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위상수학은 모든 수학 중에서 가장 추상적이고 포괄적이며 일반적인 대상을 다루는 것이라고 볼 수 있습니다. 함수의 연속 개념은 고등학생때부터 줄곧 배워왔던 개념이지만, 위상수학에까지 와야 가장 포괄적인 정의를 만나볼 수 있습니다. 이를 이해하기 위해서는 극한과 연속에 대한 해석학 수준의 개념, 다시 말해 엡실론-델타 논법에 대한 이해와 약간의 차원을 높였을 때 그것이 어떻게 되는지에 대한 개념이 선수적으로 필요합니다.
1. 함수의 연속
1) 정의
정의($T.P$) 2-24) 위상공간에서 연속에 대한 정의1
두 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 $(Y,\mathcal{T}')$ 사이의 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 와 점 $x\in X$ 를 생각하자. 함수 $f$ 가 $a$ 에서 '연속(continuous)'이라는 것은, $f(a)$ 를 포함하는 임의의 $Y$ 에서의 열린집합 $V\subseteq Y$ 에 대하여 $a$ 를 포함하는 어떤 $X$ 에서의 열린집합 $U\subseteq X$ 가 존재해서 $f(U)\subseteq V$ 를 만족하는 것을 말한다.
함수 $f$ 가 정의역의 모든 점에서 연속이면 함수 $f$ 는 연속 또는 연속함수라고 한다.
정의($T.P$) 2-25) 위상공간에서 연속에 대한 정의2
두 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 $(Y,\mathcal{T}')$ 사이의 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자. 임의의 $Y$ 에서의 열린집합 $V\subseteq Y$ 에 대해 $f^{-1}(V)$ 가 $X$ 에서 열린집합이 되면, 다시 말해 $f^{-1}(V)\in \mathcal{T}$ 가 성립하면 $f$ 는 연속이다.
간단히 말해, 임의의 $V\in\mathcal{T}'$ 에 대하여 $f^{-1}(V)\in\mathcal{T}$ 가 성립할 때 $f$ 가 연속이다.
정리($T.P$) 2.27) 위상공간에서 연속에 대한 정의2를 닫힌집합 version 으로 생각
두 위상공간 $X,Y$ 사이의 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자. $f$ 가 연속일 필요충분조건은 임의의 $C\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 닫힌집합일 때 $f^{-1}(C)$ 가 $X$ 에서 닫힌집합인 것이다.
증명) 정의($T.P$) 2-25) 과 닫힌집합의 정의를 생각해보면 간단하다. $f$ 가 연속이면 정의에 의하여 $V\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 열린집합이라는 것은, $Y-V$ 가 $Y$ 에서 닫힌집합이라는 뜻이다. 그러면 $C:= Y-V$ 라 했을 때, $f^{-1}(V)$ 가 $X$ 에서 열린집합이므로 $X-f^{-1}(V)$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이다. 이때 $X=f^{-1}(Y)$ 이므로, $f^{-1}(Y)-f^{-1}(V) \underset{\text{by set theory}}{=} X-f^{-1}(C)$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이다.
역으로, 만일 $C\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 닫힌집합이면 $B:=(Y-C)\subseteq Y$ 는 $Y$ 에서 열린집합이다. 그리고 가정에 의해 $f^{-1}(C)=f^{-1}(Y-B)=f^{-1}(Y)-f^{-1}(B)=X-f^{-1}(B)$ 또한 $X$ 에서 닫힌집합이니, $f^{-1}(B)$ 는 열린집합이다. 이는 연속의 정의 그 자체이므로, $f$ 는 연속이다. $_\blacksquare$
연속은 미적분학과 해석학에서 엡실론-델타 논법으로 다루었습니다. 사실 엡실론-델타 논법은 함수의 극한을 다룰 때 먼저 태동한 것인데, 1차원일 때 극한의 정의의 델타 조건에서 $0< \left| x-a \right| < \delta$ 를 $\left| x-a \right| < \delta $ 로 바꾸고, 즉 $x=a$ 의 가능성을 추가해주고 $f$ 의 정의역을 $E$ 라고 했을 때 $x\in E$ 라는 조건만 달아준다면 연속의 정의로 변모한다는 것을 해석학에서 학습한 바가 있을 것입니다. 즉 극한의 기존 정의에다가, 극한값=함숫값이라는 조건만 단 것이 연속의 정의입니다.
엡실론-델타 논법 설명 글에서 제가 이러한 그림을 그렸었는데, 그 그림에다가 '연속'이라는 조건만 달아봤습니다. 그러면 극한의 기본 정의를 만족해야 하므로, $x$ 를 뽑는 노란색 구간이 함수를 타고 하늘색 구간이 되며, 이 하늘색이 분홍색의 부분집합이 되어야 극한의 엡실론-델타 조건을 만족하는 셈입니다.
위상수학에서는 이것을 가장 추상적이고 일반적으로 확장했다고 볼 수 있습니다. 임의의 엡실론을 선택하는 과정이 결국 임의의 분홍색 집합을 고르는 것과 같은데, 이 분홍색 집합이 $V\subseteq Y$ 가 됩니다. 그리고 하늘색 집합이 $f(U)$ 이며, 노란색 집합이 $U\subseteq X$ 에 대응되는 것으로 볼 수 있습니다. 즉, 쉽게 말해 $f(a)$ 를 포함하는 열린집합을 공역에서 뽑았을 때, 함수를 타기 전의 값인 $a\in X$ 가 $X$ 의 열린집합 $U$ 에 들어있는지를 보아야 한다는 것입니다. 게다가 노란색과 같이 점 $a$ 를 포함하는 열린구간 $(a-\delta,a+\delta)$ 는 열린집합이라는 점에도 주목해볼 수 있지요. 즉 위상수학에서 연속성에 대해 이와 같이 정의를 만들어주면, 엡실론-델타 논법의 핵심을 완벽하게 포괄할수 있고, 차원을 높여 일반적인 상황에서도 적용될 수 있다는 범용성을 가지게 됩니다.
그렇다면 함수의 상(image)와 역상(preimage)의 관계를 고려해 보았을 때 정의를 다시 표현한 것이 두번째 정의입니다. 또한, 두번째 정의는 어떤 한 점에서의 연속에 집착하는 것이 아니라 함수 전체가 연속일 조건을 설명하는 것으로 볼 수 있습니다. 보통 어떤 함수 자체가 연속함수인지를 따질 때는 두번째 정의를 활용하는 것이 간편합니다.
물론, 엄밀하게는 두 명제가 동치인 것을 밝혀야 하며, 아래의 27번 정리에서 다룹니다.
예제 1) 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 에 대해 '항등함수(identity function)'은 $f_I:X\longrightarrow X$ 으로 정의된다. 항등함수는 연속임을 보여라.
Sol) 두번째 정의를 사용한다. (공역의 $X$ 에서의) 위상에서 임의의 열린집합 $U\in\mathcal{T}$ 에 대해, $f^{-1}(U)=U\in\mathcal{T}$ 로 (정의역의 $X$ 로서의) 위상에 포함되기 때문이다. $_\blacksquare$
2) 위상의 연속성과 동치인 명제들
다음 정리는 위상의 연속성을 설명할 때 동치인 여러 명제들로, 계속해서 주구장창 쓰일 것이기 때문에 매우 중요합니다.
정리($T.P$) 2.28)
두 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 $(Y,\mathcal{T}')$ 에 대해 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자. 그러면 다음은 모두 동치이다(TFAE).
① $f$ 가 연속이다.(정의 2)
② 모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)}$ 이다.
③ 모든 $Y$ 에서의 닫힌집합 $B\subseteq Y$ 에 대하여, $f^{-1}(B)$ 는 $X$ 에서도 닫혀있다.
④ 각각의 $x\in X$ 와 $f(x)\in V$ 인 $Y$ 에서의 열린집합 $V$ 에 대하여, $x\in U$ 인 $X$ 에서의 어떤 열린집합 $U$ 가 존재하여 $f(U)\subseteq V$ 이다.
⑤ $A\subseteq X$ 이고 $p$ 가 $A$ 의 극한점이면, $f(p)\in \overline{f(A)}$ 이다.
⑥ $B\subseteq Y$ 에 대해 $\overline{f^{-1}(B)}\subseteq f^{-1}(\overline{B})$ 이다.
⑦ $\mathcal{B}$ 을 $Y$ 의 기저라고 하면, 모든 기저원소 $B\in \mathcal{B}$ 에 대하여 $f^{-1}(B)$ 은 $X$ 에서 열린집합이다.
⑧ $\mathcal{S}$ 을 $Y$ 의 부분기저라고 하면, 모든 기저원소 $S\in\mathcal{S}$ 에 대하여 $f^{-1}(S)$ 는 $X$ 에서 열린집합이다.
증명) ① $\Longrightarrow$ ② : $f$ 가 연속이고 $A\subseteq X$ 라 하자. 보여야 할 것은 $f(x)\in f(\overline{A})$ 일 때, 즉 $x\in\overline{A}$ 일 때 $f(x)\in \overline{f(A)}$ 인 것이다. $V$ 가 $f(x)$ 의 근방, 즉 $f(x)\in V$ 인 $V$ 가 $Y$ 에서의 열린집합이라고 하자. 그러면 $f$ 가 연속이므로 $f^{-1}(V)$ 는 $X$ 에서 연속이고 $x\in f^{-1}(V)$ 이다. 가정에 의해 $x\in \overline{A}$ 이므로, 정의($T.P$) 2.22)-① 에 의하여 $f^{-1}(V)\cap A\neq \emptyset$ 이 성립한다. 이때 $y\in \left( f^{-1}(V)\cap A \right)$ 이라고 하면,
$$\begin{align*}
f(y)\in f( \left( f^{-1}(V)\cap A \right))&\underset{\text{by set theory}}{\subseteq} \left( f(f^{-1}(V))\cap f(A)) \right)
\\\\&\subseteq (V\cap f(A))
\end{align*}$$
가 성립하여 $V\cap f(A)\neq \emptyset$ 이다. 다시 한번 정의($T.P$) 2.22)-① 에 의하여 $f(x)\in \overline{f(A)}$ 가 성립하게 된다.
② $\Longrightarrow$ ③ : $B\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 닫힌집합이고 $A:=f^{-1}(B)$ 라고 하자. 그러면 보이고 싶은 것은 $A$ 가 $X$ 에서 닫혀있는 것이니, $A=\overline{A}=\operatorname{Cl}_X(A)$ 로 볼 수 있다. $A\subseteq \overline{A}$ 임은 분명하니 반대 방향을 보이면 충분하다. $x\in\overline{A}$ 라 하자. 그러면
$$\begin{align*}
f(x)\in f(\overline{A}) \underset{\text{by number ②}}{\subseteq}\overline{f(A)}=
\overline{f(f^{-1}(B))}\underset{\text{by set theory}}{\subseteq}\overline{B}=B
\end{align*}$$
가 성립한다. 따라서 $x\in f^{-1}(B)=A$ 이므로 $\overline{A}\subseteq A$ 가 성립한다.
③ $\Longrightarrow$ ① : $V\subseteq Y$ 를 $Y$ 에서의 열린집합이라 하자. 그러면 $B=Y-V$ 는 $Y$ 에서 닫힌집합이고, 가정에 의하여 $\begin{align*}
f^{-1}(Y-V)\underset{\text{by set theory}}{=}f^{-1}(Y)-f^{-1}(V)=X-f^{-1}(V)
\end{align*}$ 또한 $X$ 에서 닫힌집합이다. 이는 $f^{-1}(V)$ 는 $X$ 에서 열린집합임을 뜻하므로, $f$ 의 연속의 정의를 만족시켜 $f$ 는 연속함수라는 결론을 얻는다.
① $\Longrightarrow$ ④ : $x\in X$ 라 하고 $V$ 를 $f(x)\in V$ 인 $Y$ 에서의 열린집합이라고 하자. 그러면 $f$ 가 연속이므로, $f^{-1}(V)=U\subseteq X$ 를 만족하는 $X$에서의 열린집합 $U$ 가 존재하여 $x\in U$ 가 성립한다. 그러므로 $f(U)=f(f^{-1}(V))\underset{\text{by set theory}}{\subseteq} V$ 가 성립한다.
④ $\Longrightarrow$ ① : $Y$ 에서의 열린집합 $V\subseteq Y$ 를 생각하자. 보여야 할 것은 $f^{-1}(V)$ 가 $X$ 에서의 열린집합인 것이다. $x\in f^{-1}(V)$ 라 하자. 그러면 $f(x)\in V$ 이고, 가정에 의하여 $x\in U_\alpha$ 이고 $f(U_\alpha)\subseteq V$ 를 만족하는 $X$ 에서의 열린집합 $U_\alpha\in X$ 가 존재한다. 즉, $x$ 는 $x\in U_x\subseteq f^{-1}(V)$ 의 관계를 가지므로,
$$f^{-1}(V)=\bigcup_{\alpha\in I}^{}U_\alpha$$
가 성립한다. 그러면 $f^{-1}(V)$ 는 $X$ 위에서의 열린집합들의 합집합으로 구성되어 있고 $X$ 는 위상공간이니 T2) 에 의하여 역시 $X$ 에서 열린집합이다.
② $\Longrightarrow$ ⑤ : $A\subseteq X$ 에 대해 $p$ 가 $A$ 의 극한점이라고 가정하자. 그러면 극한점의 정의에 의해 $p\in \overline{A}$ 이므로, $f(p)\in f(\overline{A}) \underset{\text{by ②}}{\subseteq} \overline{f(A)}$ 가 성립한다.
⑤ $\Longrightarrow$ ⑥ : $x\in \overline{f^{-1}(B)}$ 라 하자. 그러면 $x\in f^{-1}(B)$ 이거나 $x$ 는 $f^{-1}(B)$ 의 극한점이다. 만일 전자의 $x\in f^{-1}(B)$ 의 경우이면, $B\subseteq \overline{B}\;\Longrightarrow \; f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(\overline{B})$ 이 성립하므로 $x\in f^{-1}(\overline{B})$ 가 성립한다. 그러나 만일 후자의 경우라면,
$$f(x) \underset{\text{by ⑤}}{\in} \overline{f(f^{-1}(B))}
\underset{\text{by set theory}}{\subseteq} \overline{B}\;\;\Longrightarrow \;\; x\in f^{-1}(\overline{B})$$
가 성립한다. 따라서 두 경우 모두에 $x\in f^{-1}(\overline{B})$ 가 성립한다.
⑥ $\Longrightarrow$ ① : $C\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 닫힌집합이라고 하자. 폐포의 성질로부터(보조정리($T.P$) 2.1) 로부터) $f^{-1}(C)\subseteq \overline{f^{-1}(C)}$ 다. 그런데 ⑥ 으로부터
$$\overline{f^{-1}(C)}\subseteq f^{-1}(\overline{C})\underset{\text{Since C is closed set}}{=}f^{-1}(C)$$
이 성립하기에, $f^{-1}(C)=\overline{f^{-1}(C)}$ 가 성립한다. 즉, $f^{-1}(C)$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이다. 결과적으로 볼 때, $C\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 닫힌집합이면 $f^{-1}(C)$ 는 $X$ 에서 닫힌집합이 되었고, 이는 정리($T.P$) 2.27) 에 의해 $f$ 가 연속임을 의미한다.
① $\Longrightarrow$ ⑦ : $\mathcal{B}$ 가 $Y$ 에서의 위상 $\mathcal{T}'$ 의 기저라 하고 $B\in\mathcal{B}$ 라 하자. 그러면 $B$ 는 기저원소이므로 $Y$ 에서 열린집합임이 분명하다. 가정에 의해 $f$ 가 연속이므로, 연속성의 정의에 의하여 $f^{-1}(B)$ 또한 $X$ 에서 열린집합이다.
⑦ $\Longrightarrow$ ① : $U\subseteq Y$ 를 $Y$ 에서의 열린집합이라고 하자. 가정에 의해 $\mathcal{B}$ 가 $Y$ 에서의 위상 $\mathcal{T}'$ 의 기저이기 때문에, $U=\displaystyle \bigcup_{i\in I}^{}B_i$ 를 만족하는 집합족 $\{ B_i\in \mathcal{B} \mid i\in I\}$ 가 존재하게 된다. 또한 이때 각각의 $f^{-1}(B_i)$ 는 $X$ 에서 열린집합이기 때문에, 그 결과
$$f^{-1}(U)=f^{-1}\left( \displaystyle \bigcup_{i\in I}^{}B_i \right)=\displaystyle \bigcup_{i\in I}^{}f^{-1}(B_i)$$
또한 $X$ 에서의 열린집합이 된다. 따라서 $f$ 는 연속이다.
① $\Longrightarrow$ ⑧ : $\mathcal{S}$ 를 $Y$ 에서의 위상 $\mathcal{T}'$ 의 한 부분기저라 하고 $S\in \mathcal{S}$ 라 하자. 부분기저의 임의의 합집합은 기저가 되고, 기저는 열린집합이니, T2 에 의해 원래 부분기저의 정의 상 모든 $S\in\mathcal{S}$ 는 $Y$ 에서의 열린집합이다. 가정에 의해 $f$ 는 연속이므로, 임의의 $S\in\mathcal{S}$ 에 대하여 $f^{-1}(S)$ 는 $X$ 에서 열린집합이 된다.
⑧ $\Longrightarrow$ ① : $\mathcal{S}$ 에 의해 생성된 $Y$ 에서의 위상 $\mathcal{T}'$ 의 기저를 $\mathcal{B}$ 라 하자. 부분기저의 정의에 의해 임의의 $B\in\mathcal{B}$ 는 유한개의 부분기저의 교집합으로 나타낼 수 있으므로, $S_1,\cdots ,S_n \in \mathcal{S}$ 에 대하여 $B=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}S_i$ 으로 표현할 수 있다. 그러면 가정에 의하여 모든 $i=1,\cdots , n$ 에 대해 $f^{-1}(S_i)$ 는 $X$ 에서 열린집합이기 때문에,
$$f^{-1}(B)=f^{-1}\left( \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}S_i \right)=\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}f^{-1}(S_i)$$
가 성립한다. 그러므로 ⑦ 에 의하여 $f$ 는 연속이다. $_\blacksquare$
3) 합성함수의 연속성
정리($T.P$) 2.29) 합성함수의 연속
위상공간 $X,Y,Z$ 에 대하여 두 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 와 $g: Y\longrightarrow Z$ 를 생각하자. 그러면 합성함수(composite function) $g\circ f : X\longrightarrow Z$ 또한 연속이다.
증명) $g\circ f =h $ 라 하면 $h$ 가 연속이라는 것을 보인다는 것은 결국 $U$ 가 $Z$ 에서 열린집합일 때 $h^{-1}(U)$ 가 $X$ 에서 열린집합임을 보인다는 것과 같다. $U\subseteq Z$ 가 $Z$ 에서 열린집합이라고 하자. $g$ 가 연속이므로, $g^{-1}(U)$ 는 $Y$ 에서 열린집합이다. $f$ 가 연속이므로, $f^{-1}\left( g^{-1}(U) \right)$ 도 $X$ 에서 연속이다. 따라서 $U$ 가 $Z$ 에서 열린집합이면 $h^{-1}(U)=\left( g\circ f \right)^{-1}(U)=f^{-1}\left( g^{-1}(U) \right)$ 또한 $X$ 에서 열린집합이므로, $h$ 는 연속이다. $_\blacksquare$
이 정리를 증명하는 것은 곧 해석학, 미적분학, 고등수학에 등장하는 모든 함수의 연속성을 증명하는 것과 같습니다.
2. 연속함수 만들기
연속함수를 구성할 수 있는 여러 정리가 있는데, 이들을 소개하려고 합니다. 다만 이때 새로운 이름을 가진 함수들이 등장하니 그를 먼저 소개합니다.
1) 포함함수와 제한, 확장
정의($T.P$) 2-28) 포함함수(inclusion function)
$Y\subseteq X$ 가 $X$ 의 부분위상공간이라 하자. 그러면 '포함함수(inclusion function)'란 $i:Y\hookrightarrow X$ 으로 표기하고 모든 $y\in Y$ 에 대해 $y\longmapsto i(y)=y\in X$ 로 정의되는 함수이며, $Y$ 에서의 $X$ 로의 항등함수와 같다.
정의($T.P$) 2-29) 제한과 확장
① 정의역의 제한 : 함수 $f:X \longrightarrow Y$ 에 대해 $A\subseteq X$ 라 하자. 이때 $f$ 에 대한 $A$ 의 '제한함수(restricted function)'란 $f \mid_A : A\longrightarrow Y$ 으로 표기되고 모든 $a\in A$ 에 대해 $a\longmapsto f\mid_A (a)=f(a)$ 로 정의되는 함수를 말한다.
② 공역의 제한 : 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 에 대하여 $f(X)\subseteq Z\subseteq Y$ 를 만족하는 집합 $Z$ 를 생각하자. 그러면 함수 $g: X\longrightarrow Z$ 를 $x\longmapsto g(x)=f(x)\in Z$ 로 정의하여 공역을 제한하는 함수 $g$ 를 만들 수 있다.
③ 공역의 확장(= 정리($S.T$) 3.7)) : $f(X)\subseteq Y\subseteq W$ 를 만족하는 집합 $W$ 를 생각하자. 그러면 함수 $h: X\longrightarrow W$ 를 $x\longmapsto h(x)=f(x)\in W$ 로 정의하여 공역을 확장시킬 수 있다.
2) 연속성에 관한 정리
정리($T.P$) 2.30)
위상공간 $X,Y,Z$ 에 대해서 다음이 성립한다.
① 상수함수(constant function) : 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 가 $X$ 의 모든 점을 하나의 공역의 원소 $y_0\in Y$ 로 대응시키는 함수일 때, $f$ 는 연속이다.
② 포함함수(inclusion function) : $Y$ 가 $X$ 의 부분위상공간이라고 하자. 이때 포함함수 $i:Y\hookrightarrow X $ 는 연속이다.
③ 합성함수(composite function) : 두 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 와 $g: Y\longrightarrow Z$ 를 생각하자. 그러면 합성함수 $g\circ f : X\longrightarrow Z$ 또한 연속이다.
④ 공역의 제한(Restricting the domain) : 함수 $f:X \longrightarrow Y$ 가 연속이고, $A$ 가 $X$ 의 부분위상공간이라고 하자. 그러면 정의역의 제한함수 $f \mid_A : (A,\mathcal{T}_A) \longrightarrow (Y,\mathcal{T}')$ 은 연속이다.
⑤ 공역의 제한이나 확장(Restring or expanding the range) : 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 가 연속이라 하자. 만일 $Z$ 가 $Y$ 의 부분공간이면서 $f(X)\subseteq Z$ 를 만족하면, 공역을 제한하여 만든 함수 $g:X\longrightarrow Z$ 는 연속이다.
또한 $f$ 가 연속일 때, $Y$ 를 부분위상공간으로 가지는 위상공간 $Z$ 에 대해서 공역을 확장하여 만든 함수 $h:X\longrightarrow Z$ 또한 연속이다.
⑥ 연속의 국소적 성질(local formulation of continuity) : 위상공간 $X$ 가 $X=\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}^{}U_{\alpha}$ 를 만족한다고 하자. 이때 $\{ U_{\alpha}\mid \alpha \in I\}\subseteq X$ 이며 각각의 $U_{\alpha}$ 는 $X$ 위에서 열린집합이다. 그러면 함수 $f: X\longrightarrow Y$ 는, 각각의 $\alpha \in I$ 에 대해 제한함수 $f\mid_{U_{\alpha}} : U_{\alpha}\longrightarrow Y$ 들이 모두 연속일 때 연속이 된다.
증명) ① 모든 $x\in X$ 에 대해 $f(x)=y_0$ 인 상황이다. $V\subseteq Y$ 가 $Y$ 에서 연속이라고 하자. $y_0\in V$ 이면 $f^{-1}(V)=X$ 가 되고, $y_0\notin V$ 이면 $f^{-1}(V)=\emptyset$ 가 된다. 하지만 두 경우 모두 $\emptyset$ 과 $X$ 는 위상의 원소이니 열린집합이다. 따라서 $f$ 는 연속이다.
② $U$ 가 공역 $X$ 에서 열린집합이라고 하자. 그러면 $i^{-1}(U)=U\cap Y$ 는 부분공간위상의 정의에 의해 $Y$ 에서의 열린집합이다.
③ 정리($T.P$) 2.29) 에서 증명했다.
④ $A\subset X$ 가 $X$ 의 부분공간위상이고 포함함수 $i: A\hookrightarrow X$ 를 생각하자. 그러면 $f:X\longrightarrow Y$ 에 대해 합성함수 $f(j(a))=f\mid_A (a)$ 가 성립한다. 가정에 의해 $f$ 가 연속이었고, $j$ 는 항등함수이므로 예제 1)에서 연속이었다. 그러면 $f\mid_A(a)$ 는 연속함수들의 합성함수이니 연속이다.
⑤ 가정에 의해 $f:X\longrightarrow Y$ 가 연속이고, $f(X)\subseteq Z$ 이며 $Z\subseteq Y$ 는 $Y$ 의 부분공간이라고 하자. 그리고 공역을 제한하여 만든 함수 $g:X\longrightarrow$ 를 생각한다. $V\subseteq Z$ 를 $Z$ 에서의 열린집합이라고 하자. 그러면 $V=Z\cap U$ 가 성립하는 $Y$ 에서의 열린집합 $U\subseteq Y$ 가 부분공간위상의 정의에 의해 존재한다. 고로 원상(preimage)의 정의에 의하면 $g^{-1}(V)=\left\{ x\in X \mid g(x)\in V \right\}$ 와 $f^{-1}(U)=\{ x\in X \mid f(x)\in U\}$ 인 것이다. 가정에 의해 $f$ 는 이미 연속이므로, 만일 $f^{-1}(U)=g^{-1}(V)$ 를 보일 수 있다면, $V$ 가 $Z$ 에서 연속일 때 $g^{-1}(V)$ 가 연속임을 보이게 되는 것이라$g$ 또한 연속이라는 결론을 얻을 수 있게 된다. 따라서 이 둘이 같다는 것을 보이자.
i) $x\in g^{-1}(V)$ 라 가정하자. 그러면 $g(x)\in V$ 이고 모든 $x\in X$ 에 대해 $g(x)=f(x)$ 이며 $V=Z\cap U$ 로부터 $V$ 의 모든 원소는 $U$ 의 원소이기도 하다. 따랏 $f(x)\in U$ 가 성립하여 $x\in f^{-1}(U)$ 를 얻는다.
ii) $x\in f^{-1}(U)$ 라 가정하자. 그러면 $f(x)\in U$ 이고, $f(X)\subseteq Z$ 라는 점에서 $f(x)\in Z$ 이기도 하다. 그러면 $f(x)\in (Z\cap U)=V$ 가 되어 $x\in g^{-1}(V)$ 가 성립한다.
$h$ 가 연속인 것에 대한 증명은 포함함수 $i:Y\longrightarrow Z$ 를 생각했을 때 $h=f\circ i$ 가 성립함을 떠올리면 된다. 그러면 합성함수의 연속성 성질에 의해 $h$ 는 연속이다.
⑥ $V\subseteq Y$ 를 $Y$ 에서의 열린집합이라고 하자. 그러면 각각의 $X$ 에서의 열린집합 $U_\alpha \in X$ 에 대하여 $f^{-1}(V)\cap U_\alpha = \left( f\mid_{U_\alpha}\right)^{-1}(V)$ 가 성립한다. 가정에 의해 모든 $f\mid_{U_\alpha}$ 가 연속이기 때문에, $\left( f\mid_{U_\alpha}\right)^{-1}(V)$ 은 각각의 $U_\alpha$ 에서도 열린집합이다. 그러면 이들은 정리($T.P$) 2.14) 에 의해 곧 $X$ 에서도 열린집합이다. 그런데 가정에 의해 $X=\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}^{}U_\alpha$ 이므로, 이때 위상의 정의 T2) 에 의하여 열린집합들의 합집합 또한 열린집합이 되어
$$\displaystyle \bigcup_{\alpha \in I}\left( f^{-1}(V)\cap U_\alpha \right) =f^{-1}(V)$$
가 성립한다. 따라서, $f^{-1}(V)$ 는 $X$ 에서도 열린집합이다. 이는 $f$ 가 연속임을 보인 것이다. $_\blacksquare$
[참고문헌]
James Munkres, Topology 2E
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