하우스도르프 공간과 위상공간에서 수열의 수렴(Hausdorff space and the convergence of a sequence in the topological space)

하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요합니다. 하우스도르프는 독일의 수학자로 위상수학에 많은 기여를 한 인물입니다. 수학을 공부하면 집합론에서 마주치는 하우스도르프 극대 원리에서 이 인물의 이름을 처음 마주하게 되지요. 하우스도르프는 독일의 유대인 가정에서 태어났고 라이프치히 대학에서 수학과 철학을 공부했습니다. 그러나 안타깝게도 나치 독일 시절 유대인으로서 핍박과 어려움을 겪었고, 끝내 비극적인 죽음을 마주하게 됩니다. 

 

현대 수학에서는 위상수학에서 그의 이름이 붙은 것도 많고 그의 손길이 구석구석 닿은 부분들이 정말 많습니다. 그들 중 하나인 하우스도르프 공간이 오늘 우리가 살펴볼 것입니다. 하우스도르프 공간은 위상수학에서 엄청나게 중요하다고 적어놓았지요. 이것은 컴팩트성을 할 때나 분리공리 등을 다룰 때 더욱이 강조되는 개념이기도 한데, 무엇보다도 가장 충격적인 사실은 바로 수열의 극한을 다룰 때, 극한값이 존재한다면 반드시 '유일해야 한다'는 우리의 여태까지의 통념을 깨부수기 때문입니다. 사실 하우스도르프 공간이 아닌 위상공간에서는 수열이 수렴할 때 극한값이 여러개일 수가 있습니다. 그래서, 이 글에서는 하우스도르프 공간 자체를 설명하는 것 뿐 아니라 가장 추상적인 수열의 극한 정의를 제시하고, 언급한 충격적인 의문을 해소해 볼 것입니다.

---

1. 하우스도르프 공간

 

정의($T.P$) 2-34) 하우스도르프 공간
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 에서 서로 다른 임의의 두 점 $a,b\in X$ 를 생각하자. $U\cap V=\emptyset$ 이면서 $a\in U$ 이고 $b\in V$ 를 만족하는 두 열린집합 $U,V\in \mathcal{T}$ 을 항상 찾을 수 있어서 존재하면, $X$ 를 '하우스도르프 공간(Hausdorff space)' 또는 '$\mathrm{T}_2$ 공간'이라고 한다.

 

하우스도르프 공간에서는 그 어떤 두 점을 임의로 선택하더라도, 그 두 점을 '분리할 수 있는' 열린집합이 존재한다는 것을 뜻합니다. 이러한 점에서 점들을 떨어뜨리고 찢어 놓을 수 있기 때문에 하우스도프르 성질은 '분리성질(separation property)'라 불리기도 합니다. 위상수학에서는 분리공리로 시작하는 분리성에 관한 주제가 있습니다. 그 맥락에서는 하우스도르프 공간을 $\mathrm{T}_2$ 공간이라 부르기도 합니다. 하지만 그러한 약간 고차원의 주제를 다루기 전에, 하우스도르프 공간은 컴팩트성을 다룰 때 단골손님이 되기에 간단한 개념인만큼 꼭 숙지해 두는 것이 좋습니다.

 

 

하우스도르프 공간은 사실 별로 설명할 것이 없이 정의가 매우 간단합니다. 하지만 그 의의를 한 번 살펴봅시다. 위상이 부여되는 방식은 항상 '연결성'과 '밀접성', '분리성' 등을 고려해 보아야 합니다. 하우스도르프 성질은 분리성과 관련된 개념인데, 분리성하면 또 이산위상(discrete topology)를 빼놓을 수 없습니다. 이산위상이 부여되면 $\mathcal{T}_d=\mathcal{P}(X)$ 가 되는 것이라, 모든 점들이 전부 떨어져 분리된 상황을 뜻합니다. 이는 모든 $X$ 의 각 점이 자기 자신 한 점만을 포함하는 열린집합을 가지고 있게 된다는 뜻입니다.

 

이때 우스도르프 공간과 이산위상을 비교해보는 것은 하나의 좋은 탐구가 될 수 있습니다. 하우스도르프 공간에서도 임의의 어떤 두 점을 선택하더라도 그들을 포함하는 열린집합을 찾을 수 있습니다. 그리고 그 열린집합들은 서로소이지요. 그렇다면 두 위상은 어떤 관련이 있을까요?

 

하우스도르프 공간에서는 일단 두 점을 포함하는 각 두 열린집합 $U,V\in\mathcal{T}$ 가 서로소이긴 하지만 딱 그 각각의 두 점'만'을 포함해야 한다는 조건은 없습니다. 반면, 이산위상에서는 딱 그 두 점만을 포함하는 열린집합 또한 존재합니다. 그렇기 때문에 분리성에 있어 이산위상이 절대강자이고, 하우스도르프 공간은 그보다는 약간 덜한 조건이라고 볼 수 있습니다. 하지만, 실제로 공간들을 보면 이산위상보다는 하우스도르프 공간의 용도가 더 다양한데, 왜냐하면 이산위상은 너무 각박한 조건이기 때문입니다. 그래서 분리성의 측면에서 하우스도르프 공간이 요구하는 조건이 가장 무난한 정도이다, 이렇게 받아들이면 좋을 것 같습니다. 하우스도르프 공간의 성질들을 뒤에서 더욱 다루게 되면서 그 깊은 의미를 알 수 있을 것입니다.

---

예제 1) 자명위상(trivial topology/indiscrete topology)가 부여된 위상공간 $X$ 가 둘 이상의 점을 포함하고 있으면 하우스도르프 공간이 아니고, 이산위상(discrete topology) 이 부여된 위상공간 $(X,\mathcal{T}_d=\mathcal{P}(X))$ 는 언제나 하우스도르프 공간이다. 그 이유가 무엇인가?


Sol) $a,b\in X$ 를 $X$ 에 포함된 서로 다른 둘 이상의 원소 중 두 개라고 하자. 그러면 자명위상에는 이들을 원소로 가지는 서로소인 열린집합이 존재하지 않으므로 자명위상이 부여된 위상공간은 하우스도르프 공간이 아니다. 반면 이산위상은 그 어떤 서로 다른 점을 택해도 그 점들만을 원소로 갖는 열린집합이 존재하므로 서로소인 두 열린집합을 항상 찾을 수 있다. 그러므로 이산위상이 부여된 위상공간은 언제나 하우스도르프 공간이다. 참고로 역은 성립하지 않는다. 즉 모든 하우스도르프 공간이 반드시 이산위상인 것은 아니다. $_\blacksquare$

---

예제 2) 집합 $X=\{ a,b,c\}$ 에 대하여 $\mathcal{T}=\left\{ \emptyset, X, \{ a,b\},\{ b,c\},\{ b\} \right\}$ 이 부여되었을 때, $X$ 는 하우스도르프 공간인가?

 

Sol) $a,c\in X$ 를 생각하자. 이때 $a\in \{a,b\}$ 이고 $a,c\in X$ 이며 $c\in \{ b,c\}$ 이다. 어떤 경우의 수를 고려해보아도, $a,c$ 두 원소를 각가 포함하는 열린집합의 교집합은 공집합이 되지 못한다. 예를 들어 $a$ 를 포함하는 열린집합으로 $X$ 를 택하든 $\{ a,b\}$ 를 택하든, 이 두 열린집합은 반드시 $b$ 를 포함하는데, $c$ 를 포함하는 모든 열린집합도 항상 $b$ 를 가지고 있으므로 $b$ 의 존재성 때문에 교집합이 공집합이 되지 않는다. 따라서 $X$ 는 하우스도르프 공간이 아니다. $_\blacksquare$

---

예제 3) 임의의 거리공간 $(X,d)$ 는 하우스도르프 공간이다. 그 이유가 무엇인가?


Sol) 서로 다른 두 점 $a,b\in X$ 를 생각했을 때 두 점 사이의 거리를 $r=d(a,b) >0$ 라 생각하면, 열린공의 반지름을 그 값의 절반으로 삼아 $U=B_d\left(  a,\displaystyle \frac{r}{2} \right)$ 과 $V=B_d\left(  b,\displaystyle \frac{r}{2} \right)$ 로 잡으면, $U\cap V=\emptyset$ 이고 둘 다 열린집합이다. 따라서 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이 된다. $_\blacksquare$

---

예제 4) [매우 중요한 사실] 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$ 은 거리공간이다. 그래서 $\mathbb{R}^n$ 또한 하우스도르프 공간이다. 비슷한 논리로 놈 공간도 거리공간이기 때문에, 하우스도르프 공간이 된다. $_\blacksquare$

 

이것이 중요한 이유는, 어떤 공간이 하우스도르프 공간이라면 필요충분조건으로, 수열의 극한에서 수열이 수렴한다면 극한값이 유일하다는 사실이 성립하기 때문입니다. 이에 대한 구체적인 분석은 좀 더 내려가서, 아래에서 곧 다루겠습니다.

---

정리($T.P$) 2.35)
하우스도르프 공간 $X$ 의 임의의 유한 부분집합 $E\subseteq X$ 는 닫힌집합이다.

증명) $E=\{ x_0,x_1,\cdots , x_n\}$ 이라 하자. 보여야 할 것은 $E$ 가 닫힌집합이라는 것인데, 단원소집합 $\{x_0\}$ 이 닫힌집합이라는 것만 보이게 되면 정리($T.P$) 2.17)-② 에 의해 닫힌집합의 유한 합집합도 닫힌집합이기 때문에 증명이 끝난다. 곧, $X-\{ x_0\}$ 가 열린집합이라는 것을 보이면 충분하다.

$x\in (X-\{ x_0\})$ 를 생각하자. $X$ 는 하우스도르프 공간이기 때문에, 그리고 $x\neq x_0$ 이고 둘 다 $X$ 의 원소이므로 $x\in U_x$ 와 $x_0\in V$ 를 만족하는 서로소인 열린집합 $U_x$, $V$ 가 존재하게 된다. 따라서,

$$X-\left\{ x_0 \right\}= \bigcup_{x\in X , x\neq x_0}^{}U_x$$
가 성립하게 되고, 위상의 공리 T2) 에 의하여 열린집합들의 합집합은 열린집합이므로 이것은 $X-\{x_0\}$ 가 $X$ 에서의 열린집합임을 의미한다. $_\blacksquare$

 

 

---

2. 위상공간에서 수열의 수렴성

 

미적분학이나 해석학에서는 주로 다루는 공간이 위상공간 중 성질이 좋은 유클리드 공간에 해당합니다. 그러나 위상공간은 가장 추상화된 공간이고, 여기서 연속, 극한 등을 정의한 것과 비슷하에 수열의 수렴을 정의하는 방법이 존재합니다. 사실상 이것이 가장 원초적인 정의라 볼 수 있겠습니다.

 

 

정의($T.P$) 2-35) 위상공간에서 수열의 수렴
위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자. $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in X$ 으로 이루어진 수열 $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 이 $x\in X$ 로 '수렴한다(converge)'는 것은, $x\in U$ 를 만족하는 임의의 열린집합 $U\in \mathcal{T}$ 에 대해 $N\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\geq N\;\Longrightarrow \; x_n\in U$ 가 성립하는 것이다.

 

이는 우리가 잘 알고 있는 미적분학이나 해석학에서 정의된 유클리드 공간에서의 엡실론-N 논법을 이용한 수열의 수렴성과도 들어맞습니다. 가장 추상적이고 일반적인 위 정의를 보면, 우리가 알고 있었던 정의랑 비슷해 보인다는 사실을 알 수 있습니다. 일전에 설명한 것처럼 $N$ 의 역할은 일종의 '등급컷'이라 볼 수 있으며, 이를 넘어서는 모든 항들은 어떤 조건을 만족해야 하는데 그것이 미적분학이나 해석학에서는 $L$ 에서 위/아래로 $\varepsilon$ 만큼 벌어진 '안정화구간'에 들어가야 하는 것이라면, 여기서는 열린집합에 $x_n\;(n\geq N\in\mathbb{N}$ 들이 모두 들어가야 한다는 것입니다. 잘 생각해보면, $\varepsilon$ 만큼 양쪽으로 벌어진 것은, 거리공간에서 수열의 수렴을 설명한 것처럼 거리공간적 관점에서는 반지름이 $r>0$ 만큼 모든 방향으로 벌어진 어떤 열린공의 개념에 대응됨을 알 수 있습니다. 그리고 한 층 더 일반적이고 추상적인 관점이 '열린집합'의 개념입니다. ^[각주:1]

 

이러한 정의 아래에서, 수열의 극한값이 유일하지 않을 수 있는 경우를 하나 보도록 합시다.

---

예제 5) 예제 2)에서 다루었던 위상공간 $X=\{ a,b,c\}$ 과 그에 부여된 위상 $\mathcal{T}=\left\{ \emptyset, X, \{ a,b\},\{ b,c\},\{ b\} \right\}$ 을 고려하자. 이것은 하우스도르프 공간이 아님을 보였었다. 그렇다면 이때, 수열 $\{x_n\}$ 이 모든 $n$ 에 대하여 $x_n=b$ 로 주어졌을 때 수열이 수렴하는지 확인하고 극한값도 구해보아라.

 

 

Sol) $a$ 를 포함하는 열린집합은 $\left\{  a,b\right\}$, $X$ 이다.

 

i) $b$ 로의 수렴 : 수열의 모든 항이 $b$ 이기 때문에, 직관적으로 볼 때 $b$ 로 수렴할 가능성이 높다고 판단할 수 있으므로 정의를 적용해 실제로 그러한지 확인해보자. 수열 $\{x_n\}$ 이 $b$ 로 수렴한다는 것은, $b$ 를 포함하는 모든 열린집합이 충분히 큰 $n\geq N$ 일 때 $x_n$ 을 전부 포함하고 있다는 뜻이다. 

 

$b$ 를 포함하는 열린집합은 $\left\{  a,b\right\}$, $\left\{ b,c \right\}$, $\left\{ b \right\}$, $X$ 이다. 수열의 모든 항이 $x_n=b$ 이므로, $n=1$ 부터 언제나 이 열린집합들은 항상 $x_n=b$ 를 포함한다. 따라서 수열은 $b$ 로 수렴하고 극한값도 $b$ 이다.

 

ii) $a$ 로도 수렴하는가? : $a$ 를 포함하는 열린집합은 $\left\{  a,b\right\}$, $X$ 이다. 그런데 이 열린집합들은 $b$ 또한 포함한다. 따라서 $n\geq 1$ 부터 언제나 $a$ 를 포함하는 열린집합은 모든 $n$ 에 대해 $x_n=b$ 또한 포함하게 된다. 따라서 극한의 정의를 만족하므로 수열 $\{x_n\}$ 은 $a$ 로 수렴하기도 한다.

 

iii) $c$ 로도 수렴하는가? : $c$ 를 포함하는 열린집합은 $\{b,c\}$, $X$ 인데 이들 역시 모든 $n$ 에 대해 $x_n=b$ 를 포함하므로 수열의 극한 정의에 의하여 $\{x_n\}$ 은 $c$ 로 수렴하기도 한다.

 

이상에서, 수열 $\{x_n\}$ 은 수렴하여 극한이 존재하는데 그 극한값은 $a,b,c$ 로 유일하지 않다. $_\blacksquare$

---

위상공간에서 수열의 수렴을 하우스도르프 공간과 엮어 설명하는 이유는 둘 사이에 밀접한 관련이 있기 때문입니다.

 

정리($T.P$) 2.36)
① 하우스도르프 성질은 위상적 성질(topological property)이다.
② 하우스도르프 성질은 계승적 성질(heredity)이다.

증명) ① 증명을 위해서는 $X$ 가 하우스도르프 공간이라고 전제했을 때 $Y$ 또한 하우스도르프 공간임을 보이는 것이다. 두 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 $(Y, \mathcal{T}')$ 에 대해 위상동형사상 $f: X\longrightarrow Y$ 를 고려하자. $f$ 는 전단사인 연속함수이므로, 서로 다른 두 점 $a,b\in Y$ 를 생각했을 때 $f^{-1}(a),f^{-1}(b)\in X$ 는 서로 다른 점이며, 적당한 열린집합 $U,V\in \mathcal{T}$ 가 존재하여 $f{-1}(a)\in U$, $f^{-1}(b)\in V$ 가 성립한다. 따라서 $f(U)$ 와 $f(V)$ 는 각각 $a,b$ 를 포함하는 $Y$ 에 속한 서로소인 $Y$ 에서의 열린집합이다. 그리하여 $Y$ 또한 하우스도르프 공간이다.

② 하우스도르프 공간 $(X,\mathcal{T})$ 의 부분공간 $A\subseteq X$ 를 생각하고, 서로 다른 두 점 $a,b\in A$ 를 생각하자. $X$ 가 하우스도르프 공간이기 때문에 $a\in U$, $b\in V$ 를 만족하는 서로소인 열린집합 $U,V\in \mathcal{T}$ 가 존재한다. 그런데 $A$ 가 $X$ 의 부분공간이므로, $U\cap A$ 와 $V\cap A$ 는 모두 $A$ 에서 상대적 열린집합이고 각각 $a,b$ 를 포함한다. 따라서 $A$ 역시 하우스도르프 공간이다. 두 점 $a,b$ 를 포함하는 $A$ 에서의 서로소인 열린집합 $U\cap A$ 와 $V\cap A$ 를 언제나 찾을 수 있기 때문이다. $_\blacksquare$

 

 

다음으로, 극한값의 유일성을 보장할 위상공간의 조건을 소개합니다.

 

 

정리($T.P$) 2.37) 하우스도르프 공간에서만 수렴하는 수열의 극한값이 유일하다
위상공간 $X$ 의 임의의 수열 $\{ x_n\}_{n=1}^{\infty}$ 는 두 개 이상의 점으로 수렴할 수 없을 필요충분조건은 $X$ 가 하우스도르프 공간인 것이다. 다시 말해 하우스도르프 공간에서 임의의 수열은 수렴하는 경우 오직 유일한 극한값을 가지고, 역으로 위상공간에서 수열의 극한값이 유일하면 그 위상공간은 반드시 하우스도르프 공간이다.

증명) 하우스도르프 공간 $(X,\mathcal{T})$ 에서 수열 $\{ x_n\}$ 가 서로 다른 두 점 $a,b\in X$ 로 수렴한다고 하자. 그러면 서로소인 두 열린집합 $U,V\in \mathcal{T}$ 가 존재하여 $a\in U$ 이고 $b\in V$ 가 성립한다. 이때 수열의 수렴 정의에 의하여 어떤 두 자연수 $N_1,N_2\in\mathbb{N}$ 이 존재하여 $n\geq N_1\; \Longrightarrow \; \forall x_n\in U$ 이고, $n\geq N_2 \; \Longrightarrow \; \forall x_n\in V$ 가 성립한다. 그러면 만일 $n\geq N_1$ 이고 $n\geq N_2$ 인 상황에서는 모든 $n$ 에 대하여 $x_n\in U\cap V$ 여야 하는데, 가정에 의하면 $U\cap V=\emptyset$ 이 되어버리니 수열이 수렴한다는 사실에 모순이다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Fred H Croom, principles of Topology

 

 

 

 

1. 그래서, 위상공간 자체를 선명하게 이미지를 그려 '상상화'하는 것은 원래 무척 어렵고 불가능에 가깝습니다. 그러나 거리공간은 위상공간 다음으로 큰 범주의 공간인데 거리공간부터(놈 공간, 유클리드 공간 등등은) 열린 '공'의 개념으로 열린집합을 이미지화, 구체화하는 것이 가능합니다. 그러므로, 위상수학을 할 때 '열린집합'의 이미지가 잘 상상되지 않을 때 거리공간에서의 열린공 이미지를 떠올려 보는 것이 매우 좋습니다. 어차피 거리공간이 아닌 위상공간은 잘 다루지 않는 편이기 때문이죠... [본문으로]