) 2.22)-① 을 위에서 설명했던 것과 같이 재진술 할 수 있습니다.

 

 

 

 

[참고문헌]

James Munkres, Topology 2E

 

 

 

 

 

1. 그러니까 $A$ 의 '$X$ 에서의 폐포'를 생각한다는 뜻이다. [본문으로]
2. 여기서 부등호 방향이 왜 이 방향으로 성립하는지 탐구를 좀 해봅시다. 어떤 부분집합 관계 $H\subseteq G$ 를 보인다는 것은 임의의 $h\in H$ 를 뽑았을 때 그것이 반드시 $h\in G$ 의 관계를 만족시키는 경우를 말합니다. 좌변의 $B$ 에서 원소를 하나 뽑으면, 그 원소는 $C$ 들의 교집합인데 이 $C$ 는 $Y$ 에서 닫혀있고 $A\subseteq C$ 를 만족합니다. 반면 우변의 $\overline{A}\cap Y$ 에서 원소를 하나 뽑으면, 이는 위에서 설명했듯이 $Y$ 에서 닫혀있고 $A\subseteq (\overline{A}\cap Y)$ 가 성립하기 때문에 $A$ 의 모든 원소를 포함하고 있는 집합입니다. 따라서, 좌변에서 임의의 원소를 뽑으면 우변에도 필히 들어가 있습니다. 우변은 $C$ 들을 모두 들고 있는데, 좌변은 그러한 $C$ 들의 교집합입니다. [본문으로]
3. '근방'이 무엇인지의 정의는 아래에서 합니다. [본문으로]