반응형 특수함수(Special functions)/Gamma Function2 감마함수의 중요한 공식 $\Gamma(\displaystyle1/2)=\sqrt{\pi}$ 증명 감마함수와 관련된 중요한 식이 하나 있습니다. 보조정리($S.F$) 1.2 $$\Gamma\left( \frac{1}{2} \right)=\sqrt{\pi}$$ $$\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\mathrm{sin}\pi p}$$ 이 식은 종종 다른 함수나 분야를 공부하다가 가끔씩 반갑게 우리를 맞이해줄 때가 있습니다. 복소적분을 할 때 등장하는 것으로 유명한데, 복소적분을 통해 조금 복잡하게 값을 구하는 것이 가능하기는 하지만 첫번째 식은 감마함수의 정의식으로도 증명 가능하고 지금 이것을 해보려고 합니다. 두번째 식의 증명은 복소적분이 필요하니 복소 해석학 포스팅에서 나중에 다루겠습니다. 증명) 감마함수의 정의에 의해 $$\Gamma\left( \displaystyle\fr.. 2021. 12. 21. 감마함수란 무엇인가? (Gamma Function) 고등학교 수학 과목인 확률과 통계에 나오는 계승(factorial)은 순열이나 조합을 셈할 때 자주 사용하는 것으로 흔히 기호 '!'로 표현하게 됩니다. 예를 들어 $n$의 팩토리얼은 $n!=n(n-1)(n-2) \cdots 3\cdot 2\cdot 1$과 같이 계산할 수 있습니다. 이 때 좌변에 어떤 값을 넣어 !를 취하면 우변에 새로운 값들이 나온다는 것을 보았을 때, 이는 함수로 생각할 수도 있어서 이것을 '계승함수(factorial function)' 이라고 부르기도 하는데, 감마함수는 이 계승함수의 정의역이 자연수였던 것을 복소수로 확장한 것을 말합니다. 그래서 감마함수는 복소 해석학에서 자주 등장하며, 테일러 전개에서 등장하는 계승 함수와도 연결성을 가지고, 베셀함수(Bessel Functio.. 2021. 12. 21. 이전 1 다음 반응형
